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Remarquant toujours que sin. B= sin. comp. B, sin. C =cos. comp. C, sin. a = cos. comp. a, et que de même tang. B = cot. comp. de B, cot. C = tanug. comp. de C, et cot. a = taug. comp. de a.
À l’aide de ces 5 équations, on résoudra tous les cas ; car si les données sont par exemple C et a que l’on trouve de suite dans le produit, sin. aXsin. O, de la 5ème équation, on aura (90) sin. ce = sin. a X sin. C ou si R=— 1, alors sin. c —
KR R X sin. c cot. B
sin. © R X sin. c cot, R Auand R= 1, et avec b, c, cot. B — ang. b
sin. €
teug. d
trouve dans le produit, cot. ax tang. c, de la 2ème équation ; cot. a X tang. c (
sin. a X sin. C ; avec B, c, on aura tang. b =
De même si les données sont «a et c que l’on
on aura cos. B= -——— BR Il est clair aussi qu'avec
a, c et C, on aurait cos. b = DEA X PUR € »", et avec a, b,c, sin. cot. a tang, c eZ :
C= RS ; et ainsi de suite. Le tableau (1395)
servira à établir au besoin les affections des côtés et à indiquer les cas ambigus c’est-à-dire les cas où il y a deux solutions.
(1392) Voici maintenant les proportions que donnent les dix égalités ou équations ci-dessus, afin d’y renvoyer au besoin :
1......R : cos. b::cos. c:cos. a (1364) 2......R : cos. b::sin. C:cos. B (1365) 8... R : cos. c::sin. B:cos.C (1365) 4......R : sin. B::sin. a«a:sin. b (1867) ou (1366) 5......R : sin. C::sin. a:sin. c (1867) ou (1366) Grscss he cot. B::cot. C: cos. « (1360) 7......R : cot. a::tang. c : cos. B (1363) Be h: cot. a::tang. b : cos. C (1363) ni ….R : ct C::tang. c : sin. b (1356) ….R : cot. B::tang. b : sin. c (1356)
solutiot
gence ( la désis l'emple qui se même droit deux :
centre choisi de do suival aux Î:
de ta trian, comtr les « trois
B, sin. == me tang, B , et cot. a —
es cas ; car | trouve de juation, on )rS 8in. € —
sin. €
que l’on équation ; si qu'avec
Lu (1395) tés et à
y a deux
inent les oyer au
On voit par ces expressions que U pour déterminer la partie-dumilieu, il faut commencer la ô proportion par le rayon; et si c'est une des parties-opposées SN | (1à 5) ou une des parties-adja- 0 centes (6 à 10) que l’on veut obtenir, on commencera la proportion par l’autre partie-opposée ou partie-adjacente, suivant le cas. Ainsi, pour obtenir par exemple, l'angle B, on ferait (6) transp., cot, © : cos, a :: R : cot. B ou alt. cot. C : R :: cos. a : cot. B ; on aurait encore B, en faisant (10) tang. b: R::sin. c«: cot. B, ou (3) cos. c:cos. C:: R: sin. B, etc., suivant les données, et en se rappelant que quatre quantités proportionnelles, le sont encore par inversion (98), par alternation (94), et évidemment aussi par transposition ou inversion des deux rapports qui constituent la proportion.
(1393) Remarquons encore ici que dans l'application des règles précédentes, comme de celles qui vont suivre, à la solution des triangles, on se facilitera sensiblement l’intelligence des opérations à faire, en observant seulement dans la désignation des côtés et des angles du triangle à résoudre, l'emploi des mêmes lettres capitales et italiques que celles qui se trouvent consignées ici, et en les disposant de la même manière ; c'est-à-dire, la lettre A au sommet de l’angle droit du triangle, avec les lettres B et C aux sommets des deux autres angles, et l'italique de même nom en regard au centre du côté opposé. Cette disposition permettra de choisir de suite d’entre les diverses propositions qu’on vient de donner, ou de trouver, par simple inspection du tableau suivant, la formule à employer, eu égard aux données et aux iaconnues à derterminer.
(1394) Nous procédons maintenant à disposer sous forme de tableau, pour y renvoyer au besoin, les divers cas du triangle rectangle sphérique ; la première colonne indiquant, comme dans le cas analogue (1307) du triangle rectiligne, les choses données, la seconde, les choses requises, la troisième la proportion à établir pourles trouver, la quatrième
+ es thés = 4 RE 2:
ee ee 1 Ses a.
PERS TE de ED + 2 SM rer re ee
EP TE] Re TE < Le
la proposition qui démontre ces
rapports, la cinquième le No. pour
y renvoyer; remarquant, que quand
R= 1, la division (--(31) ou multi- q plication par R ne change pas la va-
leur du résultat.
un | .:
À Ë Tableau :
| pourla SOLUTION du triangle PREUVE. £ o 4 sphérique rectangle. ; A | À ” a | b |R:sin.a:: sin. B : sin. b= sin. a x sin. B 1357 inv. > :
a et | © |R: cos. B :: tang. a : tang. c= cos. B X tang. a| 1861 inv. *| B| CR: cos. a::tang. B : cot. C = cos. a x tang. P1859 inv. 3 û b | © |R: sin. b::tang. C : tang. c= sin. b x tang. C [1895 inv. 4 &let | a |Cos.C:R:: tang. b: tang. a = tang. b+ cos. Cl'3GL ...... 5 e | ë C | BR: cos. b:: sin. C : cos. B= cos. b x sin. C [1865 inv. 6
transp A he SA es eue ee inv. et a (Sin. B: sin. b::R: sin.a= sin. b+sin. B 1357 trancp
