DER RAS

côtés adjacents égale à une ligne donnée ; pourvu toujours (872) que la surface du carré donné ne soit pas plus grande que celle du carré de la moitié de la ligne donnée; il n’y a qu’à bissecter (244) ja ligne donnée en C, et faire (309) CD égal au côté d'un carré équivalent à la différence entre le carré sur CB et le carré donné. Le point D divisera la ligne AB de la manière voulue ; c.-à-d. AD.DB sera égal au carré donné.

(874) Autrement; pour mieux faire saisir la solution du prob. ou pour la rendre plus ostensible et de plus facile application aux divers À cas qui peuvent se présenter ; soit AB la ligne donnée, bissectée en C et inégalement divisée en D. Soit aussi M le carré fait sur AC moitié de la ligne, et P le carré fait sur

- CD, ligne entre les points de section, et par conséquent (866)

égal au carré de la demi-différence des parties inégales AD, DB ; soit enfin R le rectangle requis et NN le carré auquel ce rectangle doit être équivalent en surface.

Par la prop. (369) AD. DB+CD°=—CB°? ou AC°; mais par hyp. AD.DB=AD.DE=R, CD*=P et AC°=M ; donc aussi R+P=M, et parce que R est équivalent à N on a aussi N+P=M, ou M—N=—P ; et CD est le côté du carré P,

c.-à-à. le côté d’un carré égal à la différence entre le carré”

donné N et le carré M sur la moitié de la ligne; d’où il suit clairement qu’étant donné AD+DE, somme des côtés d’un rectangle, et R, surface de ce rectangle égal au carré N ; il faut, pour trouver AD et DE séparément, prendre AB— AD+DE, bissecter AB en C, sur AC décrire le carré M, trouver (308) CD égal au côté d’un carré P équivalent à la différence entre les carrés M et N, c.-à-d. (866) :gal à la demi-différence entre is parties AD, DB ou entre les côtés AD, DE du rectangle requis; et enfin, (867) à AC demi-

rvu toupas plus donnée ; , et faire ifférence ) divisera sera égal

ussi M le é fait sur uent (366) rales AD, auquel ce

mais par onc aussi a aussi carré P, le carré” où il suit Ôtés d’un ré N ; il re AB=—

carré M, lent à la 3gal à la les côtés C demi-

somme des côtés adjacents du rectangle ajouter CD pour avoir le plus grand côté AD, et de AC ou de son égal CB soustraire CD pour avoir le plus petit côté DB—DE.

(375) Sco. 3. PROB. S'il s'agissait de faire un rectangle AE égal en surface à un carré donné N et ayant la différence entre ses côtés adjacents égale à une ligne donnée CD; il est clair d’après ce qui précède qu'il faudrait trouver (806) AC égal au côté d'un carré M équivalent à la somme du carré donné N et de celui P de la moitié de la différence donnée ; puis, comme dans le dernier cas, trouver AD—AC+CD et DE—AC—CD.

(376) Sco. 4. PROB. Il suit aussi que pour faire un carré N équivalent à une figure rectiligne donnée ; il faut d’abord faire (293) un rectangle AE équivalent à la fig. rect. donnée; prolonger ensuite l’un AD des côtés de ce rectangle d’une quantité DB égale à l’autre côté DE, bissec-

ter AB en C, et faire (809) le côté du carré requis N égal à

celui d’un carré équivalent à la différence entre les carrés M et P.

(377) REM. Si dans les trois derniers problêmes les données étaient numériques; on arriverait facilement aux solutions numériques, en se rappelant ce qui a été dit aux paragraphes (24) et (333).

En effet, N ou R serait alors représenté par le nombre d'unités de mesure dans le rectangle en question et provenant de la multiplication de ses côtés adjacents AD, DE ; M serait le carré du nombre d'unités de mesure dans AC, et P celui du nombre d'unités de mesure dans CD.

Cela posé, si les données étaient comme dans le premier cas (873) ; savoir : AB, et R=N pour trouver AD et DB ou AD et DE; l’on obtiendrait ces inconnus en faisant AD—

AC+0D=A0-+yAC>—AD.DE=AC+y/ MR, et DB où DE—AB-AD—A0-1/M-R.

