RS D: HA

Disposons les deux rcetangles de H D C manière qu'ils aient un sommet com- | mun À et leurs bases AE, AB sur la | ni même ligne droite EB, et prolongeons E À B c les côtés CD, GE jusqu’à leur rencon- 8 tre en H; AH sera évidemment un C , À G F rectangle et l’on aura par le dernier théor. AC : AH :: AB: AE et AH: AG :: AD : AF. e

Maintenant nous avons vu (103) que les produits des termes correspondants de deux séries de quantités proportionnelles sont eux mêmes proportionnels ; on aura dans ce cas ACX AH: AGX AIT ::ABXAD : AEXAF. Supprimant AH qui est commun aux deux premiers terines, ce qui par conséquent (78 Ax.) n’en change pas le rapport, il reste enfin AC:AG::(AB.AD):(AE. F); donc, etc.

PROP. XIX. THÉOR.

(833) La surface d’un rectangle AC est égale au produit de sa base AB ou DC par sa hauteur AD ou BC, ou ce qui revient au même, à celui de deux quelconques de 568 côtés adjacents (180); pourvu que l’on entende par ce produit celui de deux nombres, dont l’un est le nombre d’unités linéaires AE dans la base du rectangle, et l’autre le nombre d'unités linéaires égales AG dans la hautevr de ce rectangle.

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En effet, ce produit dornera le nombre d'unités superficielles AH . (24) dans la surface du rectangle ; parce que, pour une unité AG en hauteur, il y aura autant d'unités superficielles AH, qu'il y a d'unités linéaires AE dans la base; pour deux unités en hauteur, deux fois autant; pour trois unités en hauteur, trois fois autant, et ainsi de suite; donc, etc.

(334) Sco. L. Cette mesure du rectangle n’est absolue qu’autant que l’on suppose à l’unité de mesure AH ou à sa racine AE (40) une certaine valeur définie, comme celle d'un mètre, pied, pouse ou ligne, etc.

En effet, si AE—AG=—I mètre, pied, pouce, ligne, etc. en longueur; AH sera un mètre, pied, pouce, ligne, etc., carré ou superficiel ; et le produit de AB par AD donnera évidemment le nombre de mètres, pieds, pouces, lignes, etc. superficiels, contenus dans le rectangle AC ; c.-à-d., la superficie ou surface de ce rectangle,

(835) Sco. £. Si l’on ne suppose pas à l’unité de mesure une valeur définie, le produit de la multiplication ne signifiera rien par lui-même; puisque, prenant suces- * sivement une unité de mesure plus petite ou plus grande que la première, on aurait un produit plus grand ou plus petit que le premier produit; car une plus petite unité AF serait contenue en AB et AD un plus grand nombre de fois, donnant pour résultat un produit numérique plus grand ; tandis qu’une plus grande unité de mesure serait contenue en AB et AD un pius petit nombre de fois, et donnerait pour résultat un produit numérique plus petit.

(8336) Sco. 8. Cependant si V R cette mesure du rectangle n’est pas absolue, elle pourra être relative, eu égard à un autre rectangle PR composé d'unités de mesure PS égales à celles du premier.

Si par exemple, il y a dans la base AB du premier rectangle 5 unités AE et dans sa hauteur 8, et dans la base PT du second rectangle 6 unités PQ égales à celles AE du premier rectangle, et dans sa hauteur 4; il est clair que Tes surfaces de ces deux rectangles seront l’une à l’autre comme 5x8 à 6X4 ou comme 15 à 24, puisque l’un de ces rectangles contiendra 15 unités superficielles quelconques AH— AE°, et l’autre 24 unités superficielles PS égales à AÏT, ces unités étant des carrés égaux.

(837) Cor. 1. Donc, encore de cette manière, les surfaces de deux rectangles sont entre elles comme les produits respectifs des bases et hauteurs de ces rectangles ; c.-à-d., AC:PR::(AB.AD):(PT.PV).

(338) Sco. 4. Cette dernière conclusion est vraie, que les côtés des rectangles ou leurs bases et hauteurs soient ou non commensurables (48); car, comme nous l’avons vu (47 à 51), nous pouvons, en prenant une unité de mesure de plus en plus petite, approcher tellement de cette commensurabilité, c.-à-d., du rapport entre les côtés des rectangles, que l'erreur entre le vrai rapport et le rapport approximatif soit plus petite que la moindre quantité assignable.

Et d’ailleurs, quelle que soit la longueur relative de chacun des côtés de ces rectangles, leurs surfaces dépendent évidemment d’une manière directe de ces longueurs ; et que l’on puisse ou non exprimer chacune de ces longueurs en nombres finis, celà n'empêche pas que ces surfaces soient entre elles comme les produits de ces longueurs ou des

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nombres qui les représentent, comme on vient de le démontrer dans la dernière prop.

(839) Sco. 5. Puisque la surface dan D C rectangle quelconque AC ne dépend que de la longueur des deux côtés adjacents qui le comprennent ; il suffira pour l'ex- à primer de dire le rectangle AB.AD ou AD.DC, mettant un point (80) entre les deux côtés pour en indiquer le produit; car (214) ce produit est égal à la surface en question.

(340) Soo. 6. De même, s’il s’agissait du rectangle que l’on pourrait faire avec les parties AD, AB de la ligne D droite ou brisée DAB ; l’on dirait en- ann

quer le produit de ces deux lignes.

(841) Cor. 2. Nous venons de voir D C que la surface d’un rectangle DK est égale au produit de sa base EF par sa hauteur DE; maïs (328) un pa- E D + rallélogr. quelconque DB est égal en surface à un rectangle DF de même hauteur DE et de même base DC ou EF"; d’où il suit que la surface d’un parallélogramme quelconque ABCD est égale au produit de sa base AB par sa hauteur DE.

(342) Cor. 3. Les parallélogrammes de même base sont entre eux comme leurs hauteurs ; et réciproquement, ceux de même hauteur sont entre eux comme leurs bases; car dans ces deux cas, un des éléments ou facteurs restant constant, les surfaces respectives des figures, ne peuvent dépendre que de l'élément ou facteur variable.

(348) Cor. 4 En général, les parallélogrammes quelconques sont entre eux comme les produits de leurs bases et de leurs hauteurs.