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le sene de eur. Pour considérée osés les uns ar ce not, > qui com-

es points; ni largeur, > un point

B ection ; et atre deux vmne droite oint à un

ielconques t donc de Dur déter-

(110) Cor. 2. Deux lignes droites ne peuvent renfermer un espace. Elles ne peuvent pas non plus coincider en partie sans coincider entièrement.

(111) Cor. 8 D’un point à un autre on ne peut mener qu’une seule ligne droite.

(112) Déf. Une ligne courbe CFD ps F est telie que la direction de deux points be" consécutifs quelconques C, E, est diffé- ê D rente de celle de deux autres points consécutifs quelconques E, F, si éloignés ou rapprochés que soient ces points. On peut encore la définir, celle dont tous les points s’éloignent de plus en plus, maïs infiniment peu à chaque instant, d’une ligne droite.

(113) Déf. Une ligne brisée est celle B A B CD, composée de lignes droites ; AT cbr et toute ligrs qui n’est pas une ligne droite, ou composée de lignes droites, est une ligne Mure

(114) Déf. Une superficie ou surface n’a d’étendue qu’en longeur et en largeur, et n’a point d'épaisseur. Les limites d’une surface sont évidemment des lignes. Les surfaces déterminent encore des lignes à l'endroit de leurs intersections.

Quoiqu’une ligne n’ait aucune largeur (107), rien n’empêche que pour se former l'idée d’une surface, on ne la suppose composée d’un nombre infini de lignes posées les unes à côté des autres; tout de même qu'on peut considérer une ligne comme composée de points consécutifs.

(115) Déf. Un plan ou une surface plane est celle dans laquelle, prenant deux points quelconques, la ligne droite qui les unit est entièrement dans ce plan. Le dessus ou surface d’une table peut en donner une idée,

(116) Déf. Toute surface qui n’est pas plane ou composée de surfaces planes est une s'irface courbe,

(117) Déf. Une figure plane est un espace renfermé de

Le)

tous côtés par des lignes droites ou courbes situées dans un même plan; et l’ensem le des lignes limitrophes s’appelle périmètre.

(118) Déf. Lo mot aire, surface ou supe :ficie indique la quantité d'espace superficiel, ou d'unités de mesure de même espèce (24) (48) contenues dans une figure, sans égard à la nature de la figure ou des lignes qui en forment le périmètre.

(119) Déf. Un corps ou solide a de l’étendue tant en longueur qu’en largeur et hauteur ou épais: ur. Quoïqu’une surface n'ait aucune épaisseur (114), rien n'empêche pour se former l’idée d’un solide, de le considérer comme composé d'un nombre infini de surfaces superposées les unes aux antres. Les limites d’un solide sont des surfaces ; le même que celles des surfaces sont des lignes; et les extrémités des lignes, des points.

(120) Déf. Le mot solidité indique la quantité d'espace cubigue, ou d'unités de mesure (24) de même espèce contenues dans un solide; sans égard à la nature de la figure, ou des surfaces qui terminent ou contiennent le solide, ou qui en forment les côtés.

(121) Déf. Un angle rectiligne B A C B est l'écartement de deux lignes droites AB, AC, qui se rencontrent en un point À qu’on appelle sommet de l'angle. À C

(122) Cor. L. La valeur ou grandeur d’un angle dépend donc du plus ou moins d'écartement des deux lignes droites qui forment cet angle ; c.-à-d., du plus ou moins d’inclinaison, l’un à l’autre, des deux côtés qui comprennent l’augi.

(123) Cor. 2. Deux angles sont égaux ou inégaux suivant que l’inclinaison des deux côtés de l’un est égale ou inégale à celle des deux côtés de l’autre; et réciproquement, si deux angles sont égaux ou inégaux, l’inclimaison des deux côtés de l’un est égale ou inégale à celle des deux côtés de l’autre.

tuées dans >phes s’ap-

indique la re de même

égard à la périmètre.

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(124) Sco. La valeur ou grandeur d’un angle ne dépend done aucunement de la longueur de ses côtés ; puisqu'on pourrait prolonger ind/fmiment ces côtés sans altérer leu écartement; c.-à-d., sans changer l’inclinaison relative de ces côtés.

