D = TT
mation du mesureur un volume de cette sorte,
Déterminer le volume près, d’un tronc de fuseau quelconque (Adc, aCb, Acb) à une seule base parallèle ou non à l’axe (AB) du fuseau ou à son diamètre (CD) ou le volume d’un tronc (ABba, dcbe, AbBf) à bases parallèles inclinées ou non aux axes du solides.
(4576) REGLE. À la somme des surfaces des bases parallèles ou opposées (s'il n'y a qu'une base, on considère l'autre=—o) du tronc, ajoutez 4 fois la surface d'une section également éloignée de ces bases et multipliez le tout par un sivième de la hauteur du tronc ou segment.
IREM. Si le tronc donné contient le centre O du fuseau dont il fait partie, menez par le centre une section gOA parallèle aux bases et calculez séparément chacune des parties composantes du tronc pour en faire ensuite la somme; mais si les bases parallèles Ab, fB sont à distances égales du centre O, alors il est clair qu'on n'aura qu'une seule opération à faire, pour doubler ensuite le résultat,
Déterminer le volume près, d’un tronc de fuseau quel-
conque EFHG à bases non parallèles.
(1577) REGLE. Faites par le dernier problème les volumes respectifs des deux segments de fuseau à une seule base GHB, EFB dont le tronc donné fait partie ; la différence de ces volumes sera le volume demandé.
REM. Une tonne ou futaille inclinée contenant de la liqueur et qu’on ne voudrait pas déranger pour en faciliter le jaugeage présentera quelquefois à l’esti-
À rer gare D à eme à 7 =.
—— nd : — Lé : À
2 ; ae
TOISÉ PROBLÈM LVI.
pou
Évaluer le contenu d’une tonne ou futaille couchée et l
qui n’est qu’en partie pleine. con évid (1578) REGLE. Si la liqueur Li dans la tonne n'atteint pas les têtes com ou fonds EF, GH du vaisseau, comme dont en eg ou FH, on en estimera le comtenu ces 1 par la méthode de l'avant dernier problème, et de même si la liqueur dépasse ces fonds, comme en EG ou ab, on estimera de la même manière le I segment ECG ou aCb pour diminuer d'autant le contenu de la tonne entière. Si la surface de la liqueur est en AB, axe de la tonne, il est clair qu'on aura le contenu AFDHB=CEFD=4 FG. Si au contraire la surface est en cd ou en f h, l'on estimera d'abord par la méthode de l'avant (8 dernier problème, le tronc de fuseau rsqDpr ou mnD (suivant le cas) dont précé le segment correspondant de la tonne fait partie, pour en soustraire demi ensuite les onglets ou sortes de pyramides hnhH, fmfF ou les solides en crpl, dsqH composés des demi-conoïdes AFp, BHg et des troncs rcAp, différ sdBq dont ou aura assez correctement les volumes par la règle générale | de la somme des bases parallèles pA, rc+ quatre fois la section interm. multipliée par un sixième de la hauteur.
PROBLÈME LVII
Déterminer le volume près, d'un conoïde convexe ou (5
concave Aa'Cb'B, AaCbB terminé par une base convexe ou sphérique ADB.
ajout de ces le rés LUE bases définit cylind,
La « tout t parall
(1579) REGLE HF. À /a surface de la base convexe (ADB) ajoutez 4 fois celle d'une section convexe parallèle a'db', adb également éloignée de la base et du sommet et multipliez la somme par un sirième de la hauteur CD du solide.
Il suffit de ce que l’on a déjà dit (1077, 1531) à C l'endroit du secteur sphérique et du conoïde ordinaire, pour faire comprendre de suite que l’on doive arriver par cette règle à une détermination assez correcte du volume du solide proposé.
