Quel est le volume de l’autre segment de même sphéroïde

Rep. On a »D=0D — 4oC= 21, et »C —36, d’où l’on obtient comme auparavant Mn'=97.9796 ; l’autre diam. ou axe de l’ellipse mn/= 58.78 776; d'où surf. m/n/=4523.904 et surf. MN +4 surf. m/n'—=21111.552, cette somme x # 48 ou par 8 = 168892.416 le volume demandé.

Les deux segments réums donnent 188,496 qui est en effet le volume üu sphéroïle entier comme on l’a vu à l'endroit du 2ème exemple.

5. Quelle est la soliuité d’un segment ou tronc central AD de sphéroïde dont les bases parallèles sont des cercles égaux de 40 pouces de diam #re, le plus grand diamètre du tronc = 50 pouces et le hauteur ou distance entre les bases parallèles 18 pouces ?

Rep. (Surf. AB + surf. CD +4 surf, EF) 4, OP=

2 2 , (40 "+40 (ou 2 fois 40 )+4 fois 50 D» 1551 x 3= 31101.84 pouces cubes ou 18 pieds cubes pres.

6. Les diamètres respectifs des bases parallèles d'un tronc de sphéroïde sont 10 et 20, le diam. d’une section à distances égales de ces bases est 30 et la hauteur du tronc est 40 : quel est le volume ?

Rep. (10 +20 + 4 fois 30 )x.7854 x 40-:.6—3220.14 x 40-:6—64402.8 pouces cubes. î

*. L'une des parties composantes d'un cul-de-lampe adossé à un mur, présente la forme d’un demi-segment ou tronc de sphéroïde à bases parallèleselliptiques. Les diamètres des ellipses ou plutôt des demi-ellipses inf, et sup. mesurent respectivement 30 et 29 pouces, le diamètre intermédiaire est 36 et les trois demi-dian,êtres con jugés ou saillies du cul-de-lampe mesu

rent

volu

* cube gallo mèêtr

R divise sphétr la liq 48 et médi:

quant

Re soit 3'

(15 seule | calotte rence

Ex. d'un s le cent quelco

Re; connu ment ( quelcor ad — b] VC6.bI mesure milieu

cisse pi

VGp.p}

: semblables, on IN du segment 10 x 48 x .7854 :

) = rm, le diam.

a section mn= urf. mn) x 4 oC

ide ?

obtient comme pse mn n/ = 58.78 /n'=21111.562, dé.

t le volume du ple.

D de spüéroïde

nc de sphéroïde ces bases est 30

ossé à un mur, de à bases paralmi-ellipses inf, et re intermédiaire

-de-lampe mesur

rent 10, : 4 ot 12 pouces, la hauteur du tronc est 18 pouces: quel en est le volun ( ?

Rep. (30 x 10 + 39 x 13 4 4 fois 36 x 12) x .7854 x 3== 59729.67 pouces

* cubes ou 3.4 pieds cubes près.

S. L'on désire savoir combien il y a de gallons (231 pouces cubes au gallon) dans une barrique de vin dont la longueur est 40 pouces et les dia. mètres au centre et à chaque extrémité 32 et 24 pouces ?

Rep. (2 fois 24 4 4 fois 32 s X .1854 x 40 + 6 = 27478.5 pouces cubes, divisant par 231 on a 119 gallons à moins d’une septier près.

9. Dans un vaisseau ingliné, dont la forme paraît être celle d’un demisphéroïde, se trouve une quantité de liqueur, la plus grande profondeur de la liqueur est 15 pouces, les diamètres respectifs de sa surface elliptique sont 48 ct 36 pouces et les diamètres correspondants de l’ellipse parallèle intermédiaire entre la surface et le fond sont de 30 et 224 pouces; quelle est la quantité de liqueur dans le vaisseau ?

Rep. (48 x 36 +4 fois 30 x 22.5) x .7854 x 2.5—8694.378 pouces cubes, soit 373 gallons près.

PROBLÈME XLVI

Déterminer le volume d’un tronc de sphéroïde à bases non parallèles.