(125) Rem. Un angle BAC, quand il B est seul, peut s’énoncer par une seule lettre A placée à son sommet; mais daus le cas de deux ou plusieurs angles À< D contigus m, n, il est évidemment néces- | saire de désigner chacun de ces angles C par trois lettres B À D, D AC, dont l’une placée au sommet de l’angle, et les deux autres en un point qwelconque des côtés qui comprennent ces angles; ayant soiu toutefois en les exprimant, de placer entre lee deux autres lettres celle qui est située au sommet de l'angle.

(126) Rem. En parlant d'un angle quelconque BAD, on ne considère aucunement la surface ou superficie partiellement renfermés par les côtés de l'angle; maïs seulement le degré d’inclinaison des deux côtés de l’angie, l’un à l’autre.

(127) Déf. Une ligne AB est dite BE perpendiculaire à une autre ligne CD, lorsque la première rencontre la seconde sans pencher ou incliner plus d’un côté que de l’autre. Les C FA D deux angles BAC, BAD, ainsi formés, prennent le nom d’angles droits, et sont évidemment égaux l’un à l’autre (123).

(128) Cor. Comme AB, pour former av:e UD des angles droite re doit pencher (127) ni d’un côté ni de l’autre; etque toute : tre ligne EA, BF différente de celle AB, et n'ayant avec cette ligne qu'un point commun A, B, est évidemment inclinée à CD; il s’en suit que par un point donné A sur une ligne droits CD ou par un point B hors de cette ligne, on ne peut mener qu’une seule ligne BA qui soit perpendiculaire à la première.

(129) Déf. Deux angles sont rppelé: de même affection, lorsqu'ils sont tous deux plus g'ands ca plus petits qu’un angle droit.

(130) Déf. Un angle EBA, plus D £ grand qu’un angle droit, est dit obtus ; dk et celui EBC, plus petit qu'un angle droit, est dit aigu. L’angle EBC qui EE mauque à celui EÉBA, pour former deux angles droits, se nomme supplément de cet angle ; et celui EBD qui manque à EBO, pour former un augle droit, se nomme complément de ce dernier.

(131) Déf. On nomme angles de suite ou angles supplémentaires, les angles contigus EBC, EBA formés du même côté d’une ligne AC par une autre ligne EB qui rencontre la première.

(182) Cor. I. Les angles supplémentaires sont, ou deux angles droits, ou égaux, pris ensemble, à deux angles droits.

(183) Sec. I. Si la ligne qui rencontre l’autre lui est perpendiculaire comme BD, les deux angles sont droits (127) ; mais si elle est oblique comme EB, il est évident qu'un EBA, des deux angles est d'autant : lus grand qu’un angle croit, que l’autre, EBC, est plus petit qu’un angle droit ; et y'e la sn: 5.2 des deux vaut deux angles droits.

(284) ('e2. 2. La somme de tous les angles ABD, DBE, EBC formés autour d’un même point B et du même côté d’une ligne äroïite AC, vaut deux angles droits ; puisque cette somme est égale à celle des angles supplémentaires ABE, CBE (132).

(185) Cor. 8. Si en un point B dans D une ligne droite BD deux autres # lignes AB, CB, font les angles con- E tigus ABD, CBD droits, ou égaux A Et ©

pris ensemble à deux angles droits ; ces deux lignes AB, CB ne forment qu’une seule et mêrme ligne droite 6. ®

affection, tits qu'un

) Pa droits, se

ai manque nplément

>s supplédu même rencontre

, OU deux ix angles

iest perits (1217) ; ent qu'un ‘un angle droit ; et

BD, DBE, u même s droits; pplémen-

seule et $

En effet, si ABC n'est pas une ligne droite, elie sera brisce comme celle ABE ou ABF, et formera avec BD deux "1. gles ABD, EBD ou ABD, FBD qui pris ensemble seror : plu: petits ou plus grands que deux angles droits ; puisqne ‘ne ie premier cas il manque aux angles ABD, EBD, coini EBC pour former deux angles droits, et que dans l'autre cas, la somme ABD, FBB des deux angles est plus grande que deux angles droits, de la quantité FBC; la ligne ABC n'est donc pas brisée ; c.-à-d. qu’elle est droite.