REM. Si la hauteur CD était inégale à AC ou BC, c’est-à-dire plus grande ou moindre que AC ou BC, il y aurait évidemment à augmenter le vol. du conoïde proposé, ou à le
La ( parall nuer ji donc a lonc, Z
‘ouchée et
nu de la tonne la tonne, il est au contraire la thode de l'avant ant le cas) dont r en soustraire * ou les solides les troncs rcAp, règle générale section interm.
onvexe ou ne base
e (ADB) ajoutez alement éloignée n sixième de la
proposé, ou à le
diminuer de la différence des volumes des calottes respectives ADB ayant pour rayons CD= AC ou BC et CD ou < AC ou BC, suivant le cas,
De même, si la base du conoïde était concave, on ferait le vol. du conoïde correspondant à base plane, pour en soustraire ensuite le vol, de la calotte évidée,
REGILIE DE, Faites d'abord (4550) le volume du secteur sphérique composant ADB-C, puis (4532) le volume du tronc de prisme continu dont le segment générateur AoCa'A ou BoCb'B est la coupe ; la somme de ces volumes sera la solidité requise.
PROBLÈME LVIII
Déterminer le volume d’une voûte quelconque dont l'épaisseur n’est pas uniforme.
(19599) REGLE. Faites séparément (page 431) par les problèmes précédents, les volumes des solides (c'est-à-dire des prismes ou cylindres, demi-sphères, demi-sphéroïdes, ou conoïdes, ou des calottes ou segments de ces solides) extérieur et intérieur composants, pour en prendre ensuite la différence, qui sera le contenu solide de la voûte proposée.
Déterminer le volume d’un prismoïde ou d’un cylindroïde quelconque.
(1581) REGLE. À la somme des surfaces des deux bases parallèles, ajoutez quatre fois la surface d'une section ou coupe également éloignée de ces bases, et multipliez le tout par un sixième de la hauteur du corps ; le résultat sera le volume demandé.
BEM. H. On dit (4402) que ‘‘ le prismoïde est un solide ayant pour bases parallèles, des figures planes quelconques à côtés parallèles.’ Cette définition n'exclut pas l’égalité des côtés parallèles ; donc, {out prisme ou cylindre (prisme infinitaire) est en même temps un prismoïde.
La définition n'exclut pas la proportionnalité des côtés parallèles; donc, tout tronc de pyramide ou de cône (tronc de pyramide infinitaire,) à bases parallèles, est un prismoide.
La définition n’assiyne pas non plus des limites à l’inégalité des côtés parallèles ; done, chacun des côtés de l’une des bases parallèles peut diminuer indéfinitivement et jusqu’à devenir enfin=0; cette base se réduira donc aussi à zéro ou à un seul point, comme dans le cas de la pyramide ; lone, la pyramide ou le cône (pyramide infinitaire) est aussi un prismoïde.
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Si la somme de tous les côtés, moins un, de l’une des bases, devient évale an côté ainsi excepté, cette base ne sera plus qu'une ligne ou arête parallèle au plan de l’autre base, comme dans le cas du coin; done, tout coin ou autre solide ayant pour l'une de ses bases une figure plane quelconque et par l'autre base une ligne parallèle à la première, est encore un prismoïde.
(41582) Il semblerait que dans cette manière de réduire à une simple ligne une figure plane quelconque, l’on ait négligé le parallélisme nécessaire des côtés opposés; mais il n’en est pas ainsi, car si la base à réduire est un rectangle par exemple, les deux côtés perpendiculaires au côté excepté deviennent chacun = 0 : la somme des côtés moins un, est le côté du rectangle parallèle au côté excepté, et qui, lorsque les côtés perpendiculaires deviennent nuls, finit par s'approcher du côté excepté de manière à ne former avec ce dernier qu’une seule et même ligne ou arête. Si la base à réduire est un polygone quelconque, il y aura, ou non, dans le périmètre de cette base, un côté parallèle au côté excepté; si il y a un côté qui lui soit parallèle, ce côté pourra diminuer ou augmenter de manière à devenir de longueur égale à celle du côté excepté, rt roue les autres côtés devenant chacun=:0, les deux côtés parallèles se réuniront pour n’en faire qu'un seul; s’il n'y a pas dans la base sur la quelle on opère un côté parallèle au côté excepté, l’on interposera entre deux des côtés de cette base, un côté qui soit la parallèle voulue, car de même qu'un côté du prismoïde peut, sans affecter la définition, devenir égal à 0, de même un côté d’abord égal à zéro peut prendre du développement, et cela dans une proportion quelconque comme dans une direction quelconque.
