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Soit donc à trouver le rapport des surfaces de deux figures semblables tracées sur la sphère terrestre, l’une en un endroit ou le diamètre est de 7912, l’autre dans une latitude ou ce diamètre est de 7930 nulles, on fera
7912" :7930 :: 1: 1.0045552, multipliant par ce dernier nombre les 8316.053 milles carrés du dernier exemple, on obtient 8384.071 milles carrés pour surface du même polygone en un endroit ou le diamètre de la terre serait de 7930 au lieu de 7912, c’est-à dire une différence de 38 milles carrés, quantité qui quoique relativement petite, eu égard à la surface totale de l'étendue de territoire embrassé dans le relevé, n'en est pas moins très grande en elle même, équivalente qu'elle est à celle d’une ville ou d'un canton de plus de 6 milles de diamètre; ce qui fait voir l'importance d'avoir égard aux dimensions relatives de chaque partie de la sphère terrestre dans les opérations à faire pour en déterminer la surface.
Déterminer le volume d’une pyramide sphérique quelconque,
(4594) REGLE. Trouvez d'abord par les règles précédentes la surface de la base de la pyramide donnée ; multipliez ensuite (468#°2) cette surface par le tiers de la hauteur de la pyramide, c'est à dire par le tiers du rayon de la sphère dont la pyramide fait partie et Le , :sultat sera le volume demandé.
Ex. 1. Quel est le volume d'une pyramide sphérique dont la base est de 10 mètres carrés et la hauteur 30 mètres ? Rep. 100 mètres cubes.
2. Parmi les parties composantes d'un polyèdre à cuber, se trouve une pyramide sphérique ou une partie de sphère bornée par des plans se rencontrant au centre de la sphère dont la pyramide fait partie; quel en est le volume, le rayon étant de 15 pouces et la surface du triangle ou polygone qui en constitue la base de 100 pouces? Rep. 500 pouces cubes.
3. On a à faire une voûte ou partie de voûte dont le rayon int. ou de lurados soit de 30 pieds, l'épaisseur de la voûte 3 pieds et la forme celle d'un polygone irrégulier dont l'aire ou superficie int. est de 100 pieds carrés ; quel en est le volume ?
Rep. Le vol. à estimer est un tronc de pyramide sphérique à bases parallèles ; ce volume est égal (LOS) à la différence des volumes des pyramides entière et partielle ou ext. et int. composantes. On aura donc pour le vol. voulu, l'expression (surf. ext. x 3 R)— (surf. int. x3r); il y a donc a trouver la surf. ext. qui doit concourir au calcul à faire; à cet effet on a
(1074, 2°) 30° Le 3” ::100:121= surf. de l’extrados ; maintenant, (121 x11) — (100 x 10)=1331 — 1000=331 pieds cubes de maçonnerie.
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4. Quel est le poids d’un fragment d’obus où de botnbe dont le diam, int, est 10 pouces, l'épaisseur 5 pouces, et les surfaces int. et ext, ou concave et convexe 60 et 240 pouces carrés, les plans de section du fragment étant dirigés vers le centre de la sphère dont le solide à estimer fait partie, et le poids de la fonte étant à raison de 480 livres au pied cube ?
Rep. (240 x 10-+3)—(60 x 53) = 800 — 100 = 700 pouces cubes, le pied ‘eube=12 x 12 x 12 = 1728 pouces cubes, d'où on obtient le poids demandé en faisant 1728 : 480 :: 700 :1944 livres.
Trouver la surface ou le volume d’un polyèdre régulier
quelconque.
(4555) REGLE LE. Pour la surface, calculez la surface de l'une de ses faces composantes, et multipliez (ALLS) cette surface par le nombre de faces dans le polyèdre proposé.
Pour le volume : Multipliez (1124) la surface du polyèdre par le tiers du rayon de la sphère inscrite, c’est-à-dire par le tiers de la perpendiculaire abaissée du centre sur l'une des faces du solide ; le produit sera le volume demandé.
REM. On a vu (11892 et 1184) que pour déterminer dans le cas du dodécaëèdre et de l'Icosaèdre, le rayon de la sphère inscrite, il faut première. ment trouver l’angle formé par deux des faces adjacentes de ces solides, et on a indiqué la manière d'établir cet angle. On peut aussi, au moyen du méme angle, calculer la perpendiculaire dans chacun des trois autres polyèdres (dont celle de l’exaèdre est d’ailleurs égale au demi-côté de ce Corps) ou obtenir cette perpendiculaire par la méthode du par. (4128) ou (413) suivant le cas.
(4556) Il est bon de calculer et de disposer sous forme de tableau, comme on l’a fait (4440) pour les polygones réguliers, les surfaces et volumes des cinq polyèdres ayant pour côté l'unité, afin de se servir ensuite au besoin de ces surfaces et volumes, pour déterminer la surface ou le volume de tout autre polyèdre régulier quelconque de même nom.
Tableau des polyèdres réguliers dont le côté est 1.
