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ne <= .

TE + E—— & E——— bn

sÀ

Ca

(179) Déf. La hauteur d’un C C triangle ABC est la ligne CD menée perpendiculairement de son sommet C à sa base AB prolongée s’il le

faut. À B D À D B (180) Déf. La hauteur d’un parallé- B K C

logramme ABOCD est la ligne KL ou

BE menée perpendiculairement entre

deux de ses côtés parallèles; ou la

perpendiculaire CF comprise entre un A E L D côté BC et l’autre côté AD prolongé.

Il est evident que dans un rectangle BEFC, le côté BE ou CF peut être considéré comme sa hauteur, tout aussi bien qu’une perpendiculaire quelconque KL menée entre deux de ses côtés parallèles.

(181) Sco. Lorsqu'on dit que la hauteur du parallélogr. AC ou BF est KL ou BE ou CF, c’est que ces longueurs sont égales; puisque par la déf. des lignes parallèles BC, AF, la distance entre ces lignes est égale à la perpendiculaire menée d’une de ces lignes à l’autre, et que cette distance est partout égale (142).

(182) Déf. On nomme ordinairement base d’un triangle ou d’un parallélogramme, le côté sur lequel la figure est censée reposer; mais il est évident que rien n'empêche de considérer comme base d’une fig. l’un quelconque de ses côtés.

(183) Déf. Dans un triangle quelconque c ABC, les angles A et B sont dits ad jacents au côté AB, etle côté AB adjacent aux angles B, A. L’angle C compris par les côtés adjacents, AC, BC, est appeléinclus:; À ——B et AC, CB sont les côtés qui le comprennent. On donne aussi quelquefois le nom de vertical ou angle au sommet à l’angle C opposé à la base AB.

e côté BE t aussi bien entre deux

parallélogr.

longueurs es BC, AF, endiculaire distance est

n triangle figure est mpêche de que de ses

On donne sommet

(184) Déf. Une figure rectiligne ABOCD est dite inscrite dans une autre fig. rect. EF, lorsque tous les angles ou

‘ points angulaires de la première sont À C

situés sur les côtés de la seconde; et E réciproquement, la fig. EF est circons- D

crite à celle BD, si les côtés de la première passent par les angles du second.

(185) Déf. Un cercle A est une fig.

plane terminée par une ligne courbe CDEF, qu'on appelle circonférence ; et telle que toutes lignes droites OC, OE, OF menées à la circonférence, d’un certain point intérieur O, qu’on appelle centre, sont égales l’une à l’autre.

(186) Sco. Il faut se garder de confondre le mot ‘“ cercle” qui est une fig. plane, avec celui ‘“ circonférence ” qui n'est qu’une ligne.

(187) Déf. Le diamètre d’un cercle est une ligne FD menée par le centre O et terminée de part et d'autre à la circonférence.

(188) Cor. Le diamètre FD est la plus grande ligne droite que l’on puisse mener dans un cercle, étant égale à la somme des distances OF, OD du centre à la circonférence; et il partage le cercle en deux parties égales appellées demi-cercles ; car si l’on suppose que la partie FCD du cercle tourne autour de la base commune FD jusqu’à ce qu'elle vienne s’appliquer sur la partie FED, ies deux courbes DCF, DEF coincideront; si non, il y aurait des points dans l’une plus ou moins éloignés du centre: ce qui est contre la déf. du cercle, puisque les lignes OC, OE, etc., qui mesurent les distances de ces points sont égales, et que par suite tous les points de la circonférence sont également éloignés du centre.

(189) Déf. Les lignes OD, OE, etc., menées du centre à la circonférence se nomment rayons; et par la def. du cercle, tous rayons d’un même cercle sont égaux. De plus il est clair que le diamètre est double du rayon.

(190) Déf. Un arc de cercle est une partie quelconque FBE de la circonférence, et la droite EF qui en joint les extrémités est appelée corde. Il est clair aussi, d’après cette déf. que EF peut encore être considérée comme corde de l'arc FCE, plus grand qu’une demi-circonférence.

(191) Déf. Un segment de cercle est la surface ou partie de cercle FEB comprise entre un arc et sa corde. La partie F'EC est aussi, par la déf., un segment de cercle ; le premier étant plus petit et le second plus grand qu'un demi-cercle.

(192) Déf. Un secteur DOE est la surface comprise entre

. l'arc DE et les rayons DO, EO menés aux extrémités de l’arc.

D'après la déf., la partie EDCFO du cercle est aussi un

secteur; le premier étant plus petit et l’autre plus grand qu'un Hmdtotite.

(193) Déf. Une ligne droite EF est dite insérite dans un cercle, lorsque ses extrémités sont dans la circonférence.

(194) Déf. Un angle inscrit ou un B angle à la circonférence, est celui qui a son sommet à la circonférence et qui est formé par deux cordes; tel est A l'angle ABC ou BCD. Comme CBA est un segment de cercle, on pourra aussi désigner l’angle B appuyé sur la ©.

bare AC de ce segment, l’angle dans le D segment CBA; et l'angle D, celui dans le segment CDA.

