a laize k mètres
en bois exe de
R.ep La circ. de la boule=30 x 3.1416 — 94.248, d’où il suit que la largeur de l’onglet=94.248-:10 = 9.4248, cette largeur x diam. 30 donne pour surface de l’onglet 282% pouces carrés. Le volume = la surface x le tiers du rayon =282.744 x 15-23 282,744 x 30 6= 282.744 x 10-: 2 — 2827.44 --2=1413% pouces cubes ou 1413.72 -- 1728 (nombre de pouces cubes dans un pied cube)= .82 près d’un pied cube, soit les quatre cinquièmes d’un pied cube.
3. On demande le nombre de toises (87 pieds cubes anglais à la toise) de maçonnerie dans l’un des 8 compartiments d’une voûte hémisphérique dont le diamètre int. est de 30 pieds et l'épaisseur de la voûte 3 pieds ?
Rep. Il est clair (1083) qu'on aura le volume demandé en faisant la différence des demi-onglets composants des hémisphères intérieur et extérieur de la voûte proposée. Or, le diam. int. étant 30, le volume de la
sphère = 30° X.5236 = 14137, le vol. de la sphère ext. =56 x .5236 = 24429 la différence (24429 — 14137 — 10292) de ces volumes divisée par le nombre (16) des demi-ongiets composants de la sphère entière, donne pour volume du compartiment 6434 pieds cubes, divisant ce dernier nombre par 87 on a 7 toises 344 pieds cubes.
(1549) Ou, approximativement, er ‘" 1itipliant la demi-somme des sursurfaces ext. et int. du compartiment par l’énaisseur de la voûte; on a
surface de la sphère int. £9 x 30 x .7854 x 4 ou 30 x .3.1416—2827.44 dont la moitié 1413.72 est la surface intérieure de la voûte entière, la surface de
la sphère ext. 36" X .3.1416—4071.5136 dont la moitié 2035.7568 est la surface extérieure de la voûte entière, la somme 3449.4768 de ces surfaces 8 est la somme des surfaces ext. et int. de la section de voûte à estimer, et cette dernière somme 431.1846 x 13 (demi-épsisseur de la voûte) ou la moitié de cette somme multipliée par l’épaisseur entière de la voûte, donne pour contenu cubique du compartiment 646% pieds cubes, ou 7 toises 374 pieds cubes.
REM. Nous disons ‘‘ approximativement,”” et en effet, le solide à estimer n’est autre chose qu'un tronc de pyramide sphérique compris entre bases parallèles. La pyramide sphérique, comme la pyramide ordinaire, 4 pour volume (4082) le tiers du produit de sa base par sa hauteur; maus, s'il était vrai que l’on pût arriver au volume d’un tronc de pyramide en multipliant la demi-somme de ses bases parallèles par la hauteur du tronc, il arriverait aussi que l’on obtiendrait correctement le vol. de la pyramide entière égal au demi-produit de sa base par sa hauteur; car si l’on suppose que la hauteur du tronc augmente indéfiniment, cette hauteur deviendra enfin égale à celle de la pyramide entière, et sa base supérieure cessera par là même d'exister ou deviendra égale à 0 ; dans ce cas la demi-somme des bases opposées sera la demi-base de la pyramide, et la règle donnerait alors
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pou: volume de la pyramide le demi-produit de sa base par sa hauteur; mais le vol. de la pyramide est au contraire le tiers du produit de sa base par sa hauteur; et la différence entre 4 et 3 est 4 ; donc l'erreur de la méthode approximative pourrait aller dans un cas extrême jusqu'à 16% pour cent, Dans l'exemple ci-dessus l'erreur en plus n’est que de 34 pieds sur 643 pieds ou de 4 pour cent à peu près, et serait encore moindre si le diamètre de la voûte était plus grand relativement à son épaisseur, ou ce qui est la même chose, si la hauteur ou épaisseur du tronc à estimer formait une plus petite partie de la hauteur entière äe la pyramide dont le tronc fait partie.
PROBLÈME XXXVII
Trouver le volume d’un secteur sphérique.
(1550) REGLE. Après avoir établi par la méthode du prob. 34 la surface de la base du secteur, on multipliera (1077) cette surface par le tiers du rayon pour avoir le volume demandé.
Ex. La hauteur de la calotte ou du segment, suivant le cas, qui (9%5) forme la base d’un secteur sphérique, est de 14 mètres, et le rayon de la sphère dont le secteur fait partie est de 5 mètres; quel est le volume du secteur ?
Rep. La surface de la base= cire. d’un grand cercle x la hauteur du segment, la circ.= diam. 10 x 3.1416= 31.416, 31.416 x 1.5=47.124 mètres carrés, cette surface x 3 rayon ou par 5-:3= 78.54 mètres cubes.
2. Quel est le volume d’une bouée en forme de secteur sphérique, la longueur du côté étant de 10 pieds et le diamètre de la base 5 pieds ?
Rep. Avec ces données on obtient d’abord la hauteur de la calotte = =62.832 laquelle x .3175—19.94916 picds carrés= surface de la base convexe, cette dernière X 10-:3= 66.497 pieds cubes.
3. Une tour circulaire dont le diam. int. est de 30 pieds, a pour voûte en pierre de taille un tronc de secteur à bases parallèles dont l’épaisseur est de 5 pieds, la hauteur de la caïotte de la voûte est de 10 pieds ; quelle est la surface concave et le contenu solide de la voûte ?