(136) Sco. 2. On tire encore du dernier cor, comme de la

troisième déf. (II0), que deux lignes droites ne peuvent coincider en partie sans coincider eutièrement.

(137) Déf. On nomme opposés au D sommet ou simplement opposés les A angles ABC, DBE ou ABD, CBE, * ( £

formés par deux lignes droites AE, C CD, qui s'intersectent en un point B.

(138) Cor. I. Les angles opposés au sommet sont égaux, puisque les lignes droites CD, AE font que l'inclipaison de DB sur BE cest la même que celle de BC sur BA (123).

(139) Cor. 2. Il suit du dernier cor. et du par. (182) que si deux lignes droites se coupent, les angles qu’elles forment au point de leur intersection vs nt ensemble quatre angles droits.

(140) Cor. 8. Il est clair aussi (184) que tous !2n angles faits par un nombre quelconque de lignes droites se rencontrant en un seul point valent ensemble quatre angles droits.

(41) Déf. On doit entendre par 4 7. p

Ré de lignes parallèles, deux ou plusieurs bib. D lignes AB, CD; EF situées dans " : | x ÿ même plan, partout à la même dis- 0 r

9 tance l’une de l’autre, et qui par conséquent étant prolongées

À l'infini ne se rencontreraient jamais. é

(142) Sco. I. On appelle distance entre deux parallèles AB, CD ou AB, EF, la perpendiculaire mn ou mo, menée d'une de ces lignes à l’autre.

(143) Cor. I. Si AB est parallèle à OD, la distancemn —pq par la déf,, et si EF est parallèle à CD, no=gr; mais, si (76 Ax.) à des quantités égales on ajoute des quantités égales los sommes seront égales ; donc mo=pr; c.-à-d, que deux lignes parallèles à une troisième sont parallèles entre elles.

(144) Sco. 2. D'ailleurs, la vérité de cette conséquence, comme de toutes celles tirées des défs. contenues dans ce traité, mr Warreitere tellement évidente de ces défs, mms on peut les regarder comme autant d’axiomes.

En effet, nous définissons lignes parallèles celles qui sont partout à distances égales l’une de l’autre ; et dire que deux lignes parallèles à une troisième sont parallèles entre elles, n’est autre chose qu'avouer que si à des quantités égales on ajoute des quantités égales les touts sont égaux; vérité que chacun est prêt à admettre sans démonstration, et que nous avons en conséquence mise au nombre des axiomes.

(145) Cor. 2. Deux lignes qui s’intersectent ou ne sont pas parallèles l’une à l’autre ne peuvent être toutes deux parallèles à la même ligne droite.

(146) Sco. 3. Rien n'empêche de B C considérer les parties AB, BD ou 4 D AC, BD d’une seule et même ligne droite AD comme autant de parallèles situées à une distance infiniment petite l’une de l’autre ; ou ce qui revient au même, on peut considérer comme parallèles deux ou plusieurs lignes disposées de manière à former partie d’une seule et même ligne droite.

(147) Déf. On appelle correspon- E dants les angles EFB, EGD, ou : ÿ HFB, HGD tournés dans le même A L n

sens, et formés par deux lignes parallèles AB, CD intersectées par une CR éroisième ligne EF H

parallèles m 0, menée

istance m n =qr ; Mais, ;s quantités c.-à-d, que parallèles

nséquence, es dans ce le ces défs.

axiomes.

es qui sont e que deux entre elles, 3 égales on vérité que t que nous es.

ou ne sont re toutes

omme aubent petite peut congnes disseule et

Lans ds

(148) Cor. I. Les angles correspondants sont égaux ; car, lies lignes AB, CD étant parallèles, la direction de chacune d'elles est la même par rapport à la ligne EH. En d’autres mots, EH est également inclinée sur AB et CD et fait par conséquent avec chacune de ces lignes des angles égaux (123).

(149) Cor. 2. Si EFB est un angle droit, EGD sera aussi un ângle droit; donc toute ligne perpendiculaire à l’une de deux parallèles est aussi perpendiculaire à l’autre, et toute ligne faisant avec l’une de deux parallèles un angle quelconque fera avec l’autre parailèle un angle égal au premier.