1 centre à du cercle, ee plus il

uelconque joint les il, d’après ime corde ce.

ou partie La partie e premier -cercle.

rise entre 8 de l’arc.

aussi un lus grand

rite dans nférence.

DÉFINITIONS, ETC. aT

(195) Déf: Un triangle inscrit est celui qui, comme ACB ou AOD, a ses trois sommets ou points angulaires dans la circonférence ; et en général une figure inscrite est celle, quelconque, ABCD qui a ses angles sur la conférence ; et la circonférence est dite circonscrite à la figure.

(196. Déf. Une ligne AB E qui touche un cercle sans le pénétrer ou le couper est appelée tangente; et l’on appelle point de contact le © point D où la ligne touche le cercle. Deux cercles se touchent ou sont tangents À »p ; soit intérieurement en E, soit extérieurement en F, lorsqu'ils se rencontrent sans se pénétrer; EetF étant appelés comme auparavant points de contact.

(197) Déf. On nomme sécante une ligne BC située partie au dedans et partie au dehors d’un cercle.

(198) Déf. Un triangle ABC, ou un autre polygone quelconque DEFGHK est dit circonscrit à un cercle, lorsque chaque côté de la fig. touche le cercle ; et réciproquement, un cercle est inscrit dans une figure A, rectiligne quelconque, lorsque la circonférence du cercle est tangente à chaque côté de la fig.

(199) Déf. Un angle au centre est celui B formé par deux rayons AB, BC.

On dit àâussi l’angle appuyé sur l’arc AC, ou sous-tendu par la corde ou l’arc AC, que cet angle soit au centre B ou à la circonférence D.

(200) Déf. La distance d’une Corde CD au centre d’un cercle, est F la perpendiculaire EG menée du A centre sur cette corde.

(201) Cor. Deux cordes CD, AB & sont également éloignées du centre, lorsque les perpendiculaires EG, EF D sont égales; et la corde AB sur laquelle tombe la pius petite perpendiculaire EF, est moins éloignée du centre que la corde CD.

(202) Déf. Une zone de cercle est la partie ABFD ou DGHF d’un cercle comprise entre deux cordes parallèles AB, DF ou GH, DF. On la dit centrale, AF, lorsqu'elle comprend le centre C du cercle; et latérale, DH, lorsque les cordes qui la comprennent sont toutes deux du même côté du centre. La surface AEBL comprise entre deux arcs de cercle AEB, ALB, est appelée lunule.

(203) Déf. Il faut entendre par figures égales, celles qui sont égales en toutes choses; ainsi, deux figures seront égales si tous les angles et côtés de l’une sont égaux aux angles et côtés correspondants de l’autre ; car si l’on superposait ces figures l’une à l’autre, il est clair que les côtés et angles de l’une tomberaient sur ‘les côtés et angles correspondants de l’autre, et que ces figures se confondraient ; c.-à-d., couvriraient ou rempliraient exactement le même espace, et seraient en conséquence égales (85 Ax).

Pour que deux cercles soient égaux, il suffit évidemment que leurs rayons soient égaux; car, par superposition, il est clair que faisant coincider ies centres des deux cercles, leurs circonférences tomberaient l’une sur l’autre, à cause des distances égales du centre commun aux circonférences de chacun des cercles.

to:

be la pius du centre

ux arcs de

celles qui 1res seront égaux aux ‘on superles côtés et rles corresondraient ;

le même

pidemment tion, il est cles, leurs cause des

érences de

(204) Déf. Les figures équivalentes sont celles de même aire ou superficie; un triangle, par exemple, sera équivalent à un parallélogramme, si le contenu superficiel de l’un est égal à celui de l’autre, ou s'ils contiennent tous deux un même nombre d'unités de mesure.

De même, parmi les solides, une pyramide, par exemple, sera équivalente à un prisme ou autre solide, si le contenu cubique de l’un est égal à celui de l’autre, ou s'ils contiennent chacun un nombre égal d’unités de mesure; ces unités de mesure étant toujours de même espèce que les quantités à mesurer ou à estimer, comme nous l'avons déjà vu au par. (24); c.-à-d., superficielles, quand il s’agit de surfaces, et cubiques quand il s’agit de solides.

Remarquons ici que lorsque dans la suite il s'agira de figures équivalentes, et que dans les démonstrations ou solutions des propositions, l’on fera usage du mot égal ou du signe —, ce sera dans le double but d'éviter le trop fréquent emploi du mot équivalent, et de tirer plus directement des axiomes les conclusions dont on aura besoin. Il est clair alors que le mot égal et le signe — ainsi employés signifieront chacun, égal en surface.

(205) Déf. Les triangles C semblables sont ceux qui ont e les trois angles de l’un égaux aux trois angles de l’autre.

Ainsi le triangle abc est sembla- B a b bee celui ABC parce qu'ils ont les angles a—A, b=B, c=C.

On appelle homologues les angles égaux A, a; B, b; O,c et les côtés AB, ab; AC, a; BC, be opposés aux angles égaux, ou qui comprennent les angles égaux.

