PIER

rentée par 1: ce qu’elle la solntion it pas des ncés partine disposiprennent,

a démon- Elles sont mémoire

(1387) Déf. L. Si dans un triangle Û sphérique ACB, rectangle en A, on met de côté l’angle droit A, pour ne considérer que les cinq parties restantes, savoir, les trois côtés et les B deux angles obliques ; alors les deux A côtés AB, AC qui contiennent l’angle droit, et les compléments des trois autres parties, c.-à-d., le complément de l'angle B, le complément de l’hypoténuse BC et le complément de l’angle C sont appelés les parties-circulaires, parce que quand on les nomme dans l’ordre naturel de leur suite, elles font le tour du triangle.

(1388) Déf. 2. Lorsque, des cinq parties-circulaires, l’on en prend une quelconque pour partie-du-milieu ; alors, des quatre parties restantes, les deux qui l’adjoignent imédiatement à droite et à gauche, sont appelées parties-adjacentes et les deux autres, séparées qu'elles le sont de la partie-dumilieu par une des parties adjacentes, sont appelées partiesopposées.

Ainsi, dans le triangle ACB, les parties-circulairesétant, par la 1ère déf., AB, AC, 90° —B, 90° — BC, et 90° —C ; si l’on prend par exemple AC pour partie-du-milieu, AB et 90 — ©, qui lui sont contigues à droite et à gauche, seront les parties-adjacentes, et 90°— B, 90 — BC seront les partiesopposées. De même, si AB est la partie-du-milieu, les parties-adjacentes seront AC, 90° — B, et 90° — BC, 90°—C seront les parties-opposées. Ou, si 90 — BC est la partiedu-milieu, on aura 90° — B et 90 — C pour parties-adjacentes, et AB, AC pour parties-opposées. Cela posé, la règle est coraprise dans la suivante :

(1389) Dans tout triangle sphérique rectangle le rayon est à la tangente d’une des parties-adjacentes, comme la tangente de l’autre partie-adjacente, est au sinus de la

EPL MENT TES =.

CT M 55 e

b58 TRIGONOMÉTRIE

partie-du-milieu ; ou, le rayon est au cosinus d’une des parties-opposées, comme le cosinus de l’autre partieopposée est au sinus de la partie-du-milieu. Ce qui veut dire en d’autres termes (86) que le rectangle formé durayon et du sinus de la partie-du-milieu, est égal au rectangle des tangentes des parties-adjacentes ; ou, au rectangle des cosinus des parties-opposées.

On prouve aisément la vérité des c

deux théorèmes compris dans cette

proposition, en prenant successive-

ment, pour partie-du-milieu, chacune

des cinq parties-circulaires, et on

trouvera que la prop. générale s’ac- A corde avec quelqu’une des analogies

déjà établies (1855 à 1365) ou contenues dans le tableau (1307) ayant trait à la résolution des divers cas du triangle rectangle. Ainsi, dans le triangle ACB, si l’on prend pour partie-du-milieu le complément 90°—BC de lhypoténuse, les parties-adjacentes étant 90° — B et 90° — C, et AB, AC les parties-opposées ; la règle donne R X cos. BC = cot. B Xcot. C ou (88) R: cot. B :: cot. CO : cos. BC (1361). La règle donne aussi R X cos. BC = cos. AB X cos. AC ou (1364) R : cos. AB :: cos. AC : cos. BC.

(1390) Pour faire l’application de cette prop. générale à la résolution de l’un quelconque des cas du triangle sphérique rectangle ; considérez laquelle d’entre les parties données et la partie requise, vous devez prendre pour partie-du-milieu, de manière que les deux autres parties soient à distances égales de cette dernière, c.-à-d., toutes deux adjacentes ou toutes deux opposées ; alors l’un ou l’autre des deux théor. contenus dans l’énoncé de la prop. donnera la valeur de la partie requise.

Par exemple, soient données AB et BC, pour trouver C; il est clair que si l’on fait de AB la partie-du-milieu, BC et C seront les parties-opposées ; d’où, R X sin. AB = sin. ©

férenc tances maniè par si partie Fai milie!

à l’an le cô lesqu chac l'on

8 d’une des

rectangle rectangle

e tableau 1 triangle rend pour énuse, les B, AC les t. B Xcot.

œle donne ) R: cos.

érale à la Phérique )nnées et a-milieu, listances ntes ou X théor.

ur de la

x sin. BC, car sin. C — cos. (90° — Cjet cos. (90 — BC) — sin. AB sin. 13C°

Soient encore données BC et C, pour trouver AC ; il est évident que C est moyenne entre les adjacentes AC et (90° — BC); donc R X cos. C = tang. AC X cot. BC, ou

cos, C * tang. AC = po = cos. C X tang. BC, puisque comme

sin. BC ; donc sin. C —

on l’a vu (1225) ae — tang. BC, quand R= 1.

On peut de la même manière résoudre tous les autres cas ; car il suflira toujours d’un ou de deux essais pour s'assurer de la partie à prendre pour mil'eu, et avec un peu de pratique on jugera sur le coup et saus essai préliminaire de la partie à prendre pour milieu.

(1391) Il n’est pas iautile de disposer les noms des cinq partiescirculaires, autour de la circon- $ férence d’un cercle, à égales dis © tances l’une de l’autre, et de cette manière on voit immédiatement par simple inspection de ia fig. la «À à — 6° partie-du-milieu. 8

Faisant successivement de chaque partie, la partie-dumilieu, on a, appelant (pour abréger) a le côté BC opposé à l'angle droit À, b le côté AC opposé à l'angle B, et « le côté AB opposé à l’angle C, les expressions suivantes : lesquelles, comme on le voit, comprennent tous les cas, car chacune d'elles contient les 5 parties du triangle, ou si l'on veut, les 6 parties, puisque R est le sinus de A.

1—R X cos. a = cos. b X cos. c = cot. B X cot. C 2—R X cos. B = cos. b X sin. C = cot. a X tang. c 3— KR X cos. C = cos. c X sin. B—=cot. a X tang. b 4— R X sin. b—sin. B X sin. a = cot. O X tang. c 5—R X sin. c=sin. C X ein. a= cot. B X tang. b

= FA die 05 ES RAR Se re ne