(1583) Il est clair que si l’une des deux bases peut de figure quelconque devenir ligne, il en est de même de l’autre base qui peut aussi de fivure quelccnque devenir ligne. Si les deux hgnes qui forment maintenant les bases opposées sont parallèles l’une à l’autre, il est clair que le solide aura cessé d’exister ou sera devenu égal à zéro on à une simple surface ; mais si les lignes ou arêtes qui servent de bases opposées au corps dont il s'agit ne sont pas parallèles entre elles, quoique cependant dans des plans parallèles l’un à l’autre, le solide n'aura pas cessé d’existe , donc, un prismoïde peut être tel que ses bases opposées soient toutes deux de simples lignes ou arêtes.
(1584) Disons pour résumer qu'un prismoïide peut avoir pour bases parallèles : deux figures quelconques égales ou semblables, deux figures quelconques inégales ou non semblables, une figure quelconque et une ligne parallèle au plan de cette figure, une figure quelconque et un point, deux lignes quelconques non parallèles, inais situées dans des plans parallèles l'un à l'autre ; savoir, par exemple: deux carrés égaux où inégaux; un carré et un rectangle quelconque ; deux rectangles ou parallélogrammes quelconques ; deux polygones quelconques égaux ou semblables, inégaux ou dissemblables, dont les côtés de l’un correspondent soit à des côtés parallèles ou à des points angulaires de l'autre; un carré, rectangle
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tale es un fai une fi de trot des p AB, C ou sec et facil x CD,
«, devient égale arête parallèle e, tout coin ou e quelconque et re un prismoide.
> à une simple lisme nécessaire à réduire est un é excepté devienrectangle paraldeviennent nuls, r avec ce dernier est un polygone se, un côté paral- , ce côté pourra égale à celle du deux côtés paraldans la base sur rposera entre deux ue, car de même devenir égal à 0, éveloppement, et ction quelconque.
figure quelconque aussi de fisure t maintenant les que le solide aura surface ; mais Si rps dont il s’agit s des plans paralbne, un prismoïde simples lignes ou
avoir pour bases es, deux figures uelconque et une quelconque et un es dans des plans carrés égaux où tangles ou paralux ou semblables, bondent soit à des
carré, rectangle
ou autre polygone et un cerele ou ell‘pse (polygone infitaire) ; un cercle et une ellipse quelconque ou deux ellipses quelconques (ce dernier prismoïde à bases parallèles curvilignes se distingue quelquefois sous le nom de cylindroïde) ; un carré, rectangle, parallélogramme, polygone, cercle, ellipse et une ligne; un carré, rectangle, parallélogramme, polygone, cercle, ellipse et un point; deux lignes de longueurs que onques non parallèles. (*)
(4585) REM HE. Il y a à considérer maintenant l’espèce ou la nature de la figure servant de section où de coupe intermédiaire entre les bases opposées du prismoïde à estimer. Ainsi, il est clair que si les bases opposées sunt des rectangles à côtés parallèles, la section parallèle intermédiaire sera aussi un rectangle ou un carré ; si les deux bases sont des parallélogrammes à côtés parallèles, la section sera aussi un parallélogramme ; si les bases sont un carré, rectangle, parallélogramme et une ligne parallèle à l’un des côtés de tel rectangle, etc., la section sera encore, dans le ler cas un rectangle, dans le second cas un rectangle ou un carré, dans le troisième cas un parallélogramme ; si les bases sont une figure quelconque et un point, la section sera une figure semblable à la base et égale (15:25) en surface au quart de la base; siles deux bases sont des lignes perpendiculaires (907) l'une à la direction de l’autre, la section sera un carré ou un rectangle ; si les bases sont des lignes non perpendiculaires l’une à la direction de l’autre, la section sera un losange ou parallélograinme.
