AB, DC

titude su dsurfact actitude du corps petits et la major

nombre suffisante

(1535 Je volume conque O par des p l’autre.

prismoïda dont la so manière I OP, pour PQ, et ail 4 ab + 2A àdire: à bases exté fois la son autres trai ef, etc. de de Ja haut

ximation assez

ngendré par la ice de l'anneau, auteur EF; or, ition des trianlaires continus, ommune, par la fois la surface , ou vol. BbC = mposant AC du plus voisine que pléter le volume e } EF par une ou rencontrer ce n des segments derniers est au des surfaces resor ces surfaces | suit que le reste sensiblement au léter le segment

Pxact du segment FE +4 ab) } EF, n considérant le l’axe EF comme coupe le segment es circonférences e le prisme con-

gagne en B ; ce

à engendré par la e continu ou une ht le volume en coupe du prisme ers de la somme

êtes de l'anneau une à obtenir en cinquième de la la somme d'un s égales l’une de

(1533) La règle qu'on vient de donner pour obtenir le volume d’un segment de solide à surface convexe, s'applique également au segment d'un solide à surface concave, la même démonstration pouvant servir dans les deux cas, comme l’indiquent les lettres dans la figure; avec cette réserve seule-

ment que la différence entre le vol. exact et le vol. rapproché sera évidemment en moins au lieu d’être en plus, car dans ce cas la longueur moyenne du tronc de prisme continu ou de l'anneau solide engendré par la révolution du segment BbC est moindre que la moyenne à obtenir en faisant entrer en compte les circonférenves en B et en C. On aura donc le volume, près, du segment AC, égal à la différence des volumes du tronc de cône AC et de l'anneau solide dû à la révolution du segment BbC, c’est-à-dire en faisant le produit du sixième de la hauteur EF par læ somme des surfaces des bases AB, DC et de quatre fois la section ab à demi-distance entre ces bases.

(41534) La même régle donnera encore avec une exac- E titude suffisante dans la pratique, le volume du conoide AEB à surface concave, et souvent on ajoutera indéfiniment à l’exactitude di volume à obtenir par une subdivision continue du corps à ‘stimer, en segments parallèles, de plus en plus petits et de hauteurs égales entre elles. Cependant dans la majorité des cas, il ne sera pas nécessaire de porter le A Æ B nombre des subdivisions au delà de 3 ou 5 pour s’assurer d'une précision suffisante dans le résultat.

(535) En generau on obtiendra à très près CtE le volume d’un corps régulier ou irrégulier quelconque OT en le divisant en tranches ou segments, y{ : par des plans parallèles à distances égales l’un de li l'autre. L'on fera séparément par la formule Yi DPF KE

prismoïdale (O0 + AB + 4 ab) 4 OP, le volume de chacune de ces tranches dont la somme sera le contenu solide du corps proposé. On aura de cette manière pour volume du segment OAB, (surf. O + surf. AB +4 surf. ab) 4 OP, pour volume de la tranche suivante BC on aura (AB + CD +4 cd) } PQ, et ainsi de suite; d’où il est clair que le vol. entier du solide—(0O + 4ab+ 2AB + 4cd+ 2CD +4 ef+ 2EF + etc. + MN) x 4 OP ou PQ, etc., c'est àdire: à la somme des surfaces des extrémités O, T, du solide donné, ou des bases extérieures de la première et de la dernière tranche, l'on ajoutera deux fois la somme des autres bases AB, CD, etc. de ces deux tranches et des autres tranches composantes, plus quatre fois la somme des sections ab, cd, ef, etc. de ces tranches, pour multiplier ensuite le tout par la sixième partie de la hauteur OP ou PQ, etc. de l’une d’eiles ; le résultat sera le volume du

corps proposé, (formule analogue à celle du par. (K481) pour obtenir la surface d’une figure plane quelconque.

(1536) Il est clair aussi que pour arriver au £ volume d'un tronc ou segment quelconque ABab, bi à de sphère, de sphéroïde ou de conoïde à bases non parallèles AB, ab, on n’aura qu'à faire séparément le volume du solide entier AB-E et celui du solide partiel ab-e pour prendre ensuite la différence de ces volumes. On aura de cette sorte vol. AB ba = (surf. AB+4 surf. section intermédiare entre AB et Èx4 EF) moins

(surf. ab + 4 surf. section intermédiaire entre ab etex4 ef).

