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2. Une quantité de liqueur (2nde fig. du par. 1443) dans un vaisseuu, incliné de 15 degrés à l'horizon, et dont la forme est celle d’un tronc de cône de 5 pieds de hauteur, ayant un diam. inf. de 10 pieds, et un diam. sup. de 8.8 pieds, laisse voir un segment du fond dont le sinus-verse ou Ja hauteur est de 2.5 pieds. La surface ou base sup. de l'onglet formé par le liquide est (page 622) un segment d’ellipse dont le sinus-verse ou hauteur est de 7.6 pieds; cette hauteur du segment fait partie du plus grand diam. de l’ellipse, lequel est de 10.3 pieds, le petit axe étant de 9.9 pieds. On demande le nombre de gallons de liqueur dans la cuve?

Rep. Les autres facteurs ou éléments nécessaires qu calcul sont la hauteur du cône dont la cuve fait partie, et la verticale ou perpendiculaire menée du sommet du cône au plan horizontal de la surface du liquide, On obtient (4664) la première de ces dimensiôns en faisant 10 —8.8:5 :: 10: 40.1666. La seconde peut alors se déterminer assez correctement, par construction géométrique, à l’aide d’une échelle de parties égales, et est de 37.87 pieds. La surface entière de la base est 10 x 10 x.7854—78.54, la sur-

face du segment visible du fond de la cuve est (1454).153546 x 10 = 16.3546, leur différence 63.1854 est ]: surface de la base inf. de l’onglet. La surface entière de l’ellipse dont la base sup. de l'onglet fait partie est (8469) 10.3 x

9.9 xX.7854= 80.0872; le moindre segment de l’ellipse a pour hauteur 10.3—7.6=—2.7, la surface de ce segment est (1473) .164019 x 10.3 x 9.9 = 16.7250, la différence de ces surfaces donne pour base sup. de l'onglet 63.3622 pieds carrés. Le volume de cette partie du cône entier dont l'onglet fait partie est (1056) 63.1854 x 440.1666—=845.97668 ; le volume du cône partiel qui a pour base la surf. sup. du liquide est 63.3622 x 37.873 = 799.84217, la différence de ces volumes 46.13451 est le volume de l'onglet; ce vol. x 1728 (nombre de pouces cubes dans un pied cube) puis-:231 (nombre de pouces cubes dans un gallon) ou multiplié de suite par 7.48 (nombre de gallons dans un pied cube) donne enfin pour capacité de l'onglet 345.0861 gallons.

“ PROBLÈME XXXI

Déterminer le volume d’un onglet de cylindre.

(1519) REGLE. Considérez l'onglet donné comme étant celui d'un cône dont la hauteur, eu égard à celle de l'onglet et au degré d'exactitude voulu dans le résultat, serait de 10, 100, 1000, etc. fois le diamètre de sa base, et procédez ensuite comme dans le dernier problème.

REP. 1. Ilest évident qu’il ne s’agit ici que de l’onglet partiel ou proprement dit ABC-D, fig. du par. (1140) ou MBN-C (REM. 4); car on a déjà vu (note page 631) que l’onglet entier ou complet n’est autre chose

8 un vaisseuu, d’un tronc de et un diam.

ius-verse ou Ja t formé par le se ou hauteur grand diam.

9 pieds. On

alcul sont la erpendiculaire liquide, On —8.8:5::10:

ctement, par les, et est de 78.54, la sur-

0 =15.3546, . La surface 469) 10,3 x pour hauteur 9 x 10.3 x 9.9 . de l'onglet dont l’onglet lume du cône 2 x 37.873 me de l'onje) puis-:231 uite par 7.48 é de l’onglet

ndre.

celui d'un l'exactitude ètre de sa

partiel ou . 4) ; car autre chose

qu'un tronc de cylindre dans lequel la moindre hauteur est nulle ou égale à zéro, et on en obtient de suite le volume en faisant le produit de sa base par la moitié de sa plus grande hauteur. Ce n’est donc que pour simplifier le calcul et pour permettre la comparaison des volumes exacts et rapprochés des onglets correspondants de cylindre et de cône que nous ne donnons ici que des exemples d’onglets entiers, pendant que le problème n'a trait qu'aux onglets partiels. Le procédé à suivre est d’ailleurs le même dans les deux cas.

REM. 2. L'onglet de cylindre, comme l'onglet de cône, se rencontre assez souvent dans la pratique, à l'endroit des intersections de voûtes et autres corps cylindriques par des surfaces planes. La liqueur qui ne recouvre qu’en partie le fond d’un vaisseau cylindrique incliné, offre aussi au calcul une figure de cette espéce.

