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sont dites de même espèce ou de même affection (129) quand chacune d'elles est moindre ou plus grande que 90° ; et elles sont d'affection ou d'espèce diflérente, si l’une d'elles est moindre et l’autre plus grande que 90°.

(1335) La trigorométrie sphérique enseigne à déterminer, par le calcul, les côtés et les angles inconnus d’un triangle sphérique quelconque, dont on connaît trois des six parties composantes ; ct il n’est pas nécessaire ici, comme dans le cas (1206) du triangle rectiligne, que l'une des parties connues soit un côté ; puisque, pour les raisons déjà données (1185), deux triangles sur la même sphère ou sur des sphères égales, ne peuvent être mutuellement équiangles, sans être en même temps mutuellement équilatères. Mais si le rayon de la sphère était inconnue, il cet clair qu'à l'aide seulement des trois angles, on ne saurait déterminer autre chose que les rapports entre les côtés.

(1336) Au lieu des cinq cas de la trigonométrie rectiligne, on en aura donc six à considérer dans le triangle sphérique ; les données étant respectivement comme il suit :

1° Deux côtés et un angle opposé à l’un deux. 2° Deux angles et un côté opposé à l'un deux. 3° Deux côtés et l’angle inclus.

4° Deux angles et le côté inclus.

&° Les trois côtés, pour trouver les angles.

6° Les trois angles, pour trouver les côtés.

(1337) Mais il y a encore cette différence entre le triangle sphérique et le triangle rectiligne, que le cas (2°) des * deux angles et un côté opposé à l’un deux,” oftre souvent deux solutions différentes, comme on le verra, et que aussi bien dans le cas du triangle sphérique rectangle, un même angle oblique opposé à un même côté, peut donner et donne en effet deux réponses différentes.

L’arabiguïté qui, dans le triangle rectiligne, ne peut se présenter que dans un seul cas; existera donc quelquefois,

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avec les mêmes données, dans deux des cas du triangle sphérique ; et même dans trois cas, si l’on considére séparément, comme on le fera, le triangle sphérique rectangle.

(1338) IL est de plus nécessaire de faire attention à l’affection des côtés et des angles du triangle sphérique ; puisque cette affection qui, dans le triangle rectiligne, n’est ambiguë que dans un seul cas, celui des deux côtés et de l'angle opposé à l’un d'eux, peut l'être au contraire et l’est en effet, dans tous les cas du triangle sphérique, à l'exception seulement du triangle tri-rectangle, dans lequel (1199) chacun des trois angles est droit, et chacun des côtés égal à un quart-de-cire ; car, dans ce dernier cas, les côtés et les angles, lesquels nous sont connus par leurs sinus, sont invariables, puisque ces sinus, chacun égal (1215) au ayon, ne répondent qu'à un seul et même angle et à un seul et mème côté; tandis que dans tous les autres cas, un ou plusieurs (1349) de ces sinus répondra (1844 et 1345) à deux côtés ou (1850 et 1351) à deux angles, supplémentaires l’un de l’autre. C’est ainsi que dans certain triangle ABC, les sinus des côtés AB, AC, BC, détermineront en même temps un autre triangle A'’B'C° dont chacun des côtés sera (1221) supplément du côté ; correspondant du premier; savoir: A’B/ # de AB, B'C' de BC, et A’C’ de AC; C et de même, il pourra exister certain c' triangle ABC et un autre A'B'C’ dont les angles de l’un seront respectivement supplémentaires des angles correspou- NN à dants de l’autre, et dont les sinus de ces angles seront en conséquence respectivement égaux (1221) dans les deux triangles. (*)

(*) Ces deux triangles ABC, A’B/C’ auront lieu, quand la somme des côtés de l’un d'eux sera plus grande qu’une demi-circonférence, puisque dans ce cas, la somme des suppléments des côtés de ce triangle sera moindre qu'une circonférence entière ; condition nécessaire (1167) pour que le triangle supplémentaire puisse exister. De même, il est clair, que pour avoir deux

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(1339) D'ailleurs : Soient ACA, AB A’, deux demi-grands cercles de la sphère, formant, l'un avec A l'autre, un angle quelconque À = A’; ayant pris AB et AC À volonté, ACB sera un triangle sphérique quelconque. Maintenant si l’on fait A’B'= AB et A’C’ = AC, on aura (1177) dans le triangle A'C’B" le troisième côté B’C’ égal au troisième côté BC du triangle ACB ; on aura de plus AB’ —supplément de A’B’ ou de son égal AB et AC’ = sup. de A’C’ ou de son égal AC. Donc, si pour résoudre le triangle ABC, on ne donne que l'angle À et les sinus des côtés qui le comprennent; il y aura quatre triangles différents ACB, AC'B, ACB’, AC'B, qui répondront aux données; et il y en aurait même huit, dans le cas où on ne connaîtrait l’angle À que par son sinus, puisque cet angle pourrait alors être aigu ou obtus, sans cependant changer en rien l'ambiguïté des côtés. Si l’on connaissait, outre l’angle A, l’un AB des côtés, il est clair qu'une partie de l'ambiguïté disparaîtrait et qu'on n'aurait plus que deux réponses aux données ; savoir : ACB et AC'B ; et si, avec l'angle A et le côté AB, on avait en même temps l’autre côté adjacent AC, c.-à-d., deux côtés et l'angle inclus, il est évident que toute ambiguïté cesserait et qu’on n'aurait plus qu’un seul triangle ACB, ou AC’B, ou ete., suivant que AB et AC, seraient tous deux < ou > 90°, ou l’un < et l’autre > 90°,

(1340) De même, on aura dans certain cas: côté B'C — BC, avec angle AB’C = supplément de ABC ; et dans certain autre cas, on aura: angle ABC = ABC, avec côté B'C = supplément de BC, comme on le fera voir bientôt ; les données, dans chacun de ces cas, correspondant à deux triangles différents ACB, ACB.

triangles dont les angles de l’un soient supplémentaires de ceux de l’autre, il faudra que la somme des trois angles de l’un soit moindre que quatre angles droits, pour que la somme des angles de l’autre triangle soit (1186) plus grande que deux angles droits.