(1537) Faisons maintenant l'application de cette formule générale à la solution des divers problèmes qui y ont trait, (sauf cependant, le prisme ou cylindre, la pyramide ou le cône, le tronc de pyramide ou de cône, et le prismoïde, dont on a déjà traité), et prenons aussi occasion de mettre en regard, dans certains Cas, les résultats ainsi obtenus et ceux que fournissent les règles ordinaires, afin de pouvoir en comparer l'exactitude et la somme de travail nécessaire pour y arriver.

PROBLÈME XXXII

Trouver la surface d’une sphère.

(1538) REGLE I. Multipliez (1071) la circonférence d'un de ses grands cercles par son diamètre.

REGLE ŒX. Multipliez (1072) le carré de son diamètre ou quatre fois le carré de son rayon par .T854 et par 4, ou de suite par 3.1416. Ex. 1. Quelle est la surface d’une sphère dont le diamètre est 7 ? 2. Le diamètre d’une sphère est de 24 pouces ; quelle en est la surface ? Rep. 1809.5616.

8. Combien faudra:t-il de pouces carrés de dorure pour recouvrir une boule sphérique dont la circonférence est de 78.54 pouces ? Rep. 78.54-:-3.1416 = 25=diam. et 78.54 x 25 = 1963.4 p. c. 4. Quelle est la surface de la terre si le diamètre en est 7912 miles ? Rep. 196,663,355.7504.

#5. Combien faudra-t:il de pieds superficiels de plomb ou autre métal] pour couvrir un dôme hémisphérique dont le diamètre est de 33 pieds 4 pouces ? Rep. 334 x 334 x .7854 x 2= 1755 pieds carrés; car, si la surface de la sphère entière vaut 4 grands cercles, il est clair que celle de l'hémisphère vaut 2 grands cercles.

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12 miles ?

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6: La voûte du rond-point d’une église est en forme d’un quart de sphère dont le rayon est de 15 pieds; on demande le nombre de verges d’'enduits nécessaire pour en revêtir la surface ?

Rep. 30 * 30 x .7854-+9 = 78.54 ou 784 verges; car, puisque la sphère entière vaut 4 grands cercles, le quart de sphère n’en vaut qu'un.

7. Quel sera, à raison de 5 livres au pied carré, le poids d’une chaudière hémisphérique en cuivre dont la circonférence est de 1884 pouces ?

Rep. 188.5--3.1416 = diam.=60 et 188.5 x 60=—11310 pouces carrés dont la moitié 5655144 := 39.27 pieds carrés, cette surface multipliee par 5

(le poids par pied c.) donne 196.35 hvres.

(1539) REGLE HEIX. Considérez la surface de la sphère comme un composé de trapèzes continus ou de zones d'égales largeurs et procédez à la manière du paragraphe (4520).

Ex. 1. Quelle est la superficie d’un hémisphère dont le diamètre est 263 ?

Rep. fa circonférence=263 x 3.1416 = 826.2408, le quart de circonfé. rence 206.5602 divisé en 5 parties égales, donne pour largeur développée d’une des zones composantes 41.31204. Les diamètres intermédiaires de ces zones obtenus au moyen d’une échelle de 40 unités au pouce, mesurent respectivement, comptant de la base au sommet, 250, 213, 154, et 82 ; la somme de ces diamètres intermédiaires plus la moitié (131.5) du diamètre 263 à la base, est 830.5; cette somme X 3.1416 donne la somme 2609.0988 des circonférences à entrer dans le caleul ; cette dernière x 41.31204, largeur d'une des zones, donne enfin pour réponse 107,787 unités de surfaces.

REM. Les deux premières règles donnent chacune pour surface de l'hémisphère proposé 108,650.66 unités. La différence entre ces résultats est de 863.5, 863.5: 108,650 =.008 près, c’est-à-dire que le taux d'erreur est de 4 de 1 pour cent à peu prês. On en conclut que dans tout cas analogue, il suffira d'augmenter de .008 ou de .01, près, le résultat obtenu par cette règle, pour être très voisin de la surface requise. Ù

Ex. 2. Soit à opérer maintenant avec 10 sections ou zones au lieu de 5, le diamètre de l'hémisphère restant le même ?

Rep. Les 9 diamètres ‘"termédiaires étant comme suit: 260, 250, 234, 213, 186, 154, 119, 82, et 42, leur somme + 131.5 (moitié du diam. 263 a la base) est 1671.5, cette somme x 3.1416=—5251.1844 pour la somme des circonférences à servir d'elément au calcul proposé ; la largeur d’une des zones composantes sera dans ce cas ,; du quart de circonférence, c’est-à-dire 862.2408-:4-:10 ou de suite par 40=20.65602; or, 5251.1844 x 20.65602 =108,468.57 ; on a déjà vu que le résultat exact est 108.650.66; la diftérence de ces résultats n'est plus que 182 qui équivaut à .0017, c'est-à-dire que le défaut n’est plus que du £ de 1 pour cent.

