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PROP. XXV. THÉOR.

(382) Si l’on divise une ligne AB en deux parties quelconques ; le carré de l’une AC des parties plus quatre fois le rectangle AB.BC de la ligne entière et de l’autre partie BC, est équivalent au carré de la ligne AD composée de la ligne donnée et de la seconde partie BC. En d’autres termes l’on aura 4AB.BC-+ AC°—AD*,.

Puisque par hyp. AD—AB+BC, il A C B D est clair que BD—BC. Soit AF le carré sur AD. Faites DN—NO—DB M —BC, menez les parallèles NM, OI, I BL, CH. Il est clair d’après ce qui a été dit aux paragraphes (359) et (861) que CK, GR, KO et BN sont tous des SF carrés égaux, que AG, MP, PL, RF H LF sont tous des rectangles égaux, et que IH est égal au carré sur AC. Maintenant, aux rectangles égaux AG, MP, etc. ajoutant les carrés égaux CK, GR, etc., on a (76 Ax.) les rectangles AK, MR, KF égaux entre eux et PL+BN—AK. Qr, ces quatre quantités augmentées du carré IH complètent le carré AF, et parce que chacun des rectangles AK, etc., =AB.BK=—AB.BC, on a 4AB.BC+AC*=AD”; done. etc.

(883) Cor. De là, comme AD est la somme et AC la différence des lignes AB, BC; le carré de la différence entre deux. lignes, plus quatre fois le rectangle contenu par ces lignes, est équivalent au carré de la somme des deux lignes.

(884) Sco. Soit AB—a, AC—=c, CB:=b ; alors AD—c +24, Maintenant, puisque a«—b+c, multipliant de part et d’autre par 4b, l’on aura 4ab=4b" + 4bc; et ajoutant c” à chaque côté de l'équitation, l’on aura 4ab+c=c"+4be+40?, ou 4ab+c°

(385 AC, CI des ca du cari

de la 2AC°+ Soit sa diag MN=—C NL, CG où DH, nale, mi Il est cl:

aux pare ZT, QS, égaux |’ que SF.

les rect:

l’autre.

Il est que ASdonc, 2, OR, AC ces quati SF, la Y SF=—AQ du carré autre pai devient « second n AS, SF « conséque

PROP. XXVI. THÉOR.

(885) Si l’on divise une ligne AB en deux parties égales AC, CB et en deux parties inégales AD, DB; la somme des carrés AD”, DB* des deux parties inégales, est double du carré AC? de la moitié de la ligne AB et du carré CD? de la ligne entre les points de section ; ou AD°+DB’— 2 AC°+2CD*.

Soit AF le carré sur AB et EB sa diagonale. Faites AM—AC, MN=—CD, menez les parallèles MK, NL, CG, DH et par les points V, P, où DH, NL rencontrent la diago- M nale, menez les parallèles VZ, PO.

Il est clair d’après ce qui a été dit N aux paragraphes (359) et (361) que E ZT, QS, OR sont tous des carrés égaux l'un à l’autre et au carré sur CD. IL est clair aussi que SF est égal au carré sur DB, AS le carré sur AD, et que les rectangles CV, MP, RH, TL sont tous égaux l’un à l’autre.

Il est donc à démontrer que AD°--DB°-—2A0°+20D° ou que AS+SF—2AQ+2Q8$. Parce que CB=AC, QF—AQ; donc, 2AQ+2QS—AQ+QF+2Q$, et parce que Q8S=—ZT— OR, AQ+QF+2QS—AQ+QF+ZT+OR. Si maintenant ces quatre dernières figures complétaient les carrés AS et SF, la yérité du théor. serait évidente et l’on aurait AS+ SF—AQ+QF+ZT+O0R. Concevons TL, qui fait partie du carré QF, superposée à son égale CV, et RH, qui est une autre partie du carré QF, superposée à son égale MP ; et il devient clair enfin que les parties AQ, QF, ZT et OR du second membre de l'équation recouvrent exactement celles AS, SF du premier membre de l'équation et leurs sont par conséquent (85. Ax.) équivalentes; donc, etc.

# à pl