On demand obtenir en faisan pouces de côté

Rep. 1.03563 11.6 pouces près.

4774, d'une pliant 3762,

cateur qu'on

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31189 cubes

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(pages e table,

ne, un eur du 1ces.

5 pieds 0 côtés h livres

Les ou

Eté

65.45 x 150 = 98174 livres pesant. Le côté de l'icosaèdre voulu sera, d'après la règle, 0.5257309 x 5 = 2.6286545 ; cubant ce dernier nombre, on a 18.163 et multipliant ce cube par le volume 2.181695 du polyèdre de même nom dont le côté est 1, on a pour le volume de la sphère réduite en icosaèdre 39.626 pieds cubes ou 39.626 x 150=5943.9 livres pesant; la différence 38736 livres est le poids demandé,

PROBLEME XLIII

Étant donné le côté de l’un des cinq polyèdres réguliers, trouver le diamètre d’une sphère qui puisse être inscrite dans le polyèdre, circonscrite au polyèdre ou qui lui soit égal en volume.

(1559) REGLE. Faites la proportion suivante : le nombre respectif de la table ci-dessus, sous le titre ‘inscrit, ” “circonscrit, " ‘ égal, '’ est à 1, comme le côté du polyèdre donné est au diamètre de la sphère inscrite, circonscrite ou égale, suivant le cas.

En d'autres termes: le côté du polyèdre inscrit. circonscrit ou égal (suivant le cas) de la table, est au diam. 1 de sa sphère circonscrite, inscrite ou égale, comme le côté du polyèdre donné est au diam. de sa sphère circonscrite, inscrite ou égale.

Ex. 1. Le côté d’un icosaèdre est 2.62865, on veut le réduire en une sphère du plus grand diamètre possible, quel sera ce diamètre ?

Rep. .6615845:1 :: 2.62865 : 3.973, près, le diamètre voulu. La surface de l’icosaèdre donné est (1441) 2,62865 x 2.62865 x .4330127 x 20 = 59.842355, cette surf. x 3.973-6 (c’est-à-dire par le sixième du diam. ou tiers du rayon de la sphère inscrite) donne pour le volume de l’icosaèdre 39.6259 pieds cubes ou 39.626, comme dans l’exemple 2 du problème précédent, chacun des deux résultats étant de cette manière une vérification de l'exactitude de l’autre et en même temps une preuve de l’exactitude des facteurs du tableau.

2. On demande quel sera le diamètre du boulet de canon qu'on pourra obtenir en faisant refondre une masse de fer en forme d’un octaèdre de 12 pouces de côté ?

Rep. 1.03563 : 1 ::12:11.568715, c'est.à-dire, le diam. du boulet sera de 11.6 pouces près.

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PROBLÈME XLIV

Trouver le volume d’un sphéroïde quelconque.

(1560) REGLE I. Multipliez l'axe fixe par le carré de l'axe de révolution et le produit par .5236 : le résultat sera le volume demandé.

REX. Il est clair que cette règle est en tout analogue à celle que l’on donne (1056, 1543) pour établir le volume d'une sphère ; et en effet, le sphéroïde, comme la sphère, vaut les % de son cylindre circonscrit ; car l’on démontre en ‘‘ sections coniques ”?

que si l’on a A0: 00 dans l’ellipse :: Ao:

00 dans le cercle, l’on aura aussi oc : OC P

dans l’ellipse : : oc : OC dans le cercle ; de là, puisqu'on peut (4009) regarder la sphère et ie sphéroïde comme composés chacun d'une infinité de tranches minces on de surfaces superposées engendrées par la révolution d'un même nombre d’ordonnées oc perpendiculaires à l’axe fixe AB des deux solides, et que ces surfaces composantes sont entre elles comme les carrés des rayons générateurs, il est évident que les deux solides seront aussi entre eux comme les carrés (194) de ces ordonnées, ou, ce qui est la même chose, comme les surfaces des bases ou sections correspondantes des cylindres de même hauteur AO circonscrits à ces solides.

Ce que l’on vient de dire du sphéroïde allongé AB et de sa sphère circonscrite, s'entend également du sphéroïde aplati CD et de «a sphère inscrite, car, quel que soit le rapport de Om à mC dans chacun de ces deux derniers solides, on aura entre am et AO de l’un le même rapport qu'entre ans et AO de l’autre.