Rep. Le vol. du tronc est (1088) égal à la différence des secteurs entier et partiel composants==surf. ext. ou de l’extrados x & R, moins surf. int, ou de l’intrados x 4 r, où R et r sont les rayons respectifs des sphères ext, et int. dont les secteurs de inême nom font partie; or, on obtient d’abord (540) pour reste du diamètre du grand cercle dont la hauteur de la voûte
Q N A 2 LA fait partie et dont le diamètre de la voûte est une corde, 15 +10 (le carré de la demi-corde+-le sinus verse, c'est-à-dire le diam. de la voûte-:s8
hauteur) 16.25,
l'extrados
voûte en fe pliant par
voulue.
On aura
surf. ext. o
le volume
— (1021 x REM
du dernier } c'est-à-dire l 4; pour c.
4. Unré une surface de huit pou sphère dont qui est en n du réservoir
de briques latéral du b
ep La 314.16, cette de cette zone base ou surf cubes ; la sui
en faisant 10 (01})= 108 cubes, multi] dans l’ouvra.
RENE. EI ext. et int, di 4 pouces, ou briques, ou u par là, comm tivementc au :
sphérique, en Kles, Ceper
hauteur ; sa base par a méthode pour cent, r 643 pieds mêtre de la t la même plus petite ie.
ob. 34 la urface par
qui (975) rayon de la > volume du
hauteur du 124 mètres
hérique, la
eds ?
la calotte=
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r voûte en sseur est de uelle est la
les secteurs ns surf, int, phères ext, ent d'abord He la voûte
10 (le carré voûte-:-58
hauteur)=225-:10= 22,5; alors on a le diam.= 22,5 + 10= 32,5 et le rayon 16.25, et l'épaisseur de la voûte étant de 5 pieds, on a pour rayon de l'extrados 16.25 + 5=—21.25; maintenant, on aura la surface intérieure de la voûte en faisant la circonférence 102.102 (=3.1416 x 32.5) et en la muiltipliant par la hauteur 10, ce qui donnera 1021 pieds carrés pour la surface voulue.
On aura (1074.2°) la surface de l’extrados en faisant r:R :: surf, int. :
surf. ext. où 16.25 :21.25 ::1021:+, soit 264:452 :: 1021:æ= 1748; enfin le volume demandé= surf. ext. x 4 R— surf, int. x kr = (1748 x 21.253) — (1021 x 16.25-:-3)=12382 — 5530= 6852 pieds cubes de pierre taillée.
REM HF. La règle approximative dont il a été question dans la rem. du dernier problème, donnerait dans le cas actuel 4 (1748 + 1021) x 5 =6922 c'est-à-dire un excédant de 70 pieds eubes, l'erreur étant par conséquent de 1; pour cent.
4. Un réservoir dont la paroi latérale est une zone de sphère et le fond une surface plane, est revêtu dans toute sa surface concave d’une épaisseur de huit pouces de maçonnerie en briques qui rayonnent vers le centre de la sphère dont le réservoir est un segment. Le diamètre supérieur du réservoir, qui est en même temps celui de la sphère, est de 100 pieds et la profondeur du réservoir ou hauteur de la zone est de 20 pieds. On demande le nombre de briques dans le tronc d2 secteur sphérique que forme le revêtement latéral du bassin ?
ep La cire. de la sphère int. ou d'un grand cercle est 100 x 3.1416— 314.16, cette cire. x la hauteur 20 de la zone intérieure, donne pour surface de cette zone 6?83.2 pieds carrés, et le secteur solide dont cette zone est la base ou surface convexe est de 6283.2 x 3 r =6283.2 x 50: 3= 104,720 pieds cubes ; la surface de la zone ext. du revêtement en brique s'obtient (1074.2°)
en faisant 1007 :1014° ::6283.2:6451.8687, cette dernière x 4 R ou par 4 (014)= 108,964.894 pieds cubes= vol. du secteur solide ext., la différence 4214894 des secteurs int. et ext. est le volume du revêtement en pieds cubes, multipliant par 20 on a 84,898 pour le nombre de briques employées dans l'ouvrage.
RENE. EN. Dans ce dernier exemple, la somme des surfaces parallèles ext. et int. du revêtement est 12735.0687, cette somme x la demi-épaisseur, 4 pouces, où par 4 d'un pied, donne 4245.0229 pieds cubes, x 20= 849004 briques, où une différence de 24 briques seulement dans le résultat ; prouvant par là, comme on l'a déjà dit (5549) qu'avec une épaisseur très petite relativemenc au rayon, on obtient à très près le volume d’un tronc de secteur sphérique, en multipliant sa hauteur par la demi-somme de ses bases paral- Res. Cependant, pour ce qui est de la somme de travail à dévouer aux
Re SC rt PIE En rm
deux modes de calcul, la seconde méthode n'offre aucun avantage sur la première qu’il vaut mieux alors employer dans tous les cas.
REDM. LNH. On peut aussi dans la pratique (et c'est ce qui se fait quelquefois) lorsque l'épaisseur d’une voûte est uniforme et que le rayon de courbure en est relativement grand, simplifier l'opération et arriver à un résultat assez approximatif en multipliant de suite la surface int. ou ext, de la voûte par son épaisseur. Dans le dernier exemple cette manière de procéder donne, en se servant de la surf. de l’intrados du revêtement en brique, 6283.2 x 8 pouces ou par les 3 d’un pied=4188.8 pieds cubes x 20= 83776, ce résultat est en moins de 1122 briques ou de l£ pour cent. Si l’on prend au contraire la surface ext. 6452 x 4 on a 4301 pieds cubes, ou 86,020 briques, | résultat qui est en excès de la vérité de 1122 briques ou de 1£ pour cent comme auparavant.