Ce taux d'erreur ajouté au résultat de tout autre opération analogue don-

gr.

vérité.

Ex. 3. Voyons maintenant en quoi l’on ajoutera à la précision du réeultat, en opérant la solution du même problème, au moyen d'un nombre additionnel de subdivisions, soit 20 par exemple.

R:p. Les 19 diamètres intermédiaires sont 262, 260, 256, 250, 243, 234, 224, 213, 200, 186, 171, 154, 138, 119, 101, 82, 62, 42, 21; somme des diamètres intermédiaires + le demi-diam. à la base =3349,5; multipliant par 3.1416 et par 10.32801 (largeur d'une des sections) l’on a 108,679.5 contre 108,650.66 la surface exacte. La différence est dans ce cas en excès au lien d'être en défaut de la surface voulue, comme elle devait l'être (4520) et comme elle le serait en effet si l’on avait calculé les diamétres intermédiaires des zones composantes au lieu de les obtenir graphiquement ou mécanique. ment comme on l'a fait à l’aide d’un diagramme en petit sur le papier et d’une échelle de parties égales. Cette différence ou excédant n'est cependant que de 29 unités sur 108,650, soit de .00027 ou moindre que 34 de 1 pour cent ; elle est due à ce que l’on ait négligé en mesurant les diamètres intermédiaires, les fractions d'unités qu’on pourrait au besoin faire entrer en compte; mais avouons que dans la pratique un résultat qui comme celui ci ne s'éloignerait de la vérité que de 35/55 soit en plus ou en moins, équivau. drait à une exactitude parfaite.

(1540) REDMI. Si nous mettons cette troisième règle au nombre de celles dont on peut faire usage pour déterminer la surface d’une sphère ou partie de sphère; ce n’est pas qu’on trouverait à propos d’en faire l’application pour arriver à la surface d’une sphère proprement-dite ou à la solution de tout problème analogue pouvant se résourdre par des règles plus simples et plus directes; mais c’est que dans la pratique, il est assez rare que l'on ait affaire à une sphère parfaite, à une partie de sphère parfaite, à un sphéroïde ou partie de sphéroïde proprement-dit, à un paraboloïde ou hyperboloïde exact, ou en général à un solide de révolution, dont la courbe génératrice soit une exacte section de cône, telle que le cercle, l’ellipse, la parabole et l'hyperbole. Il est donc évident que dans tous les cas où l'on n'aurait pas à opérer sur un sphércïde ou conoïde parfait, ou dont l’on ne pourrait établir l’espèce que par un travail préliminaire considérable, il vaudra mieux procéder de suite par la Règle III que de recourir à une autre règle qui n'aurait pas exactement trait, on ne s’appliquerait pas avec précision au problème proposé.

(4541) Ajoutons aussi que si la surface à estimer au lieu d'être partout d'égale courbure comme celle de la sphère, était, comme celle d'un paraboloïde, etc., de courbure inégale, l’on pourrait, avant de procéder à la subdivision en zones d’égales largeurs, diviser d’abord la surface à estimer en deux ou plusieurs parties que l’on subdiviserait ensuite en un moindre

nerait donc à peu de chose près, une approximation assez voisine de la

ou Ep la pe men parti

(4 vue, déta blèm Il se milli exac coût

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(' rayor RI]

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260, 243, 234, |; somme des aultipliant par ,679.5 contre excès au lien re (1520) et intermédiaires ou mécaniqueur le papier et t n’est cepenre que 3% de 1 t les diamètres faire entrer en omme celui ci 1oins, équivau.

au nombre de une sphère ou faire l’applicaà la solution 8 plus simples rare que l’on ite, à un sphée ou hyperbobnt la courbe e, l’ellipse, la s cas où l’on

dont l’on ne bnsidérable, il ecourir à une erait pas avec

d'être partout »e d'un paraprocéder à la ace à estimer

un moindre

ou plus grand nombre de zones suivant le moins ou plus de courbure dans la partie correspondante de l'arc générateur. L'on calculerait alors séparément les parties d’inégale courbure pour prendre ensuite la somme de ces parties.