REDME. 3. Quand la hauteur de l’onglet n'excède pas le diam. du cylindre dont il fait partie, un cône de 10 diamètres donne un résultat dont l'erreur ou défaut n'excède pas 5 pour cent ou ;; du vol. réel; et le défaut est d'autant moindre que la hauteur de l’onglet est plus petite, relativement à l’étendue de sa base.

Le cône de 109 diamètres donne pour résultat un volume qui, même avec un onglet dont la hauteur est de deux diamètres, ne différe du vol. exact que de 1 pour cent à peu près, et dont i’erreur ou défaut n’est que d’une fraction de l’unité, quand la hauteur de l’onglet à estimer n’est que d’un ou de moins d'un diamètre.

Avec 1000 diamètres le défaut de volume n’est que d’un cinq-millième plus ou moins, suivant la hauteur de l’onglet relativement à l'étendue de sa base.

Il est clair que l'emploi d'un cône de 10,000, 100,000 1000,000, ete., diamètres donnerait un résultat de plus en plus voisin du volüme exact de l'onglet proposé, l’erreur diminuant dans une proportion à peu près décuple pour un diamètre 10 fois plus grand; mais si l’on fait attention que le volume à déterminer n’est d'ordinaire qu'une fraction de l'unité de vol. dn cône entier, et que dans le cas de 10,000 diamètres, par exemple, le premier chiffre valant du vol. de l'onglet n’est que le quatrième chiffre de la différence des cônes entier et partiel et que le quatrième chiffre du vol. cherché est le huitième de cette même différence, on verra que sauf à la condition de faire usage de logarithmes ou d’autres facteurs ou éléments:allant à plus de 7 décimales ou de se donner un surcroit de travail dans l'extraction des racines par nombres naturels et dans les autres opérations à faire, l’on ne saurait aller au delà du cône de 1000 diamètres, lequel d’ailleurs donne toute l'exactitude voulue dans la pratique.

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Ex. 1. Déterminez, à moins d'un cen- B.

tième près, le volume d'un onglet de Æ cylindre AB-C dont la hauteur BC=AB le diam. du cylindre.

Rep. Soit S le sommet du cône, SP sa hauteur, BKS son côté ; l'onglet de cône sera AB-C/, AC’ sera le grand et EFGH le petit diamètre de l’ellipse AEC/F qui en constitue la base supérieure. (Le petit diamn. est plus correctement E/F’, où O/ est le centre de AC/; mais excepté dans le cas ou PS n’est que de 10 diamètres,

on peut, pour simplifier, négliger 0/0 et mettre EF à la place de E/F/ et par conséquent GH à la place de G/H/). Soit C/D perpendiculaire sur AB ; on aura, sans erreur sensible, BD=CK=—demi-diminution du diam. du cône pour une unité BC (soit ;45) de la hauteur du cône entier. La hauteur du cône partiel AC/-S est SR/ (perpendiculaire au plan AEF de la base sup. de l’onglet)=SP/-P/R/=cosinus naturel de l'angle BAC de l’onglet, ou de son égal (322) S, multiplié par le nombre d’unités ou de diamètres dans SP et diminué de P/R/ ou PR, la partie du cosinus qui correspond à OP ; or OP, dans cet exemple, =3 BC ; l'angle BAC=45, à cause de BC=AB ; le cos. nat. de 45°=, dans les tables, .70711; ce cosinus x 100 70.711 — SP’, et, x 4,—.35355 ou .354 = PR, et SP/-P/R/—70.711 — .354 = 70.357 fois le diam. AB.

Maintenant, quelle que soit la valeur du diam. AB, supposons pour simplifier le calcul, qu'il soit égal à l'unité ; on aura (684) surf. AB=.7854, et (1050) vol. AB-S=.7854 x 100-:3— 26.18. On aura (8s9) AC/— VAB? + BU? — 2AB.BD=VI? + (.995)2 — 2(1 x.005) (car on peut, sans erreur sensible, prendre BC/= DC/=DXK -- C’K=—BC — CK = 1 —.005=,.995 et BD=CK=.005)= 1.990025 —01=V1.980025 =, négligeant les .000025, Ÿ1.98 =, par logarithmes ou autrement, 1.4071. Le petit diam. EF=GH — .995=AB —.005, puisque LK = AB —.01 et que OP = 4BC. La surface AEC/F =(1469) AC x EF x.7854=.1.4071 x .995 x .7854= 1.0996 ; le volume du cône partiel=1.0996 x 70.357 = 77.364557 dont le tiers 25.788185 retranché de 26.18, vol. du cône entier, laisse pour vol. de l'onglet .3918.

