ERA ER PRE ES
égales les restes seront égaux; donc, DAF—-DAE=DEF— DEA ; donc, FAE=—FEA et le triangle EFA est isocèle et a ses côtés EF, AF égaux.
Dans le triangle BEF on a l’angle BEF droit par constr. et celui EBF égal à la moitié d’un angle droit; donc aussi l'angle EFB est égal à la moitié d’un angle droit; puisque la somme des trois angles d’un triangle quelconque vaut deux angles droits; donc, BEF est un triangle isocèle et donne EF—BE. Mais EF a été prouvé =AF, donc, aussi 4 (68 Ax.) BE=—AF. e
Sur FB diagonale du carré HE portez FO=BE, ce qui * donne AO—2BK. Le reste BE de la diagonale BD ou la :
tt ef 2 nm Pas
différence entre cette diagonale et le côté AB du carré est k donc contenu deux fois dans ce côté avec un reste OB. x
Sur le reste OB faisant un nouveau carré OK, l’on aurait à encore ce reste OB contenu deux fois dans le côté HB du à
second carré, avec.un second reste, et l’on pourrait continuer indéfiniment cette subdivisicn, trouvant à chaque pas un nouveau reste, et par conséquent sans pouvoir jamais arriver au rapport exact entre les quantités données ; donc, etc.
PROP. XXXIII. THÉOR.
(899) Dans le même cercle ou dans les cercle: égaux, les angles égaux au centre (199) ACOB, ACD sont sous-tendus par des arcs égaux BA, DA; et réciproquement les arcs égaux sous-tendent des angles égaux au centre.
Si le demi-cercle AFE tourne autour d11 diamètre AE de manière à se reposer sur le demi-cercle AKE, la ligne courbe EFBA tombera exactement sur celle EKDA, comme on l’a
=DEF— socèle et
r constr.
nc aussi puisque que vaut socèle et )nC, aussi }, ce qui 3D ou la carré est OB.
on aurait , HB du continuer e pas un is arriver , etc.
5 égaux, CD sont biproquegaux au
re AE de ne courbe me on l’a
vu (188). Maintenant, parce que l'angle ACB=ACD par byp., la ligne CB tombera sur celle D K
CD et le point B sur le point D, à cause de BC=DC, rayons d'un même cercle. Donc l'arc AB tombera sur l’arc AD et lui sera égal.
(400) Réciproquement, si l’arc AB=AD, l'angle au centre ACB appuyé sur l'arc AB sera égal à B F] celui ACD appuyé sur l'arc AD ; car, en appliquant comme auparavant le demui-cercle AF'E sur celui AKE, l'arc AB tombera sur son égal AD et le point B sur le point D, et à cause du point C commun, le rayon BC tombera sur DC et l'angle ACB sur l'angle ACD ; donc, les arcs égaux AB, AD sous-tendent des augles égaux au centre ACB, ACD; done, etc.
(401) Cor. 1. Le diamètre partage le cercle et sa circonférence en deux partios égales; conclusion, d'ailleurs, que l'on a déjà tirée (188) de la déf. même d’un cercle. Réciproquement, la ligne qui partage le cercle en deux parties égales est un diamètre.
(402) 8co. L Un arc de cercle dont la corde est un d'amètre, est une demi-circonférence, et le segment inclus est un demi-cercle.
(408) Cor. 2. La corde AB est égale à celle AD, à cause du point B tombant sur le point D et du point À commun; donc, les arcs égaux sont sous-tendus par des cordes égales et réciproquement les cordes égales sous-tendent des aros égaux.
(404) Cor. 8. Donc, les angles égaux au centre sont sous-tendus par des cordes égales; et réciproquement les cordes égales sous-tendent des angles égaux au centre.
(405) Oor. 4. La ligne AO qui bisseote l'angle BOD
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au centre d’un cercle, bissecte aussi l'arc BAD et la corde BD sous-tendus par cet angle.