(1563) REGLE. Faites le volume du segment de sphéroïde à une seule base dont le tronc donné fait partie, faites aussi le volume de la calotte qui manque au tronc donné pour compléter le segment ; la différence de ces volumes sera celui du tronc proposé.

Ex. 1. Soit à trouver le volume de la partie CDae d'un sphéroïde compris entre un plan CD passant par le centre perpendiculairement à AB et un ‘autre plan quelconque ea non parallè'e au premier.

Rep. Il nous faut à cet effet déterminer l'axe inconnu AB du sphéroïde dont la hauteur AO du segment CDA fait partie. Ayant mesuré une ordonnée quelconque ab et les abscisses Cb, bD ou plutôt dD — ab, ad + bD et Cb= CD - bD, on fera (sections coniques) VCO.bD': ab :: CD : AB et on aura le vol. de CDA=4 surf. CD x 4 AO. L'on mesurera ensuite Ge, OH parallèle à ae, 00 menée du centre au point milieu o de ae (00 formant partie du diam EF le conjugé de GH) et l’abs. cisse pH de l'ordonnée ap parallèle et égale à 00 ; avec ces données, l’on fera

VGp.pH : ap:: GH:EF; on aura alors oF et par suite la perpendiculaire

Fr, comme au par. (1561 Ex. 8). Ilreste à établir le diam. mn d'une section intermédiaire entre ae et le sommet F de la calotte aeF ; or l’on aura Mg où nqg moitié (1562. REDE. 1.) de mn en faisant EF : GH::

VEg.qE : mg. Enfin on aura le volume demandé CDae =(4 surf, CD x 4 Ao) .

moins (surf. ae + 4 surf, mn x 4 Fr).

2. Si le solide à estimer était le tronc KLae, l’on opérerait pour la calotte KLB comme on l’a fait pour eaF et la somme des volumes de ces calottes distraite de celui du sphéroïde entier ACBD), il resterait le volume du tronc

proposé.

PROBLÈM XLVII.

Trouver la solidité d’un paraboloïde droit ou oblique ou d’un tronc ou segment quelconque de paraboloïde compris entre bases parallèles, perpendiculaires, ou non, à l’axe du solide.

(1564) REGLE. À la somme des surfaces des bases opposées, ajoutez 4 fois la surface d'une section intermédiaire à demi-distances entre elles ; multipliez le tout par 4 de la hauteur du corps à estimer et le produit sera le volume demandé.

En effet, la parabole génératrice ABC est une courbe {ile que les abscisses sont proportionnelles aux carrés des ordonnées, c’est-à-dire

qu'on a toujours cd: CD :: db : DB , et il en est de même pour tout autre paire ou système d'axes ou de diainètres conjugés EF, GH qui

donnent encore GA : GH 2 fh: FH ; donc si Cd=4 CD, dE sera = } DB gp"

de même si Ghz 4 GH, l’on aura eh = 3 EH ; or l’on démontre que le volume du parabolside vaut la moitié de son cylindre circonscrit, c'est-à-dire que ce vol, surf. base AB x 4 CD, ou vol. FEG=surf. base EF x 4 Gp;

mais si b Î : 4 BD' on a surf. ab=4 surf. AB (puisque les sections parallèles ab, Ab sont des cercles et que les figures semblables sont entre elles comme les carrés de leurs lignes homologues) et surf. AB + 4 surf. ab=3 surf. AB ; done surf. AB x 4 CD=3 surf. AB x} CD= (surf. AB +4 surf. ab) x 4 CD. De inême surf base elliptique EF =2 surf. base elliptique sem blable ef et surf. EX x 4 Gp= (surf. EF +4 surf, ef) x 4 Gp.

En »2cond lisu, Soit ABba un segment quelconque de paraboloïde à bases parallèles, l’on démontre que le volume s'obtient en multipliant par

D. Du

la h

or à méd suit ba— R men est p CD} faces rare ( serai ( autar donne un 80 boloïd avec ties d’

Ex et ler

diamèt 285 mi

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