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Mais quand la perpendiculaire tombe en dehors, on aura : tang. & (a +0) tang. & (m+n) = tang. & (a — b) X taug. à mn) ?
km+n) +4(m—n) c.-à-d. m=—=# 0 + &(m + n), puisque dans co cas, = Mm—n, On = Mm— 0,
Ayant trouvé m et n, les segments de la base, on fers (1861) tang. a : tang, m :: R : cos. B ; d'où, cos. B = KR x tang. m
On aura maintenant les doux autres angles A et C en faisant sin. b : sin. c:: sin. B : sin. CO, et sin. à : sin. a:: sin. B : sin. A.
2° On démontre aussi que R étant leta+b+c=5s,0ona Sin.ÿ A =V/sin, (80) < sin. (às—c); v/sin.b X sin.c ou, Cos. 4 À =—V sin.&s X sin. (fs — a).
et m =
V sin. d X sin.c Quant A est très obtus, on so servira de la seconde formule qui donne le cosinus de } A. Autrement, on préféra la première formule pour des raisons analogues à celles déjà données au par. (1801) trig, rect.
Ces deux formules sont surtout avantageuses en co qu'elles se prètent avec facilité au calcul par logarithmes.
(1383) Etant donnés les trois angles À, B, C, pour trouver les côtés a, b, c; on retranchera respectivement de 180° chacun des arcs qui mesurent les angles donnés À, B, C; cos restes.ou différences seront los côtés a’, d”, c’, d'un triangle supplémentaire ou auxiliaire A’B'C’ dont on trouvera les angles, de la manière indiquée au dernier paragraphe; Îles arcs servant à mesurer ces angles seront (1171) les suppléments des côtés correspondants du triangle donné ABC; c.-à-d., l'arc servant de mesure a l'angle A’ du triangle auxiliaire A’B’C’, sera le supplément du côté a du trianglo ABC ; l'arc mesurant l'angle B’ sera lo supplément du cûté b; ot l'arc servant de mesure à l’angle C”, sera le supplé-
ment probli
ou,
cette ( e.-à-d, (138 qui 0 sphéri sentan de pro légitin qu'ilr côté e à l’any d'une avee L prolon tombe A'C'+ CB'C’:
B'A'C de son le sinu angle, angle = (0p} B'C' = (138 entre | sphéri
hors, on aura | b) —n) ; + x), puisque
et m =
base, on fera 08. B = K x
at C'en faisant in. B : sin. A.
+ce=s,ona
‘onde formule on préfera la à celles déjà
reuses en co garithmes.
| pour trouver ent de 180° nés À, B,C; d'un triangle trouvera les agraphe; les 1) les supplélonné ABC;
du triangle x du trianglo ment du cûté ra le supplé-
ment du côté c. Do là, donc, le moyen de résoudre le problème.
29 On a aussi, comme dans le dernier cas, R étant = 1, et A+B+0=8
Sin. ga y cos ES X cos. (FS— 1 À) v’sin. B X sin. C ou, Cos. £ a = cos. (45 —B) X cos. (4 S — C) . V'sin. B X sn. Ü, cette derniere étant préférable quand «a est de près de 180°, e.-à-d, presque un demi-cercle.
(1384) Sco. Maintenant qu'on a démontré les rapports qui existent entre les côtés ot les angles d'un triangle sphérique, e.-à 4. entre les sinus et autres lignes ou représentants trigonométriques de ces angles et côtés ; il y a lieu, de prouver d'une manière plus satisfaisante et peut-être plus légitime, le corollaire (1850) tiré de la prop. IV ; savoir : qu'il peut exister deux triangles oblique-angles dont un côté et l'angle opposé de l’un soient égaux à un côté et à l’angle opposé de l’autre. De fait, ayant prolongé AC A d'une quantité A’C’= AC, et du point CO’ comme centre, avee un are = BC, intersecté ABA’ en B’, joint C’B’ et prolongé C’B° pour rencontrer ACA'; l'arc C’PB’ prolongé tombera en C, à cause de N'C'+A'C= A'C + AC et de =.
CB'C'=180° ; or l'angle inclus RE res B'A'C'= sup. de B'A'C, ou 5 de son égal BAC, et comme le sinus du supplément d'un angle est égal au sinus de cet angle, on à, (1366) sin. angle B’A’C’ : sin. angle BAC :: sin, anglo A’B'C’ : sin, angle ABC ; d'où ABC = (1846) A’B'C’ = (opposé au sommet) AB'C, et B'O = 189° — B'O' = sup. B'C’ = sup. BC ; donc, ete,
(1385) Soo. Les connaissances acquises sur Îles relations entre Les sinus des côtés et les sinus des angles des triangles sphériques, nous permettent aussi maintenant de simplifier
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les expressions ayant trait à l'ambiguïté de solution des deux premiers cas (1886) du triangle sphérique ; car si l’on fait attention que le sinus du supplément d’un arc est égal au sinus de cet arc, on verra de suite que les huit formnles des articles (1344 et 18345) où les données sont ‘‘ deux côtés et un angle opposé à l’un d’eux”’ peuvent se traduire ou se résumer en ces deux expressions ; savoir :
1° Si le sinus du côté opposé à l’angle cherché, est moindre que le sinus de l’autre côté donné; il n’y aura qu'UNE SOLUTION.
2° Si le sinus du côté opposé à l’angle cherché, est plus grand que le sinus de l’autre côté donné ; il y aura DEUX SOLUTIONS.
Et les huit formules du par. (1351) où les données sont “ deux angles et un côté opposé à l’un d'eux”; se traduirout, faisuut attention encore que le sinus du supplément d'un angle et égal au sinus de cet angle, comme suit :
8° Si le sinus de l’angle opposé au côté cherché, est moindre que le sinus de l’autre angle donné; il n’y aura qu'UNE SOLUTION.
4° Si le sinus de l’angle opposé au côté cherché, est plus grand que le sinus de l’autre angle donné ; il y aura DEUX SOLUTIONS.