(4586) Rien de plus facile dans tous ces cas que C de déterminer la surface de la section intermédiaire dont les multiplicateurs ou facteurs sont chacun moyen arithmétique entre les côtés parallèles des bases opposées ou entre les côtés ou arêtes et points ou somimets opposés suivant le cas. Par exemple, dans le prismoïde AB-CD où chacune des bases est une simple ligne ou arête AB, CD et dont la surface
(*) Toutes ces formes se rencontrent dans la pratique, et celà surtout à l'endroit des toitures diversifiées d’édifices de toutes sortes. Une tour ou tourelle carrée par exemple, sera assez souvent terminée par un toit couronné d’une plate-forme octogone ou circulaire, ou ce sera la tour qui aurg pour plan par terre un cercle, et pour plate-forme du toit un carré ou autre polygone, où encore ce sera deux carrés dont les côtés de l’un sont parallèles aux diagonales de l’autre: voilà pour le prismoïde dont les bases parallèles sont des figures quelconques. Si un édifice dont la conpe horizontale est un carré, rectangle ou polygone, est recouvert d'un toit terminé par un faite plus où moins long, on aura le prismoïde dont l’une des bases est une figure quelconque et l’autre base une ligne. Il n’est pas rare non plus de trouver parini les parties composantes d’un toit ou autre objet à évaluer des prismoïdes de l'espèce de celui du par. (1586) c.-à d. dont les bases AB, CD soient toutes deux de simples lignes, sans que la surface de la coupe ou section intermédiaire abcd en ait moins pour cela une valeur très réelle et facile à déterminer. Dans ce dernier cas le facteur ‘4 surf, abcd ?’ =AB x CD, (4546), d’où, le vol. = AB x CD x hauteur+6.
Female +
est en conséquence nulle, on a pour section intermédiaire le carré, rectangle ou parallélogramme abcd dans lequel Ab=3 AB+D ou=3 AP, puisque D=0, de même dc=4 AB= ab, et ad = 4 CD=bc; d’où, surface section abcd=ab x ad ou 4 AB x 4 CD si c'est un rectangle, ou (14%24)— «ab xud x sin. nat. angle bab si c’est un parallélogranime.
(1587) Si l’une des bases est nn polygone quelconque et que l'autre base soit aussi un polygone quelconque, et si toutes les faces latérales du prismoïde sont des triangles, c’està-dire si chacun des côtés dans l’une des bases correspond à un point dans l’autre base, le nombre de côtés dans la coupe intermédiaire sera égal à la somme des nombres de côtés dans les deux bases.
(1588) Si l’une des bases est une figure rectiligne quelconque, et que l’autre base soit une ligne non parallèle aux côtés de cette première, le nombre de côtés dans la coupe interm. sera égal au nombre des côtés de la base plus 2; et si la ligne ou l’un des côtés, ou plus d’un, de la figure qui forme l’une des bases, est parallèle à l’un onu à plus d'un des côtés de l’autre base, le nombre de côtés de la section interim. pourra varier indéfiniment suivant le cas, mais sera néanmoins toujours aisé à déterminer à l’aide d’une simple esquisse de la fig.
Le résumé qu’on vient de faire peut encore se simplifier, s’abrêger ou se traduire comme suit, savoir: Le prismoïide ou cylindroïde (prismoïde infi. nitaire) est un solide à bases parallèles dont les plans (fuces. latérales) passant par les côtés ou arêtes de l’une des bases, sont terminés par des points ou par des côtés ou arêtes parallèles dans l’autre base.
En d’autres termes: Le prismoïde ou cylindroïde est tel que toutes ses faces latérales sont des, ou que sa surface latérale peut se décomposer en triangles ou trapèzes rectilignes, c.-à-d. à surfaces planes, ou en parties capables de se développer en surfaces planes.