(1542) D'ordinaire aussi, le mesureur ou géomètre, ne perdra pas de vue, en s'enquérant du degré de précision à apporter dans l'exercice des détails de son art, l'importance de ne pas dévouer à la solution d'un pro: blème, un travail et un temps que ne justifieraient par les circonstances. Il serait par exemple oiseux, disons même injuste, que pour établir à un millionième, millième, centième ou à toute autre unité près du résultat exact, une surface ou un volume proposé, on y dévonât un travail qui en fit coûter aux intéressés plus qu’une fraction de la valeur de telle unité. Nous disons, ‘d'ordinaire, ” car il est clair qu’il peut y avoir des circonstances, soit dans une question ou cause en litige, où les frais de faire droit aux parties peuvent dépasser et dépassent en effet souvent dans une proportion illimitée la valeur de l’enjeu.

PROBLÈME XXXIII

Trouver le volume d’une sphère.

(1543) REGLE LI. Mullipliez (1075) la surface par le tiers du

rayon.

REGLE II. Cubez (1103, 10°) /e diamètre et multipliez le nombre ainsi trouvé par 4 T : c'est-à-dire par 0.5236 ou le volume d'une sphère dont le diamètre est 1 ; car (ROS4) les solidités ou volumes de deux sphères quelconques sont comme les cubes de leurs diamètres.

REGLE KIT. Multipliez (1521) 4 fois la surface d'une section de la sphère à distances égales de ses extrémités ou summets opposés par le sirième de la hauteur perpendiculaire à cette section. Cette règle, dans le cas de la sphère, est évidemment analogue à la première, car la surface de la sphère vaut 4 grands cercles, le grand cercle est la section de la sphère par un plan passant par le centre c’est-à-dire à distances égales de deux points opposés de sa eurtace, et le 6ème de la hauteur n’est que le 6ème du diamètre ou le tiers du rayon.

Ex. 1. Quelle est le volume d’une sphère dont le diamètre est 12 ? Rep. 12X12x12 x.5237=.904.7808.

2. Si le diamètre moyen de la terre est de 7918.7 milles, quel en est le volume en milles cubes ?

"2 Rep. (1918:7)°-x..5288'= 269,992; T92; 082.6874908 m. cub.

mr ms de mm

RÉ

TPE 72 =

8. Une flèche de clocher est terminée par une boule sphérique dont le diamètre est de 24 pieds; quel en est le volume ?

Rep. 23 x 23=7}=7.1111111, 7 x 28=18.6666666, 24 x ou 2.6666666

x .5236=9,9290074 pieds cubes.

4. Quel est le contenu solide d'un boulet de canon d'un diamètre de 10 pouces ?

Rep. 107 1000, et 1000 x .5236 = 523.6 pouces cubes,

B. Combien faut-il de pouces cubes de poudre à tirer pour remplir un obus dont le diamètre intérieur est de 12 pouces ?

ep. 12x12 x.7854 x 4ou 1% X 3.1416 = 452,3904 = surface de la ephère et cette surf. x 4 rayon ou 4 diam., c'est-à-dire par 2, =904.6808 pouces cubes, 6. Combien de pieds cubes contiendra une bouée en forme de sphère d’un diamètre de 10 pieds.

Rep. 523.6 pieds cubes.

2. Une boule en pierre a 3 pieds de diamètre; quel en est le poils, à raison de 150 livres au pied cube ?

Rep. 3 *X3 x 3 x .5236 x 150—2120.58 livres.

8. Combien de gallons de liqueur (231 pouces cubes au gallon) pourront trouver place dans une chaudière hémisphérique de 10 pieds de diam. ?

Rep. Le contenu du vaisseau en pieds atèmsns 0 x .5236-+2 = 261.8, le nombre de gallons par pied cube=1728 pouces cubes-+231=7.4805195, soit 74, et 261.8 x 74=—19634 gallons, ou plus correctement 261.8 x 7.48 = 1958.26 gallons.

9. Une voûte hémisphérique de l’epaisseur uniforme d'un pied, mesure 10 pieds de diam. intérieur; combien a-t-il fallu de briques pour le cunstruire, à raison de 20 briques au pied cube ?

Rep. Ilest clair que la solidité voulue est égale à la différence des volumes des hémisphères extérieur et intérieur ; or, l’lémisphère ext. =

12 x 5236-22 = 452.39 pieds cubes, l’hénnsphère ét X .5236--2= 261.8 pieds cubes : la différence de ces volumes est 190.59 pieds cubes et 190.6 x 20=—3812 briques.

10. L'épaisseur d’une bombe est de 5 pouces et sa circonférence extérieure de 62.83 pouces ; quel en est le poids, à raison de 480 livres au pied cube ? Rep. On a pour diam. ext. de la bombe 62.83:-3.1416 20 pouces; donc le diam. de la partie évidée est 10 pouces; maintenant le volume de la

bombe est la diéiérence.des velusues des-sphères ext. et.int. Le vol. de la

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Dét:

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