(206) Sco. Si deux triangles semblables sont disposés de manière à ce que leurs angles homologues soient tournés du même côté de l’espace, et qu’un côté de l’un

soit parallèle à un côté de l’autre; les autres côtés du premier seront parallèles aux autres côtés du second.

La même chose est vraie si un côté d’un destriangles estsur la même ligne droite que le côté correspondant de l’autre (146).

La vérité de ces énoncés résulte directement des définitions de lignes parallèles et angles correspondants; puisque tout ce qu'on pourrait supposer contraire à ce qui est énoncé dans cette sco. serait contraire à ces défs.

(207) Déf. Les figures semblales de plus de trois côtés sont celles BD, bdou FE, fh qui sont composés d’un même nombre de triangles semblables ABC, abc ou FOG, fog situés d’une manière correspondante dans chaque figure.

Rem. L'on verra plus tard ce qu'il faut entendre par solides semblables.

(208) Sco. 1. En général, on appellera lignes homologues toutes celles qui se correspondent dans les figures semblables. Ainsi, dans deux triangles semblables KOH, 404, les hauteurs (179) ON, on, et bases (182) KH, kh seront regardées comme lignes homologues, tout aussi bien que les côtés de ces figures (205); et dans les figures semblables BD, bd, de plus de trois côtés, les diagonales ou diamètres , correspondants AC, ac et EC, ec porteront aussi le nom

4 * d’homologues, de même que les côtés correspondants AB, ab et BC, bc, etc,, de ces figures.

Dans les cercles, les lignes homologues seront évidem-

tés du ond.

stsurla e (146).

définipuisque énoncé

homolo-

res sem- DH, koh, ront reque les nblables jamètres le nom nts AB,

évidem-

ment les diamètres, les rayons, et les cordes qui sous-tendent des angles égaux ou des ares égaux.

Dans les polygones réguliers et semblables FH, fh, on appellera lignes homologues, les rayons droits ON, on, et obliques OK, ot; les diamètres NR, nr des cercles inscrits et ceux PF, pf des cercles circonscrits, ainsi que les rayons de ces mêmes cercles.

(209) Sco. 2. Il est clair que deux figures semblables à une troisième sont semblables entre elles ; puisque c'est l’égalité des angles qui, d’après la déf. les rend semblables; et que (68 Ax.) deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles.

(210) Sco. 8. D'après la déf. des figures égales (203), ces figures sont toujours semblables ; tandis que les figures semblables peuvent être très inégales.

(211) Déf. Dans deux cercles différents, on appelle arcs, secteurs et segments semblables, ceux qui correspondent à des angles égaux au centre.

Par exemple, si l’angle cod=COD, l'arc cd est semblable à l'arc CD ; le secteur dco à celui DCO; et si l'angle aob— AOB, le segment eba sera semblable à celui EBA.

(212) Déf. Deux côtés (1

d’une figure sont dites ré- LÀ ciproquement proportion-

nels à deux côtés d’une | autre figure lorsque un des À B D à

côtés de la première est àun des côtés de la seconde, comme l’autre côté de la seconde à l’autre côte de la première; c.-à-d., AC, CB sont réciproquement proportionnels à DF, FE, si AC: DF':: EF: BC ou si DF : BC:: AC:EF.

(213) Déf. On dit qu’une ligne droite est coupée en moyenne et extrême raison, lorsque le tout est au plus grand segment, comme le plus grand segment au plus petit.

(214) Déf. En geométrie, le produit de deux lignes veut dire la même chose que leur rectangle ; et l’on fait usuge de cétte expression en arithmétique et en algèbre, où elle sert à désigner le produit de deux quantités ou nombres inégaux ; le mot carré servant à désigner le produit d'une quantité multipliée par elle-même (85 et 40).

(215) So. Les carrés arith- H métiques de 1, 2, 8, etc., sont 1,

4, 9, etc. De ditite sait il est

clair que le carré AC décrit

sur le double AB d’une ligne

AË est égal à quatre fois ie

carré AF décrit sur cette li-

gne AE ; et que celui GH, décrit sur le triple d’une ügne, est égal à neuf fois le carré décrit sur cette ligne. Il n’est pas moins évident que le carré décrit sur la moitié d’une ligne est égal au quart du carré décrit sur cette ligne ; et celui décrit sur le tiers d’une ligne, à la neuvième partie du carré décrit sur cette ligne.

(216) Déf. Tout parallélogramme rectan- D C gulaire où rectangle est dit contenu par deux quelconques des lignes ou côtés qui comprennent l’un des angles droits. Ainsi k mn le paraliélogr. rectangulaire AC est appelé le rectangle contenu par AD, DC ou par AD, AB, etc. Pour abréger, au lieu de dire le rectangle contenu par AD et DO, on dira simplement le rectangle AD.DC, mettant un point entre les deux côtés du rectangle.

upée en au plus lus petit.

nes veut usuge de Île sert à Inégaux ; quantité

ne ligne, e. Ilu’est tié d’une te ligne ; euvième

bte. Pour D et DC, un point