PRÉFACE. V

plus générale, on a fait (641) (642) des problèmes 11, 12, 13 et 14, de simples corollaires ou scolies. Les trois angles ou sommets d’un triangle ne sont que des points, considération qui nous a permis de fondre (417) (420) la prop. V de ce livre avec la prop. B. du dernier.

Dans le 5ème. livre d'Euclide, dont on trouvera comme on l'a déjà dit, les conclusions parmi les principes de ce traité, on a fait usage du mot quantité, avec la signification générale qu’on lui donne à l’endroit de l'article (24), afin de pouvoir, à l’aide des propositions ayant trait aux rapports et proportions entre deux ou plusieurs quantités quelconques de même espèce, raisonner sur les nombres aussi bien que sur les lignes,

les angles, les surfaces et les solides, et en déduire comme on l'a fait dans beaucoup de cas (et par analogie, dans tous les cas) la manière d'arriver à la solution numérique aussi bien que géométrique des divers problèmes de cet ouvrage.

On a réduit à de simples axiomes, plusieurs des propositions de ce livre ; savoir, les prop. 7, 9, 11, 15 et F qui ont leurs équivalents respectifs dans les paragraphes (82 et 83) (72) (75) (738) et (SL) et pour cause (74) (74) (80). En effet, nous tenons que pour se rendre compte de la vérité d'un axivme, il se fait dans l'esprit un raisonnement plus au moins long. On n’est pas prêt à admettre instantanément que si deux choses, par exemple, sont égales à une troisième, elles sont égales entro elles. Avouons que dans le cas de cet axiome, le premier et le plus évident de tous, le raisonnement mental n’est que de quelques secondes ; mais tout court que soit ce raisonnement, il a lieu. Prenons les axiomes suivants d'Euclide. ‘“ Si à des quantités égales, on ajoute des quantités égales, les touts seront égaux; et si de quantités égales l’on retranche des quantités égales, les restes seront égaux. Ici le raisonnement est un peu plus long que dans le dernier cas, et si l'on passe aux axiomes suivants où l’on ajoute et retranche des quantités égales et inégales, il faut un procédé de l'esprit encore plus long pour se rendre ‘compte tout d’abord de la proposition, c’est-à-dire pour bien en apprécier l'énoncé, puis, en saisir la vérité. Cela posé, il suffira de pousser l’opération mentale un peu plus loin, mais toujours dans d’étroires limites, pour déduire comme nous l'avons fait, des axiomes ordinaires, les axiomes additionnels de ce traité,

À part les quelques théorèmes dont on a, comme on vient de le dire, fait des axiomes, on en à éliminé un bon nombre, condensé quelques-uns

et déduit les autres comme conséquences de ceux qui les précèdent, et d’ailleurs.