(1561) REGLE II. Multipliez (4524) 4 Juis la surface d'une section quelconque (AB, CD, GH, etc.) passant par le centre (0) du sphé. roïde, par & de la hauteur perpendiculaire (CD, AB ou EP, ete.) du solide correspondant à telle section.

Car, €: premier lieu, pour ce qui est du sphéroïle engendré par la révolution de la deimi-ellipse ACB autour de son axe AB, les facteurs dans les deux règles se réduisent aux mêmes. En effet la première règle donne pour volume AB x CD x CD *x .5236 et la seconde règle donne CD x CD x .7854 x 4 x 4 AB ; si ces expressions sont égales où équivalentes, l'on doit avoir (en négligeant les facteurs AB, CD, communs aux deux formules) .7854x4x4,:==.5236 ; or .7854 x 4=3,1416 et 3.1416-:6=,5236 ; done, ete.

En second lieu, la section AB d1 même sphéroïde est une ellipse égale en tout à l’ellipse ACBD et sa surface est (1469)=AB x CD x ,.7851;

D ces

si la =AI CD © .523(

EP e que se Se paral x CI EF e la sec x .78 mules KR.

demivient Ex est 60 Re unités Re unités

Ke soit E jugé ( que la somin CD x.

on obt 53° 3:

=1,04 décim

conque.

rré de l'axe de ume demandé.

ÿ ut (1AO@0O9) reuard'une infinité de par la révolution fixe AB des deux omime les carrés seront aussi entre st la même chose, des cylindres de

sa sphère circonsa sphère inscrite, ces deux derniers u’entre ane et AO

a surface d'une itre (0) du sphé- P, etc.) du solide

e engendré par la | les facteurs dans à première rêgle ele donne CD x équivalentes, l'on ix deux formules) .5236 ; done, etc.

le est une ellipse AB x CD x,.7854;

APT us #

si la seconde règle est correcte, l’on aura donc AB x CD x .7854 x4x 4 CD =AB x CD x CD x.5236 ; et en effet en éliminant les facteurs AB, CD et CD qui sont communs aux deux expressions, il reste encore .7854 x 4 x 4 =: .5236; donc, etc.

Eu troisieme lieu, il est à démontrer que 4 surf. section GH x4

EP est encore égale à CD x AB x .5236 ; or, les sections coniques enseignent que quels que soient les axes où diamètres conjugés (*) GH, EF dont on se sert, les parallélogrammes circonscrits à l’ellipse et dont les côtés sont parallèles à ces axes conjugés sont tous égaux en surface au rectangle AB x CD; mais (4828) la surface du parallélogramme ayant pour côtés GH, EF est GH x EF x sin. nat. angle EOG ou EFP=GH x EP. La surface de la section GH = (car toute section d’un sphéroïde est une ellipse) GH x CD xX.1854 et l’on vient de voir que GH x EP = AB x CD; donc GH x CD x

1854 x 4 x { EP = AB x CD x CD x ,5236, CD étant commun aux deux for- .

mules, AB x CD= GI x EP et .7854 x 4x 4=.5236 ; donc, etc.

HREMI. Dans le cas du sphéroïde aplati engendré par la révolution de la demi-ellipse DAC autour de l'axe CD, la preuve est analogue à celle que l'on vient de donner,

Ex. 1. Quel est le volume d'un ellipsoïde allongé dont l’axe de révolution est 60, et l'axe fixe 80 ?

Rep. 60 x 60 = 3600, 3600 x 80 = 288000, 288590 x .5236 -= 150796.8 unités de volume.

2. Avec les mêmes données, quel sera le volume du sphéroïde aplati ?

Rep. 50 x 50 = 6400, 6400 x 60 = 384000, 384000 x .5236 == 201062.4 unités de volume.