(150) Cor. 8. Deux lignes perpendiculaires à une troisième ligne sont parallèles l’une à l’autre. Elles sont encore parallèles si elles font avec la troisième ligne des angles égaux quelconques.

(151) Cor. 4. Si LK est parallèle à EH, on aura l'angle LKD égal à son correspondant EGD (148); mais EGD est égal à son correspondant EFB; donc deux angies sont égaux si leurs côtés sont parallèles et si ces angles sont tournés, soit du même côté de l’espace, comme ceux EFL, LKD, ou dans une direction opposée au soramet, comme ceux FLK, EFL ou CGH, EFL.

(152) Cor. 5. Deux angles valent ensemble deux angles droits, si leurs côtés sont parallèles l’un à l’autre et que ces angles soient adjacents, comme ceux DGF, BFG ou encore comme ceux LKG, FGK ; ce qui est clair, puisque LKD—FGK, son correspondant, et que les angles de suite LKD, LKG valent e:5emble deux angles droits (132). On donne à ces angles le nom d'intérieurs ou internes. *

(153) Cor. 6. Les angles AFG, DGE formés de chaque côté de la ligne EH, par Les parallèles AB, CD, et auxquels on donne le nom d’alternes, sont égaux.

Ce est évident, cit AB et CD étant parallèles; l’incli- ÿ

naison de la droite FG qui les rencontre est la même pour

qi chacune d’elles. cé sl Ls (154) Cor. 7. Réciproquement, si une ligne EN qui di coupe ou qui rencontre deux autres lignes droites, fait H avec ces lignes, les angles coirespondants ou alternes égaux, ou les angles internes supplémentaires; c.-à-d. côû égaux pris ensemble à deux angles droits ; ces deux autres iè lignes seront parallèles. tie Tout ceci est clair et suit immédiatement des défs. ; car si H les deux lignes n'étaient pas parallèles, leur inclinaison sur <la droite EH serait inégale, et les angles qui par hyp. sont À Le égaux, seraient en même temps inégaux, ce qui est absurde ; sù donc, etc. de (155) Cor. 8. Par un même point F on ne peut mener ie qu’une seule ligne droite AB qui soit parallèle à une à autre ligne CD. GI (156) Déf. Les figures rectilignes sont celles qui sont terminées par des lignes droites.

(157) Déf. Les figures trilatérales ou les trilatères sont ce celles qui sont terminées par trois lignes droites; on les ( désigne sous le nom de triangles ou trigones. ie (158) Déf. Les quadrilatères sont celles qui sont termi- cel nées par quatres lignes droites ; tel est le carré ou tétragone. gi (159) Déf. On donne en général le nom de polygones à aux figures rectilignes terminées par plus de quatre côtés ; ie tels sont le pentagone, l’hexagone, etc; mais rien n’em- ( pêche de désigner sous le même nom les triangles qui sont De

des polygones de trois côtés et les quadrilatères qui en ont

quatre.

(160) Déf. Parmi les tri-

E H apgles, on nomme équilatéral, celui ABC dont les trois côtés sont égaux ; iso- P & K

cèle, celui DEF qui n’a que A deux côtés égaux ; ebscalène, c@ui dk ae #ois côtés sont inégaux. ©

même pour

> EIL qui roites, fait ju alternes res; C.-à-d.

eux autres

défs. ; car si inaison sur r hyp. sont st absurde ;

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es qui sont

atères sont es; on les

sont termi- 1 tétragone.

polygones 1atre côtés ; rien n’emes qui sont s qui &n ont

BG K s @ois cÔtés

(181) Sco. Dans tout triangle la somme de deux côtés quelconques HG, GK est plus grande que le troisième côté HK; car (108) la ligne droite HK est la plus courte distance entre les points H, K; et toute autre distance HG+GK est évidemment plus grande que HK.

(182) Cor. Il suit de là que la différence entre deux côtés quelconques d’un triangle est moindre que le troisième côté; car, puisque HG+GK > HK, si de HK on retranche GK, il restera une quantité moindre que HG ; c.-à-d., HK-—GK < HG, ou HK—HG < GK.

