ETC

D'ailleurs, quand deux triangles ont deux côtés et l’angle compris de l’un égaux à deux côtés et à l'angle compris de l’autre, ces triangles sont égaux en toutes choses (287).

(815) Cor. 6 De deux lignes obliques quelconques AC, AD menées d’un même point À à une ligne DE, la plus courte est celle AC qui est le plus près de la perpendiculaire menée du même point À à cette ligne; et l’on ne peut mener deux lignes égales du même côté de la perpendiculaire,

Car AD°—AB?+BD? et AC=—AB?+BC°; BC*<BD’, donc, AD*>AC? ; c.à-d., AD>AC ou AU<AD.

D'ailleurs, parce que l’angle ACB est aigu, ACD est obtus (133); mais à cause de ABD qui est droit, ADB est

aussi aigu ; et comme le plus grand côté est opposé au plus grand angle, on a ADS AC.

(316) Cor. 7. Tout point À dans la perpendiculaire AB au milieu d’une ligne CE, est également éloigné des extrémités E, © de cette ligne.

(317) Cor. 8. Tout point hors de la perpendiculaire au centre d’une ligne est inégalement éloigné des extrémités de cette ligne.

(818) Cor. 9. Du même point on ne peut mener à une même ligne trois lignes droites égales; car si cela se pouvait, on aurait deux lignes obliques égales du même côté de la perpendiculaire ; ce qui (815) est impossible.

(319) Cor. 10. Si le carré décrit sur un AE des côtés d’un triangle ABE est équivalent à la somme des carrés décrits sur les deux autres côtés AB, BE, l'angle ABE contenu par ces deux côtés est un angle droit.

En effet, soit ABC un angle droit et BC—BE; on aura AC* =BCŸ+AB*; mais par hyp. AE°=BE* ou BO?+AB?; donc, AE°—A 0° , C.-à-d., AE—AC. Dans les deux triangles ABC, ABE l'on a donc tous les côté: de l’un égaux aux côtés correspondants de l'autre; mais (285\ si les côtés

sont égaux dans deux triangles, les angles le sont aussi ; or, l'angle ABC est droit par hyp., donc aussi l'angle EBA est droit.

PROP. XII. THÉOR.

(820) 11 peut y avoir deux triangles différents ACB,

ACB dont deux côtés AB, AC’ de l’un soient égaux à .

deux côtés AB, AC de l’autre, et un angle B égal dans chacun, pourvu que dans chaque triangle cet angle soit opposé au plus petit de ces côtés.

En eftet, AC étant par hyp. —AC/ A

le triangle C'AC est isocèle; done, l'angle. AC'C—ACC" (229); mais l'angle AC'B est supplément de AC’C (180); il est donc aussi supplément de OC. On aura donc avec PTE Ta les mêmes données un triangle acu- mr MATOS tangle ACB ou obtusangle 5 CB; mais ces deux triangles seront tels que l’angle aigu C de l’un sera toujours supplément de l’angle obtus C de l’autre.

Il est évident que si le côté AC était égal à la perpendiculaire AD,ce qui donnerait aussi AC/=AD, les deux triangles AC/B, ACB se confondraient et ne formeraient plus qu’un seul et même triangle ADB ; donc, etc.

(821) Sco. PROB. Il suit du théor. que étant donné deux côtés AB, AC d'un triangle et un angle Bopposé au plus petit AC de ces côtés pour construire le triangle; il faudra, après avoir pris AB égal au plus grand des côtés donnés, faire au point B un angle ABC égal à l'angle donné B, et du point A comme centre, ayec un rayon AC égal à l’autre côté donné, décrire un arc CaC coupant BC en C, C; puis, joindre AC, AC qui, étant rayons L'un même cercle, seront égaux.

Chacun des triangles ACB, ACB répondra aux données

sis Of, BA est

triangles s supplé-

erpendieux triient plus

à né deux 6 au plus il faudra, nés, faire

du point utre côté C; puis, le, seront

données

PROPOSITIONS, ETO 83

du problème, et il est clair que pour déterminer le triangle requis il faudrait de plus savoir s’il est acutangle ou obtusangle.

Observons encore que le problème serait impossible si le côté AC était moindre que la perpendiculaire AD menée du point A sur le côté opposé BC.

Si l'angle donné était opposé au plus grand des deux côtés donnés, il est clair que la construction se ferait d’une manière analogue; mais ne donnerait qu'un: seul triangle AC'B, ADB ou ACB suivant que l'angle donné serait obtus, droit ou aigu.