3. Un sphéroïde allongé a pour axes 100 et 200 : quelle en est la solidité ?

Rep. 100” x 200 x .5236= 1,047,200 le volume demandé. Maintenant, soit EF dans cet exemple un diamètre quelconque=166, on aura son conjugé GH = VAB? + CD? — HF4 (car l'on démontre en “ sections coniques ?? que la somme des carrés de toute paire de diamètres con jugés est égale à la somme des carrés du grand et du petit axe) = 149,81322, 4 surf. GH=GH x CD x.7854 x4=47065.3212. Puisque AB.CD = EF.GH x sin. nat, EOG, on obtient sin, nat, EOG = AB.CD +: EF.GH = 20000-24869 = .8042141 = 63° 32, et 8042141 x 166=EP=133.49954, et 47065.3212 x 133.49954-+6 =1,047,199.8, la différence ,2 entre les deux résultats se rapportant aux décimales qu’on à négligées dans le calcul.

4. Si les deux axes de la terre sont entre eux comme 304 et 303 quel sera

(*) Le diam. GIF, conjugé de EF, est celui qui est parallèle à la tangente PF à l’ellipse au point F, où le diam. EF rencontre la courbe,

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le volume du sphéroïde (il est aplati, le diam. polaire étant moindre que le diam. équatorial) et de combien ce volume ditferera:t-il de celui d’une sphère sur le grand axe ? °

Rep. Le vol. du sphéroïde = 304 x 304 x 303 x .5236 = 14661872.3328 le volume d'une sphère sur le grand axe = 1471026 ..3504 et 1a différence de ces volumes est 48389.0176.

Déterminer le volume d’un segment quelconque de sphéroïde à une seule ou à deux bases parallèles,

perpendiculaires ou non, aux axes du solide.

(1562) REGLE. À la somme des surfaces des bases du segment,

ajoutez 4 fois la surface d’une section à demi-distance entre elles et mul. ni tipliez le tout par } de la hauteur du segment : le produit sera le volume Rei demandé. et MN En premier lieu, pour ce qui est du demi-sphéroïde (dont on peut et mn d’ailleurs obtenir le volume en faisant celui du sphéroïde entier pour en F prendre ensuite la moitié) on a vu (4560) que surf. section cd : surf. section MN —

CD dans le sphéroïde :: surf. section cd : surf. section CD dans la sphère; or multipl

il a été démontré (4428) que dans la sphère, surf. cd à demi-distance entre segmen A et O=%surf. CD; donc aussi dans le sphéruïde, surf. cd = surf. CD ; 2. O donc surf. CD + 4 surf. cd=4 surf. CD, et par le dernier problème, vol, ACD [N di =4 surf. CD x 4 AO ; donc vol. ACD = (surf, CD + 4 surf, cd) x 4 AO. SA Maintenant, pour le demi-sphéroïde dont la base AB est une ellipse= ACBD et dont la section ab est aussi une ellipse semblable à la base, (car toutes Rep sections parallèles quelconques du sphéruïde sont des ellipses semblables) AB: CI on a encore surf. ab: surf, AB :: surf. ab: surf. AB dans la sphère, car = 59,6 : : 2 CR

ab : AB : ab: AB dans les deux solides et (K@4) ab : AB :: ab : AB dans somme

les deux solides, et les surfaces des ellipses semblables, comme de toutes 4560) autres figures semblables, sont entre elles comme les carrés de leurs diamé.- UE tres ou autres lignes homologues; donc surf. ellipse ab= % surf, ellipse AB ; RE

or, vol. demi-sphéroïde ACB = par le dernier problème 4 surf. AB x 4 CO; donc aussi le même volumez=(surf. AB + 4 sur. ab) x 4 CO.

et CD ec les diam

REME. 1. C’est encore une propriété de l’ellipse que tout diamètre EF on peut de cette figure bissecte toute corde ou double-ordonnée gh parallèle au et c'est. diamètre conjugé GH, ce qui donne nh=ng et l’on démontre que de même pas que

que l’on a (sections coniques) AB : CD :: /A0.0B : oc, et CD : AB:

\Om. mD : mb, de même on a aussi EF : GH :: VEn. nŸ : nh et par suite que nk : OH :: mb: OB :: 0e : OC quaud On, Om et Oo ont à OF, OC et OA

joindre que le i d’une sphère

onque de allèles, lide.

s du segment, e elles et mulsera le volume

(dont on peut entier pour en d : surf. section 18 la sphère; or i-distance entre = j surf. CD; lime, vol, ACD d) x 4 AO.

