DAT N LA

it (1OS9) 3T

d'=ab "ad onc le volume vendré par la

révolution du trapèze EBDF forme le segment sphérique dont il s'agit) =3T

(ab° - ad°)EF. Maintenant, 7 46° (1024) surf. cercle ab, % ad” = surf.

cercle ad et par conséquent x (ab° — ad )= surface de l'anneau circulaire

db. Il est clair aussi qu’on peut écrire 7 (ab ad) 8 EF ou 4 7 (ab' — ad’) 4 EF, puisque #-:-4 = 4; done le volume de BD=(4 surf, db) x 4 EF ou 4 fois la surface de l'anneau engendré par la révolution de db, multipliée par un sixième de la hauteur EF du segment. Or le volume du cône tronqué composant est= (1516) (surf. base FD + surf. base EB + 4 surf. section parallèle ad) x 4 EF ; donc le volume entier du segment de sphère = (surf. base FD + surf. base EB + 4 surf. section ab également éloignée de EB et de FD) x } EF; donc, etc.

(1530) En quatrieme lieu, Après avoir démontré l'exactitude de “l'expression générale ’ dans le cas de la sphère et du cône, solides engendrés par la révolution du cercle et du triangle, les deux sections extrêmes du cône (et les plus dissemblables) l’une par un plan parallèle à sa base, l’autre par un plan perpendiculaire à sa base et passant par le sommet du cône, on est porté à croire qu'il en sera de même, par analogie, des corps engendrés par la révolution des trois autres sections coniques proprement dites, savoir : l’ellipse (génératrice de l’ellipsoïde ou sphéroïde), la parabole (génératrice du paraboluïde) et l’hyperbole, (génératrice de l’hyperboloïde), et cela à cause de la position intermédiaire qu’occupent ces trois sections entre les deux autres, chacune de ces dernières ayant à passer successivement à l’état d'hyperbole, de parabole et d’ellipse, ou'vice versa, pour, de triangle devenir cercle, ou pour, de cercle devenir triangle; ou ce qui est la même chose, le cône ayant à passer successivement à l’état d’hyperboloïde, de paraboloïde et d'ellipsoide pour devenir sphère, ou la eohère par le chemin contraire pour devenir cône.

Et en effet, les expressions que fournit le ‘ calcul différentiel et intégral ?”’ pour les volumes respectifs du sphéroïde, et des conoïdes parabolique et hyperbolique ou des segments de ces cc:ps, se traduisent et se réduisent facilement à celles contenues dans l'énoncé de cet article et dont elles nediffèrent, que par la forme.

(1531) Enfin, Il reste à démontrer que quand le segment AC d'un fuseau, par exemple, ou de tout autre solide de révolution, etc., n’est pas celui d’une sphère, d’un sphéroïde, d’un counoïde régulier ou d'un cône, on n’en obtient pas moins le volume, au moins à très prè., par la formule (E + F +4 ab)x4 EF. En effet, on a toujours vol. çône tronqué AC= (surf. E + surf..F +

A Fe ee EE d z 4

RE Le Tes

4 surf. ed) x 4 EF, ce qui d’ordinaire offre déjà une approximation assez peu éloignée du volume désiré.

On a encore (par la formule) pour le volume du solide engendré par la révolution du segment BbC autour de l’axe EF, 4 fois la surface de l’anneau, dont la largeur est db, multipliée par un sixième de la hauteur EF ; or, menant les droites bC, bB, les solides engendrés par la révolution des triangles bdB, bdO, en les considérant comme prismes triangulaires continus, auront pour volume la surface de l'anneau bd, leur base commune, par lu moitié de la hauteur EF, ou ce qui est la même chose, trois fois la surface de la base annulaire db-ae par un sixième de la hauteur EF, ou vol. BbC = 3 surf. bd x } EF, lequel ajouté à celui du cône tronqué composant AC du solide à estimer, fournit une nouvelle approximation encc : plus voisine que la première du volume requis. Il reste encore pour «:1\pléter le volume que donne la formule (E + F + 4 ab) x 1 EF, le produit de 4 EF par une fois la surface de l'anneau décrit par bd, et pour couvrir ou rencontrer ce dernier produit on a les solides engendrés par la révolution des segments bcC, bgB. Maintenant, il : + clair que la somme de ces derniers est au solide engendré par le segmer.* 3bC, dans le rapport près, des surfaces res. pectives de la somme des segments dB, bC' au segment BC ; or ces surfaces sont l’une à l’autre, à très près, comme 1 est à 4; d’où il suit que le reste (surf. bd x 4 EF) dont on vient de parler, correspondra sensiblement au volume de la somme des solides bB, bC qui vont à compléter le segment donné ABCD; donc, etc.

(4532) Remarquons que la différence entre le vol. exact du segment proposé et son volume approximatif par la formule (E + K +4 ab) 1 EF, est toujours en plus, ce qui est dû en partie à ce que, en considérant le solide engendré par la révolution du segment BbC autour de l'axe EF comme un prisme continu, (ou comme un anneau solide ayant pour coupe le segment BbC) avec une longueur moyenne égale à la demi-somme des circonférences ab, ed, on prend cette longueur un peu trop grande, puisque le prisme continu dont il s’agit perd plus de sa longueur en C qu’il n’en gagne en B; ce qui nous porte à observer aussi que puisque l’anneau solide engendré par la révolution du segment BbC est plutôt un tronc de prisme continu ou une suite de troncs de prismes, on en aurait assez correctement le volume en faisant (1095) le produit de la surface génératrice BbC (coupe du prisme par un plan perpendiculaire à ses côtés ou arêtes) par le tiers de la somme des circonférences en B, b et C (longueurs respectives des arêtes de l’anneau ou du tronc) et l’on ajouterait encore à l'exactitude du volume à obtenir en multipliant la surface génératrice BbC de l’anneau par le cinquième de la somme des cinq circonférences en B, g, b, cet C ou par la somme d'un nombre quelconque, de circonférences (prises à des distances égales l’une de l’autre) divisée pa, le nombre de ces circonférences.

tenir le

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