THÉORÈME I

(86) Quand quatre quantités A, B, C, D sont proprotionnelles, le produit des extrêmes est égal à celui des moyens.

En effet, puisque A, B, C, D sont quatre quantités quelconques de même espèce, et que (59) le rapport entre ces quantités est le même que celui entre les nombres d’unités

Lômes rapl'on a A à > A:C::D:

ax de AàB osé de ceux E, F=8, 6, 8 comme 3 ériques pro- À, B, C et donc, etc.

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de mesure qui les composent ; soient 4, 2, 6, 8 ions représentants numériques ; on ne 2::6: 8, et (80) — = ; mais le premier terme 4—2X$ ou 4X8=— 2X6; c.-à-d. le produit du premier terme par le dernier est égal à celui du second terme par le troisième, et toutes autres valeurs numériques proportionnelles de A, B, C, D donneraient le même résultat; donc, etc.

(87) Cor. S'il n’y a que trois quantités proportionnelles À, B, C, telles que À : B::B : C (65), on aura le produit des extrêmes égal au carré du moyen; car AXO=BXB=B".

THÉOR. II.

(88) Si le produit de deux quantités A, D, est égal à celui äe deux autres quantités B, C, deux de ces quantités sont les extrêmes d’une proportion dont les deux autres sont les moyens.

En effet, s’il était possible que dans ce cas le rapport de A à B ne fut pas le même que celui de C à D, il arriverait aussi dans ce même cas que quatre quantités non proportionnelles À, B, ©, D donneraient le produit des extrêmes égal à celui des moyens. Soient 4, 2, 6, 2 les représentants numériques de ces quantités, l’on aura 4X2-=-8, produit des extrêmes, et 6X2—12, produit des moyens. Or le produit des extrêmes est dans ce cas plus petit que celui des moyens.

En second lieu, soit D—4; on aura pour A, B, OC, D, les valeurs 4, 2, 6, 4, ou 4X4=—16, produit des extrêmes, contre 2X6—12, Dro dust des moyens; et dans ce second cas le produit des extrèmes est encore inégal à celui des moyens, étant plus grand que ce produit.

Mais 2, 4 sont des valeurs numériques quelconques assignées à la quantité D, ayant à C, la première un rapport plus petit et la seconde un rapport plus grand que le rapport de B à A, et ni l’une ni l’autre de ces valeurs n’a pu donner le produit des extrêmes égal à celui des moyens.

Il est donc de rigueur que les quatre quantités soient pro- D