PROP. XIII. THÉOR.

(822) Deux angles À, B sont égaux si les côtés AC, AD de l’un sont respectivement perpendiculaires à ceux BC, BE de l'autre.

Puisque AD est perpendiculaire à BC et BE à AO, il s’en suit que les deux triangles CDA, CEB, ont E les angles en D et E droits et égaux. Ces triangles ont aussi un angle C commun, et parce que % B quand deux triangles ont deux an- D gles de l’un égaux à deux angles de l'autre, ces triangles ont aussi leurs troisièmes angles égaux (260); l’angle A=B; donc, etc.

(823) Cor. Si les trois côtés d’un trianiie sont perpendiculaires aux trois côtés d’un autre triangle, ces triangles sont équingles ; vérité qui suitimmédiatement du théor.

Autrement. Si l’on suppose qu’un triangle dont les côtés sont perdendiculaires à ceux d’un autre triangle, tourne autour d'un de ses points angulrires, de manière à ce qu’un de ses côtés décrive un angle droit; il est clair que ses autres côtés décriront aussi des angles droits, et que chacun des côtés deviendra parallèle aux côté correspondant. de l’autre; d'où aussi, deux triangles sont équiangles si les côtés de lun sont parallèles à ceux de l’autre.

D'ailleurs, cette propriété se déduit directement de l’6noncé fait au par. (151).

PROP. XIV. THÉOR.

(324) Si l’on bissecte l’angle extérieur BCD d’un triangle ABC et l'un BAC de ses angles intérieurs opposés, l’angle E formé par la rencontre des deux bissectrices CE, AE est égal à la moitié de l’autre angle B du triangle.

D'abord, parce que (251) p l'angle ext. BCD> l'angle int,

BAC, on aura EOD moitié

du premier plus grand que

EAC moitié du second ; donc, A D ECD est l'angle ext. d’un tri- Ç

angle EAC, c.-à-d., que CE, AE prolongées suffisamment se rencontreront.

Maintenant parée que ECD—}BCD et EAD—YBAD par constr., et parce que.BCD—BAC+ABC, ECD—}BAC+ ABC; c.-à.d., ECD—EAC-+3B; mais l'angle ext. ECD=— EAC-E (251); donc, EAC+E—EAC+4#B (68 Ax.); donc, E=3B; donc, etc.

Ré mas, ss

PROP. XV. THÉOR:

(825) Un trapèze quelconque ABOD est égal en surface à un parallélogramme AEFD de même hauteur AK, et de base HG, ou DF égale à la demi-somme an des bases parallèles AB, DC du sd

En effet, par le point G, milieu A B de BC, menant EF parallèle à AD et prolongeant AB jusqu’en E; l'on aura le triangle FGC retranché du trapèze d’une part, égal à celui EGB qu'on luiajoute | :

d'autre part; car, dans ces deux D & j °

de l’é-

amment

AD par 1BAC+ , ECD= ); donc,

en sureur AK, AB+DC

ee —

triangles, l'égalité provient de ce que GC un côté de l'un est égal par constr. À BG uu côté de l’autre et que tous les angles sont respectivement égaux (288), savoir: E égal à son alterne F (153), B égal à son alterne C et FGC à son opposé au sommet EGB ; donc AEFD—ABCD.

Il est clair aussi que HG menée par le point milieu G parallèle à AB ou à DC est égale à AE ou DF et DH—FG, puisque les parallèles entre parallèles sont égales (271). Maintenant, à cause de l'égalité des triangles EGB, FGC, l'on a BE—FC; donc, AB+DC-—2DF (ou 2 AE)--2H6G ; donc, HG menée par le point milieu G du trapèze, parallèle à AB ou à DO, est égale à la demi-somme des bases parallèles du trapèze ; donc, etc.

(826) Soo. L. Parce que HG est parallèle à AE et A DF et que EG=GF, on a aussi AH—HD, car AH=—EG et DH— FG. Le point H est donc aussi le point milieu du côté AD du trapèze; donc, l’on peut dire aussi que la surface d’un trapèze est égale à celle d’un parallélogramme de même hauteur et de base égale à la ligne menée entre les points milieux de ses côtés inclinés.