Dans le second cas (375) où les données étaient CD etR,

on trouverait AD=CD+yCD°+R—0+Dy PR, et DE— AB—AD—yP+R—OD.

Dans le troisième cas (376) où il s’agit de faire un carré N équivalent en surface à une figure rectiligne donnée, il est clair que l'opération arithmétique se réduit à extraire la racine carrée du nombre d'unités de mesure dans la fig. rect. donnée pour avoir la longueur du côté du carré demandé.

PROP. XXIV. THÉOR.

(878) Si AC=—CD, AD sera une ligne. bissectée en C et L

prolongée jusqu’en B. Alors, LS L

la construction étant sous d’au-

tres rapports analogue à celle

de la fig. du dernier théor.

(869), LG sera le carré sur la E GF la moitié de ligne AD, et CF le carré sur la ligne CB composée de la moitié CD de la ligne donnée et de la partie p »longée BD, et comme AC—CD=NF, AL sera=HF ; ce qui donnera le gnomon CNG—AN=AB.DB; donc:

Si une ligne AD est divisée en deux parties égales AC, CD et prolongée d’une quantité quelconque DB ; le rectangle AN contenu par la ligne entière AB ainsi prolongée et la partie prolongée DB, plus le carré LG de la moitié de la ligne AD ; est équivalent au carré CF de la ligne CB composée de la moitié de la ligne donnée et de la partie prolongée ; ou AB.DB+CD°—CB°.

(379) Sco. L. Soit AD—2a, et DB=—b; alors AB—2a—0 et CB=—a+6. Maintenant par multiplication b (2a-+b)— 2ab+b* ; ajoutant & de part et d'autre, on aura b (2a+b) + a =a2+2ab+02 ; donc b (2a+d)+ a =(a + b) ?

(380) prolongé rectang partie p a qu’à b égal au!

LG de la

AB end le rectai l’une HI au carr diviser A —=AH°

Soit À en E, joig faites le < BD. Le requise.

En effe gée jusqu EB*, puis rectangle AE°=AI reste CF.

Mainte FG=AF; AB° ou A retrancha HD. Eni

(880) Sco. 2. PROB. Il suit du dernier cor. que pour prolonger une ligne AD d’une quantité DB telle, que le rectangle AB.DB de la ligne ainsi prolongée et de la partie prolongée soit équivalent à un carré donné ; il n’y a qu’à bissecter en C la ligne donnée AD, et faire (306) CB égal au côté d’un carré CF équivalent à la somme du carré LG de la moitié de la ligne et du carré donné.

(881) Sco. 3. PROB. Diviser une ligne F G AB en deux parties AH, HB telles que le rectangle de la ligne entière AB et de l’une HB de ses parties soit équivalent À H B au carré de l’autre partie AH; c.-à-d., diviser AB en H de manière que AB.BH E —AH

Soit AD le carré eur AB ; bissectez AC en E, joignez EB, faites EF—EB, sur AF © K D faites le carré FIL et par le point H menez HK parallèle à BD. Le point IX partagera la ligne donnée de la manière requise.

En effet AC est une ligne droite bissectée en E et prolongée jusqu’en F, et par cette prop. on a CF.FA+AE*—EF"— EB*, puisque EF—EB par constr. Mais à cause du triangle rectangle BAE, l'on a EB*—AB*+AE*; done CF.FA+ AE*=AB*+AE"; retranchant AE° de part et d'autre, il reste CF.FA—AB?. |

Maintenant, parce que FH est par constr. un carré, on a FG=AF"; donc, FK—CF.FA et CF.FA vient d’être prouvé— AB* ou AD ; donc, FK—AD, et des quantités égales FK, AD retranchant la quantité commune AK, il reste (77 Ax.\ FH— HD. Enfin, parce que HK est par constr. parallèle a BD, HD=—BD.BH=AB.BH ; donc, AB.BH—AH*; done, etc.

ml { RE!