Le vol. exact de l'onglet proposé est (1099 ou 1495) = surf. AB x 3 BC = .1854 x 4=.3927, et 3927 — 3918=,47 près ou le quart de 1 pour cent; c'est-à-dire que .3918 est, à moins de 1 pour cent près, le volume d’un onglet semblable à l'onglet proposé, et sous un diamètre égal à l'unité ; et comme (1103, 15°) les solidités ou volumes des polyèdres semblables sont entre eux comme les cubes de leurs dimensions homologues, si l’on suppose que

de E/F/ et par re sur AB ; on liam. du cône

La hauteur de la base sup.

l'onglet, ou de iamètres dans espond à OP ; de BC=AB ; x 100 70.711 -.304= 70.357

ons pour sim- . AB=.7854, (3s9) AC/— )n peut, sans 1 —.005=,995 nt les .000025, 15 EF=GH =

urface AEC/F ; le volume du 185 retranché

rf. AB x 4 BC

1 pour cent ; ne d’un onglet té; et comme es sont entre | suppose que

AB soit de 60 pouces, on aura 1°:60 :: .3918:84628.8 pour volume de l’onglet donné en pouces cubes.

Ex. 2. On demande, à moins d’un centième près, le volume d’un onglet de cylindre dont la hauteur est de deux diamètres.

Rep. Ona (1229, 2°)1:2::R: tang. BAC =2; d'où, BA = 639 26/ 6” dont le cos. nat. = .44721 lequel x 100=—44.721 =SP/. Ici, puisque BC = 2, on a OP=1 et PR ou P/R/ 2: .441, et SP/ = P/R/= 44,721 — 447 =44,274= hauteur SR/ du cône partiel AC/-S. Le dism. AC/ =VAB? + BC? — 2AB.BD = 12 + (108)? = 2 x .0l)= 12 + 3.9204 — .02=V4,9004 = 2.2137; EF ou GH=.99, surf. AC/=2.2137 x.99 x .7854=1.72125, vol. cône partiel = base 1.72125 x hauteur 44.274-3=25.4022 ; cône entier. noins cône partiel, =26.18 -- 25.4022=.7778 = vol. de AB-C/; or, le vol. ae AB-C=base AB x34AC=.7854x1=.7854 et .7854—77178=%}%7=.0097 ou moins de 5405 ; donc .7778 est l'unité de volume de. l’onglet proposé, à moins d’un

centième près, et si AB=—10, par exemple, 1°:10 ::.7778: 777. 8, le vol. exact étant 785.4 et la différence moindre que 1 pour cent, tel que RATS

Ex. 3. Soit à déterminer, à moins d'un millième près, le vol. de AB-C, BC étant=AB.

Rep. AC=VI? + (9995)? — 2(I x DITS) LVT-HIONOI) LV ITINE, 998, négligeant les .00000025,=1.413506 ; EF =.9995, surf. AC/=1,413506 x .9995 x.1854=1.1096123, SP’ = ob. nat. BAC x 1000=.7071068 x 1000 = 707. 1068, SR=707.1068 — .35355=706.75325=hauteur du cône partiel; le vol. du cône partiel = surf. AC/ 1.1096123 x SR/ 706.75325--3—261.4073664 ; le cône entier=.7854 x 10003 ::785.4+3—9261.8; la différence du cône entier au cône partiel=.3926336 ; le vol. exact de AB-C=, comme dans le ler exemple, .3927 ; la dférence entre AB-C/ et Rene 6000 près, c’est-à-dire, moins d’un millième, tel que voulu.

Ex. 4. Quand BC= 34 AB, trouver, à moins d’un centième près, le vol. de AB-C.

Rep. Le vol. exact de AB-C=.7854 x 3BC=.7854 x L=.19635 ; le vol. du cône entier =, comme auparavant, 26.18 ; l'angle BAC=(1229, 2°) 1: 3::R: tang. .50000=26° 33° 54” dont le cos. nat.—.8944276 lequel x 100 —89.44276=SP/. Dans cet exemple, BC étant=à, on a OP=X et par conséquent PR ou P/R/=—le quart de .8944276=.2236069 et 89,44276 — .2236069 = 89.219153 = SR’ hauteur du cône partiel. On a AC/ = VI2 + (49875) —2(1 x .0025) = VI + .24875 — .005=V1.24375 = 1.115236 ; EF =—,9975, surf. AC/= 1.115236 x .9975 x .7854=.87371666; vol. cône partiel =.87371666 x 89.219153 + 3 = 25.98408. Or, 26.18—25.98408— .19592 et .19635 le vol. exact—.19592= 55; —=.0022 près, soit 2 millièmes ou + de 1 pour cent.