(827) Sco. 2. PROB. Si ABCD A B E est un trapèze, et que par le point C l’on mène CE parallèle à DA, prolongeant AB pour ren-

contrer CE en E, l'on aura CE— DA, à cause des parallèles entre parallèles, et BE—DO—AB égal û

à la différence entre les bases parallèles. D'où l'on tire la manière de construire un trapèze lorsque les quatre côtés seulement en sont donnés.

À. cette fin, prenant pour base de l'opération l’un BC des côtés inclinés du trapèze et avec des longueurs CE,BE respectivement égales à l’autre côté incliné DA, et à la différence entre les bases parallèles du trapèze, construisant un triangle BEC, prolongeant ER d'une quantité=—BA et par

les points A, C menant AD, CD respectivement parallèles à

EC, AB, on aura le trapèze demandé. 5

PROP. XVI. THÉOR. u

(328) Un parallélogramme quelconque ABCD est égal .

en surface à un rectangle ABFE de même base AB ou ÿ

EF et de même hauteur AE eu BF. G

Cette propriété se déduit di- A B É

rectement de la prop. IX (284) A

puisqu'un rectangle est en ce

même temps un parallélogr. rc (171).

D E C ; F si

D'ailleurs, puisque dans les triangles AED, BFC, DA— te

CB et AE—BF (270), et que les angles AED, BFC sont droits et égaux; lestriangles sont égaux en toutes choses (812); et comme le triangle AED que l’on retranche d’un côté est égal à celui BFC que l’on ajoute de l’autre, il est clair que le rectangle AF est égal au parallélogr. AC; donc, etc.

(329) Cor. Tout triangle DBC est égal à un triangle rectangle EBF de base égale EF et de même hauteur BF.

Car le triangle rectangle EBF est moitié du rectangle AF (270) et le triangle DBC moitié du parallélogr. AC ; mais on vient de prouver que le rectangle est égal au parallélogr. et les moitiés de choses égales sont égales (69).

PROP. XVII. THÉOR.

(830) Deux rectangles AF, AC de même hauteur AD sont entre eux comme leurs bases AE, AB; c.-à.d., leurs surfaces sont ,roportionnelles à leurs bases.

èles à

, DA= 'C sont

choses ne d’un , il est : donc,

riangle auteur

D gle AF ; mais

allélogr.

sur AD d., leurs

En effet, si les deux bases AE, AB sont commensurables (48), on pourra les supposer divisées en un certain nombre de parties égales AG, GK, etc. ; et si par les points RS CARE OR PR de division G, K, etc., on mène les AGK EE NB lignes GH, XL, etc., perpendiculaires à AB ou parallèles à AD, l’on aura un certain nombre de rectangles égaux AH, GL, etc., (171 et 285), puisque tous ces rectangles auront bases et hauteurs égales. Or, il est clair que si le rectangle AF par exemple contient 5 rectangles partiels, AH, et que celui AC en contienne 8, les surfaces de ces rectangles seront entre elles comme 5 est à 8 ou comme AE à AB.

Le même raisonnement peut s'appliquer quel que soit le rapport de AE à AB; de là, quel que soit ce rapport, si ses termes sont commensurables, on aura AF : AC:: AE: AS.

(331) En second lieu, si l’on suppose que les bases AE, AB soient incommensurables (50), il est à démontrer que l’on aura encore AF': AC : : AE: AB.

Si l’unité de mesure AG est contenue un nombre exact de fois en AE, mais non en AB ; il y aura un reste NB qui sera à AG dans un rapport quelconque. Si le reste NB était égal à la moitié de AG, il est clair que la surface NC serait aussi égale à la moitié de A FX par le dernier par.

De même, si NB est le tiers, le quart, le cinquième ou aucune autre fraction ou partie &e l’unité de mesure AG, que cette fraction puisse ou non s'exprimer en nombres finis (51), il est clair que la surface NC qui lui correspond sera la même fraction ou partie de celle AH que NB l’est de AG; c-à-d. que NC est à AH::NB:AG; mais NC, AG sont deux rectangles quelconques de riême hauteur; donc aussi, AF, AC qui sont deux rectangles quelconques de même hauteur seront entre eux comme leurs bases; c-à-d., on aura AF': AC:: AE: AB; donc, etc.

PROP. XVIII. THÉOR.

(332) Deux rectangles quelconques AC, AG sont entre eux comme les produits de leurs bases AB, AE multipliées par leur hauteurs AD, AF; c.-à-d. que l’on aura AC: AG::(AB.AD):(AE.AF).