A joutons que tout prismoïde peut se décomposer, si l’une de ses bases est (fig. du par. 1590) une figure quelconque et l’autre base une ligne, en deux pyramides et un prismoïde élémentaire ayant pour bases des lignes, (fig. du par. 1586); si ses deux bases sont des figures quelconques, en quatre pyramides ayant leurs bases deux à deux dans les bases opposées du solide, et un prismoïde ayant pour bases des lignes; on, à volonté, en pyramides, coins, etc., et prismoïdes à bases linéaires, suivant la manière d’opérer la division du solide par des plans dont on peut varier le nombre et la position.
don:
(aya ligné gh prist base base et 4
et nd BO respe AOD (ue on vi mais procë entre] saire, prism génér
carré, rectangle =} AP, puisque surface section 4%1)=abxud
Ÿ un point dans ire sera égal à la
des côté<, ou plus à l'un ou à plus la section interim.
joins toujours aisé
, s’abrêger ou se e (prismoïde infi:
(faces. latérales) terminés par des
base.
tel que toutes ses se décomposer en les, ou en parties
e de ses bases est une ligne, en deux des lignes, (fig. du ee, en quatre pyTraosées du solide, et ité, en pyramides, hanière d'opérer la bre et la position.
(1589) Si l’une des bases est par exemple un cercle ou ellipse et l’autre base une ellipse, la base interm. sera aussi une ellipse dont on aura le diam. ef= à (AB + ab) et le diam. gh=4 (CD + cd).
(1590) Si l’une des bases est un cercle ou ellipse AB et l’autre base une ligne EF, la base interm. abfcde sera une figure mixtiligne dont les parties ab et cd seront des droites parallèles à EF, et les parties aed, bfc des figures semblables (16033) à CAD, CBD. Pour calculer la surface de la section interm., on a (1033, 520) ab et dc chacun=4 EF, ad et bc chacun= 4 CD, et comme les parties composantes
. ACD-E, BCD-F du prismoïde sont évidemment des pyramides à bases
mixtilignes, on aura (452%) la surface aed=} surf. ADC, surf, bfc=} surf. BCD ; c’est-à-dire qu’on aura surf. section ef= ab ou dc ou 4 EF x ad ou bc ou à CD+£ surf. AB, et si EF n’est pas parallèle à AB ou perpendiculaire à la direction de DC on multipliera de plus (1421) le produit ab. bc par le sin. nat. de l'angle bad, ou l’on substituera au facteur ad ou bc la largeur perpendiculaire du parallélogramme ab cd.
(1591) Si l’une des bases est un cercle ou ellipse AB et l’autre un carré ou rectangle EG, le prismoïde donné se décomposera en : 1°, un prismoïde EFGH-CD (ayant pour bases (1585) un carré ou rectangle et une ligne, et pour section interm. un rectangle efgh où ef— gh= à EF ou GH, eteg= fh= à EH + 4 CD) ; 2°, deux prismoïdes AO-EH et BO-FG (ayant chacun pour bases des lignes AO, EH et BO, FG et (1585) pour base interm. un rectangle ablk où ab= kl=} EH et ak ou b= 4 AO, et nrcd où nr ou cd= à FG et nd ou rc= 3 OB); 3°, quatre pyramides AOC-H, AOD-E, BOC-G et BOD-F (ayant chacune pour coupe interm. une figure big, aek, rch et ndf respectivement égale en surface au quart de la base correspondante AOC, AOD, BOC et BOD, ou leur somme égale en surface au quart de la base AB.
(1592) Il est clair d’après les quelques prismoïdes ‘ou cylindroïdes dont on vient de traiter que ces corps peuvent varier indéfiniment leurs formes, mais il suffira des considérations précédentes pour indiquer la manière de procéder dans chaque cas à la détermination de la surface intermédiaire à entrer comme élément dans le calcul du volume à établir; ou si c’est nécessaire, pour déterminer tout d'abord si le solide proposé est, où non, un prismoïde ou cylindroïde tel qu’on en puisse estimer le volume par la règle générale ici donnée.