(163) Déf. Considérant les B

E H triangles par rapport à leurs angles ; on appelle rectangle, celui AOB qui a unan- / | / / \ C D F & K

gle droit C; obtusangle, À celui DFE qui a un angle obtus F; et acutangle, celui GHK dont les trois angles sont aigus,

(184) Déf. Dans un triangle rectangle, on : ‘pelle hypoténuse le côté AB opposé à l'angle droit.

(185) Déf. Parmi les figures à quatre côtés c ou quadrilatèras, le carré ou tétragone est celle ABCD dont tous les côtés sont égaux et tous les angles droits. La ligne AC qui jrint deux quelconques des angles opposés est appelée diagonale.

(166) Déf. Le rectangle est celle EFGH p dont tous les angles sont droits ; mais dont

LA LA F ; | les côtés ne sont pas tous égaux. H oies

(167) Sco. Il suit de cette déf. et du par. (150) que les côtés opposés d’un carré et d’un rectangle sont parallèles deux à deux. De plus, les côtés onposés d’un rectangle sont égaux; car (142) EF, HG sont les distances égales entre les parallèles EH, FG; et FG, EH sont les distances égale entre les paralièles EF, HG; puisque les côtés du rectangle sont perpendiculaires l’un à l’autr&

(168) Déf. Un rhombe ou losange K NOKL est un quadrilatère dont tous les côtés sont égaux, mais dont les angles ne sont pas droits.

(169) Déf. Un parallélogramme PQ- RS est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles. P

(170) Cor. La somme de deux quelconques des angles adjacents d’un parallélogramme vaut deux angles droits ; puisque (152) deux lignes parallèles PQ, SR qui rencontrent une troisième ligne PS ou QR font les angles adjacents égaux ensemble à deux angles droits.

(171) Sco. Le carré et le rectangle sont aussi des parallélogrammes (167 et 169).

(172) Déf. On donne le nom de tre- A 1 pèze à un quadrilatère A.C dont deux Ai al ur D

côtés seulement AB, DC sont parallèles, (

(178) Déf. En général, on appelle dia- B gonale et quelquefois diamètre d'une figure quelconque, la ligne quijoint deux de ses angles non adjacents. Telle est dans le parallélogramme PR la ligne SQ, À et dans le polygone DE, les lignes AB, AC.

(174) Déf. Parmi les polygones, on nomme pentagone, celui de cinq côtés; hexagone, celui de six côtés; hepta: gone, celui de sept côtés; octogone, celui de huit côtés ; ennéagons ou nonagone, neuf côtés; décagone, dix. côtég® quindécagone ou par bi cn quinze côtés ; «et ainsi de

es angles x angles } SR qui les angles

i des pa-

atagone,

hepta:

t côtés ; K. côté ainsi de

(175) Déf. Un polygone équilatéral est celui dont tous les côtés sont A égaux ; équiangle, celui dont tous les

angles sont égaux; et régulier, celui % c ABCOCDEF dont tous les angles À, B,

OC, etc., sont égaux et tous les côtés

AB, BC, etc., aussi égaux. E

Dans les polygones réguliers, on appelle rayon droit, la perpendiculaire OG menée du centre O du polygore à l'un quelconque AB de ses côtés; et rayon oblique, la ligne OA menée du même point O à l’un quelconque À des angles du polygone.

Le centre d’un polygone régulier, comma «1: le verra plus tard, est un point également éloigné des côtés et angles du polygone.

(176) Déf. Deux polygones sont mutuellement équilatéraux lorsqu'ils ont leurs côtés égaux l’un à l’autre et placés dans le même ordre, c.-à-d., lorsque en suivant leurs périmètres dans la même direction, le premier côté de l’un est égal au premier côté de l’autre; le second côté du premier, au second côté de l’autre: et ainsi de suite, L'’expression mutuellement équiangles a une signification correspondante, eu égard aux angles. Dans les deux cas les côtés ou angles égaux ou correspondants sont appelés homologues.

(177) Déf. Dans tout parallélogramme AC, on désigne sous le nom de gnomon, la figure AGK composée du parallélogr. LG et de ses eompléments AF, FC, ou celle AKG composée dr parallélogr. EK et des compléments AF, FC.

(178) Déf. On dit que les paraliélogrammes EK, LG sont autour du diamètre BD ; et l’on appelle cgmpléments, les parties AF, FC qui manquent à EK, LG, pour compléter le parallélogr. AC.