RE. 4. Comme on l’a déjà dit, le procédé à suivre pour l’onglet partiel,

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MBN-C, dont il s’agit uniquement ici, n’est autre que celui que l’on vient d'employer pour l'onglet entier; car, que le point À soit situé en P ou en a, ete., on n’en aura pas moins et toujours AC/=YAB? + BC/?—2AB.BD ; BD supposé égal à CK sera toujours moitié de la diminution, AB-KL, due à la partie BC de la hauteur entière du cône ; C/K que l’on suppose dans le prolongement de DC/, et par conséquent perpendiculaire à KC, se trouvera, comme auparavant, par la proportion AB : BC :: CK:KC/ ; on aura BC/ qui est sensiblement égal à DC/ en retranchant KC/ de DK ou de DC; et.la proportion AB:BC::R: tang. BAC fournira l'angle A ou S, dont le cos. pat. sert à déterminer la hauteur SR/, SP’ ou Sr (suivant le cas) du cône partiel.

Maintenant, à l'effet de trouver les autres éléments ou facteurs AC’, EF qui vont à déterminer la eurface MC'N du segment d’ellipse A/EC'F dont la base sup. de l'onglet fait partie, on a dans le triangle A’A A”, l'angle A—BAC, le côté A'A=diam. A’B—AB, ét l’angle A” A'A=900 + A’’A'V (il est clair que A’V est à A"V comme la hauteur du cône à la moitié de son diamètre A/B, comme 1 est à .005 ou à .0005, suivant le cas, :: R:tang. pat. A//A/V ; d’où, tang. nat. A’/A/V=.005 ou .0005 est connue et par suite au moyen de tables, l’angle A//A/V lui-même est connu), pour trouver AA// et A/A//. Dans le triangle A//A/V rectangle en V, on a R : sin. A//A/V :: A'A': AN, d’où AV = sin. nat. A"A/V x A'A'; ArQ=A'B+2A"VetEF out GH = 4 (A*Q +TC)=, d'ordinaire, 4 (A”Q + LK), puisqu'on peut généralement substituer, sans erreur sensible, LK à TC.

REM. 5. Si l'onglet était tronqué par un plan, parallèle ou non à celui de sa base, on déterminerait le vol. du tronc proposé en calculant séparément les volumes respectifs de l'onglet non tronqué et de la partie tronquée, pour prendre «ensuite la différence de ces volumes.

Si l'onglet donné était celui d’un cylindre oblique, on le considérerait comme étant le tronc d’un onglet de cylindre droit et on en aurait le vol. en faisant la somme ou différence (suivant le cas) des parties composantes.

Il est à peine nécessaire de dire que si le plan supérieur de l’onglet donné passe par le point P, la hauteur du cône partiel sera S P ; et si l'onglet donné est aBc, on aura pour hauteur du cône partiel Sr, c.-à-d. SP’ + P'r/ = cos. S + P'r'= cos. Bac + P'r'.

Rappelons-nous en même temps que les problèmes XII et XVIII de ce livre fournissent le moyen d'arriver aux surfaces respectives des bases intérieure et supérieure (segments de cercle et d’ellipse) de tout onglet partiel ou tronqué.

Ajoutons aussi que le taux ou pour-cent de différence entre les volumes

que l’on vient 16 en Pou en TAF. ED ; , AB-KL, due 1ppose dans le , 8e trouvera, aura BC/ qui | de DC; et.la dont le cos, > cas) du cône

as, :: R'tang.

1e et par suites trouver AA// n. A//A!/V ::

2A"V et EF isqu’on peut

non à celui ilant séparétie tronquée,

erait comme l. en faisant onglet donné et si l’onglet

VIII de ce s bases inté-

et partiel ou

es volumes

respectifs des onglets correspondants de cylindre et de cône, tel que déterminé par les quelques exemples qu'on en a donnés, pourra servir au besoin à corriger, d’une manière au moins approximative, les résultats que donne. rait le calcul d’autres onglets de proportions à peu près analogues.

REM. 6. Si l'onglet proposé ne formait pas partie d'un cylindre régulier, le procédé à suivre serait encore identique ; et l’on trouverait tout de même le volume d’un onglet de prisme quelconque en faisant la différence des parties correspondantes des pyramides entière et partielle, substituées au prisme.

REM. 7. Il importe de faire observer qu'il suffira le plus souvent d’une simple construction géométrique pour obtenir de suite et sans aucun calcul, à l’aide d’une échelle suffisamment subdivisée, toutes les données AC’, A!/!C’, A!B, EF=GH, PR ou Pr, etc. qui seraient nécessaires à la détermination des volumes relatifs des cônes ou pyramides à estimer; l’arête MN de l'onglet et le sinus-verse AB du segment de cercle MBN pouvant se mesurer, la hauteur SP étant connue, et la hauteur SR/, SP où Sr’ du cône partiel ou de la pyramide, suivant le cas, pouvant se trouver facilement, comme on l’a fait voir, à l’aide du cos. nat. de l’angle BAC de l'onglet et de l'élément PR ou Pr à soustraire ou ajouter suivant que l’arête MN de l'onglet est située en AP ou en BP.