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PROBLÈME XXXIX

Déterriner la surface d’un polygone sphérque.

(4552) SLGLE. Trouvez comme dans le dernier problème, le trian. gle trirectangle (4201). De la somme de tous les angles du polygone soustrayez uutant de fois 2 angles druits qu'il y a de côtés moins deux. Divisez le reste par 90° et multipliez le triangle tri-rect. par le quotient ainsi obtenu : le produit sera la surface voulue.

Ex. 1. Quelle est la surface d'un polygone régulier de huit côtés décrit sur la surface d’une sphère dont le diamètre est 30, chaque angle du polygone étant de 140° ?

Rep. 140°x8 :1?0°-:somme des angles du polygone, 180° x 6= 10809 = autant de fois 2 & 6 à. 18 que de côtés moins deux, 1120 — 1080= 40, 40--90= 4%; la surfa : du pulyrone proposé sera donc les 4 de celle du triangle tri-rect., la surface de ia sphère =30 x 30 x 3,1416= 3,1416 x 900 = 2827.44 laquelle-8= 353.43= surf, du triangle trirect., cette dernière x 4 —-9= 157.08 la surface voulue du polygone.

2. On demande la superficie d’un polygone irrégulier de 7 côtés décrit sur une sphère de 84 mètres de rayon, la somme des angles étant de 1080° ?

Rep. Surface de la sphère= 117" X 3.1416=907.9224 dont la huitième partie 113.4903 est la surface du triangle tri-rect., 1080° — 5 fois 1809 1804, 180°-:90°=2 et 113.4903 x 2= 226.9806 surface du polygone proposé,

3. La somme des 15 angles d’un polygone de triangulation géodésique est 2340° 1’ 50”, quelle est la surface du polygone en milles carrés, en sup posant que le diamètre de la terre à l’endroit du relevé soit de 7912 milles anglais, c'est-à-dire en supposant que l’opération trigonométrique ait eu lieu sur une sphère de ce diamètre ?

Rep. On a, comme dans le dernier problème, pour surface correspondant à un excédant de 1”, 75.87321 milles carrés, et on a vu que la surfuce à estimer est en rapport direct avec le nombre d'unités dans l’excédant donné; or, la somme des angles est dans cet exemple 2340° 1’ 50” laquelle diminuée de 13 fois 180° ou de 2340° laisse pour excédant 1’ 50’ où 110” ; la surface voulue sera donc de 110 fois 75.87321 c'est-à-dire 8346.0531 milles carrés.

(4553) REM. La supposition qu’on vient de faire semble indiquer que la terre n’est pas dans toute son étendue de même courbure, c’est-à-dire de même rayon ou diamètre, ou qu’elle n’est pas une sphère parfaite, et en eflet le globe terrestre est un sphéruïde dont l’aplatissement vers les pôles est d'à peu près 5k5 du diam. à l'équateur ou d'environ 26 milles; or les surfaces de deux sphères de rayons différents ou de deux parties homologues quelconques de ces sphères sont entre elles (4074, 2°) comme les carrés des rayons de ces sphères.

Soit donc à tracées sur la 7912, l’autre d

milles carrés

surface du mêr 7930 au lieu de qui quoique r territoire emln même, équival 6 milles de dia sions relatives faire pour en d

Déterm

(41554) RE surface de la celle surface pi tiers du rayon sera le volume

Ex. 1. Que 10 mètres carré