AXIOMES

(68) Les quantités qui sont égales à une même quantité ou à des quantités égales s0: t égales entre elles.

(69) Les quantités qui sont moitiés ou doubles d’une même quantité ou de quantités égales sont égales entre elles, et :

(70) Cor. En général (45) les quantités qui sont des multiples ou sous-multiples égaux quelconques d’une même quantité ou de quantités égales sont égales entre elles.

(71) Sco. Etre égal à une quantité, double ou moitié de cette quantité ou un multiple ou sous-multiple quelconque de cette quantité, n’est autre chose que d’avoir à cette quantité un certai:1 rapport (58), soit celui de l'égalité ou celui de 2 à 1, ou de # à 1, ou, ete. Si deux quantités, par exemple, sont chacune les % d’une autre quantité, elles ont à cette quantité le même rapport, c.-à-d. celui de 2 à 8; et en général : si deux quantités sont chacune le même multiple ou sous-multiple quelconque d’une autre quantité elles ont à cette quantité le même rapport ; donc:

(72) Les quantités qui ont le même rapport à ure autre quantité sont égales entre elles, et celles auxquelles la même guentité a le même rapport sont égales entre elles.

(73) Si deux ou plusieurs quantités ont l’une à l’autre un rapport donné, les multiples ou sous-multiples égaux de ces quantités auront aussi entre eux le même rapport.

Si deux quantités A, B, par exemple, ont l'une à l’autre le rapport de 1 à 2 ou de 2 à 8, les doubles, triples, etc., de ces quantités, ainsi que leurs moitiés, tiers, etc., auront l’un à l’autre le même rapport de 1 à 2 ou de © à 8, ce qui est clair.

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(74) Sco. Les rapports entre deux ou plusieurs quantités ne sont autre chose que des nombres (59), et les nombres égaux à un même nombre sont égaux entre eux (68, Ax.); donc :

(75) Les rapports qui sont égaux à un même rapport sont égaux entre eux SiA:B::C:DetE:F::C:D, l'on aura par cet axiome A :B::E:}F, ce qui est évident; car si le rapport de C à D est celui de 2 à 8 ou tout autre, chacun des autres rapports sera aussi celui de 2 à 8 ou le même que celui de C à D et ces rapports seront égaux.

(76) Si à des quantités égales, on ajoute des quantités égales, les : outs seront égaux ; et si on leur ajoute des quantités inégales, les touts seront inégaux.

(77) Si de quantités égales, on soustrait des quantités égales ou inégales, les restes seront égaux ou inégaux suivant le cas. 4

(78) Si l’on multiplie des quantités érales par des quantités égales, ou inégales, les produits seront égaux ou inégaux suivant le cas ; car, multiplier une quantité, n’est autre chose qu'ajouter cette quantité à elle-même un certain nombre de fois, ce qui réduit cet ax. à celui du paragraphe (76).

(79) Si l’on divise des quantités égales par des quantités égales ou inégales, les quotients seront égaux ou inégaux suivant le cas; car, diviser une qnantité, n’est autre chose que soustraire de cette quantité une autre quantité un certain nombre de fois, ce qui indique l’analogie de cet ax. à celui.du paragraphe (77).

(80) Sco. Puisque (59) les rapports entre quantités ne sont autre chose que des nombres, ou peuvent toujours s'exprimer en nombres (47); un rapport composé d’autres rapports est un nombre composé d’autres nombres ; mais par les quatre erniers axiomes, les opérations faites sur des quautités égales donnent pour résultats de: quantités égales ou inégales, suivant que les termes et facteurs sont égaux ou inégaux, et les nombres sont des quantités (24) ; donc:

(81) Les rapports qui sont composés des mêmes rapports sont égaux entre eux. Par exemple, si l’on a A à B à C comme D à E à F, on aura par cet axiome A: C::D: F, ou le rapport de A à C qui est composé de ceux de A à B et de B À C est égal à celui de D à F qui est composé de ceux de DàEetdeEàF. Si A, B, C—2, 4,8 et D, E, F8, 6, 12, on aura 2:8::6:12, puisque 2 est le quart de 8 comme 8 est le quart de 12, et toutes autres valeurs numériques proportionnelles que l'on assignerait aux quantités À, B, C et D, E, F, donneraient des résultats semblables; donc, etc.

Si les rapports à comparer étaient composés chacun de plus de deux rapports, leur égalité serait non moins évidente.

(82) Les quantités égales ont à la même quantité le même rapport ; c.-à-d., si deux quantités sont égales et que l’une d'elles ait à une troisième quantité un certain rapport, l’autre aura à cette troisième quantité le même rapport (71) ; ce qui est clair.

(83) Réciproquement, Si une quantité est à une seconde quantité dans un certain rapport, elle aura le même rapport à toute autre quantité égale à la seconde.

(84) Le tout est égal à la somme de ses parties.

Cor. Le tout est plus grand que l’une quelconque de ses parties.

(85) Les grandeurs qui coincident l’une avec l’autre, c'est-à-dire qui remplissent exactement le même espace sont égales entre elles.