st une ellipse= rase, (car toutes es semblables) la sphère, car

ë ab: AB dans »mme de toutes le leurs diamérf, ellipse AB ; f. ABx4C0;

diamètre EF L parallèle au : que de même et CD : AB::

nh et par suite OF, OC et OA

ou à nF, mC et oA le même rapport. On aura donc surf. section gh=7 smef. section GH et comme il est déjà demontré que vol. demi-sphéroïde GFH = 4 (4 surf. GH x 4 EP) on aura aussi vol. GFH=(surf. GH + 4 surf. g#) x 4 Op ou par 4 EP+2.

En second lieu, pour ce qui est de tout segment de sphéroïde autre qe le démi-spheroïde, il suffit de ce que l’on vient ‘ie dire et de la démonstation qu’on a donnée au par. (4529) de l'exactitude de la règle dans le cas d’un segment quelconq.e de sphère, pour faire comprendre aussi son exactitude dans le cas actuel ; ce qui dispensera aussi d’ajouter sans nécessité aux dimensions déjà volumineuses de ce traité.

Ex. 1. Quel est le volume d’un segment MNA de sphéroïde à une seule base MN perpendicuaire à l’axe fixe AB, la hauteur Ao du segment étant de 10 unités et les longueurs des axes AB —100, CD=260 ?

Rep. 4B: CD::VAo. oB:0M, d'où oM=18 etMN=36 ; rm = Ar.rb x CD--AB=13.0766985

2 £ et mn = 26.153397; surf. MN + 4 surf. mn = (MN + 4 mn ) x.7854,

2 £ MN°—1296, mn =684 à très près, (1296 + 4 fois 684) x .7854 = 3166.7328, multipliant par 4 Ao, ou par 4 10, on a 5277.888 unités de volume dans le segment proposé.

2. On demande la solidité d'un segment MNB de sphéroïde par un plan HN perpendiculaire à l'axe fixe AB, oB étant —90 et AB, CD 100 et 60 respectivement ?

Rep. Si r' n’est pas donné on le trouve — Ar'.r'B x CD-- AB (puisque AB: CD :: VAr .r'B : rm’ ou 100 : 60 :: V55 x 45 : sm’) = 29.8496208 ou m’n'

= 59,6992416, MN +4 mn x .7854 x } oB= vol. MNP=183218.112 ; la somme 188,496 de ces volume: et le volume du sphéroïde entier ACBD, car (560) 60 x60=3600, 3600 x 100—360,000 et 360,000 x .5236 = 188,496, ce qui prouve aussi l'exactitude de la règls de ce problème.

REM. NE. Dans les deux derniers exemples on a supposé les axes AB et CD connus; mais cette connaissance n’est aucunement essentielle, puisque les diamètres intermédiaires mn, m'n' sont :sés connus où que d’ailleurs on peut les obtenir directement en.mesurant, “ans la pratique, ces diamètres; et c'est là l’un des avantages de la règle de ce problème, qu’elle ne requiert pas que l’on sache à quel sphéroïde appartient le segment à estimer.

EEE" PRESS «RS

RÉ

&. Un segment MNC de sphéroïde par un plan MN perpendiculaire à l'axe de révolution CD, et dont la base est par conséquent une ellipse, a pour l uteur 0C 12 unités, les axes AB, CD étant respectivement 100 et 60 : quel est le contenu solide du segment ?

Rep. CD: AB :: VCo.oD : oM ou 6: : 100 ::

V48 x 12 : 40, et parce que les sections parallèles MN, AB sont semblables, on a AB: CD :: MN : pq diamètre conjugé de la base elliptique MN du segment donné ; donc pq = 60 x 80 - 100 = 48 et surf. Mp Ny=80 x 48 x .7854

puisque 0C=12 on a rC=6 et rD = 54, 60 : 100 :: V54 x 6 : 30 — rm, le diam.

conjugé de rm = 18 (car 100: 60 :: 30 : 18) et la surface de la section mn—

60 x 36 x.7854; cela posé, on a vol. MNC=(surf. MN. +4 surf. mn) x 4 00 2 2

=MN +4 mn X.7854 x 2 = 19603.584 unités de volume.