L'arc BD est bissecté en A, puisque par hyp. l’angle ACB—ACD— BCD et que par cette prop. les angles égaux au centre sont*soustendus par des arcs égaux. La corde À BD est bissectée en L; cur.le point B tombe sur le point D, et le point L est commun ; donc BL—DL—;BD. B
(406) Cor. 5. Parce que BD est une ligne droite et que
BL tombant (par superposition) sur DL fait les angles de suite BLOC, DLC égaux ; il s’en suit que les angles en L sont droits (182) et que la ligne AC qui bissecte l’angle BCD au centre d’un cercle, est perpendic’ilaire à la corde BD sous-tendue par cet angle; et réciproquement, une ligne perpendiculaire au milieu d’une corde, bissecte l’angle au centre et l’arc sous-tendue par cette corde, et eile passe par le centre, puisqu'elle bissecte l’angle qui a son sommet au centre; car dans ce cas cette/perpendiculaire est la même que la bissectrice de l'angle, les deux: étant perpendiculaires à.la corde: et ue qu le; centre de ‘cette corde. :,:,::: :
(407) Soco. 2. Le centre C du perse le ‘point milieu L de la cordeet le point milieu À de l’arc sous-tendu par cette. corde, sont trois points situés sur la même ligne droite perpendiculaire à la corde ; mais deux points suflisent (109), pour déterminer la position d’une ligne droite ; .de là, toute ligne droite passant par deux des points susdits passera aussi par le troisième point et sera perpendiculaire à la corde.
(408). Cor..6.. Si. une ligne AC menée pas le. centre. C d’un cercle, bissecte une corde BD ou une ligne dans le cercle qui ne passe pas par. le centre ; elle coupera cette
et la
et que
gles de , L sont le BCD rdée BD ne ligne l'angle et éile ii a son laire est ant perde‘cette
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entre © dans le era cette
ligne à angles droits ; et si elle la coupe à angles droits, elle la bissectera.
Parce que, par hyp. AC bissecte BD, l’on aura BL=DL. Mais BC—DOC, rayons d'un même c.rcle, et LO'ést commun aux deux triangles LCB, LCD. Ces deux triangles ayant tous leurs côtés égaux, sont donc (239) égaux en toutes choses; donc, l'angle BLO=DIC; et parce que BD'est une ligne droite, ces deux’angles seront (182) droits ét AC par conséquent perpendiculaire à BD.
D'ailleurs, la ligne AC passant par deux C, L des trois points mentionnés dans la dernière sco. sera aussi pour cette raison perpendiculaire à la corde.
(409) Réciproquement, si AC est perpendiculaire à à \ BD, elle bissectera BD; car, comme auparavant, les triangles LCB, LOD donnent BC—DC et LC commun; de plus, les angles en L étant, par hyp. droits, les deux triangles LOB, LCD sont (811) rectangl:« et identiques ; donc BL=DL.
(410) Cor. 7. La perp :adiculaire AE menée par le milieu L d’une corde et terminée de part et. d'autre à la circonférence, est un diamètre, et le centre de ce diamètre est le centre du cercle.
(411) Sco. 3. PROB. Donc, pour trouver le centre d'un cercle donné ; il suffit. de mener dans :le cercle. une. corde quelconque BD, au centre de laquelle on élèvera.une perpendiculaire. À E dont le.point milieu C.serale centre cherché.
(412) Sco. 4. Si dans un cercle urie ligne en: bissecte une autre à angles droits, le centré du cercle 86 } théûre dans la ligne qui bissecte l’autre. : )
(413) Sco. 5. PROB. Il suit aussi déicette” prop; Da VE donné un segment de cercle! DAB :poùr ‘décrire lé cérole dont ce segment fait partie; iln'y a qu'a-prendre‘sur la circonférence du segment donné un point -quelconque:A:; de ce point mener des cordes. aux extrémités, ou à deux autres points quelconques B, D de la circonférénce du segment donné ; et aux centres H, N de ces cordes, élever des
perpendiculaires HC, NC qui passant chacune (406) par le centre du cercle, détermineront ce centre à l'endroit de leur ‘ntersection.
(414) 8Sco. 6. PROB. Il est évident que la dernière sco. fournit aussi le moyen de trouver le voint qui a servi de centre à un arc de cercle quelconque; puisque la partie de circonférence qui renferme le segment n’est autre chose qu'un arc de cercle.
(415) Sco. 7. PROB. Il suit de la prop. que pour bissecter un arc donné DAB ou DEB ; il n’y a qu’à joindre par une corde BD les extrémités de l'arc donné, et du centre L de cette corde, élever une perpendiculaire LA ou LE qui bissectera l’arc, tel que requis.
En eftet, la perpendiculaire LA fait évidemment partie de celle CA qui, étant menée par le contre C du cercle dont l'arc donné fait partie, bissecterr‘t (405) cet arc; et la perpendiculaire LE au centre de BD passe aussi par le centre O et bissecte l’arc DEB.
(416) Sc0. 8. PROB. Par la même construction, chacune des moîtiés AD, AB ou BE, DE pourrait se diviser en deux parties égales; donc, par des subdivisions suecersives, on peut diviser un arc de cercle quelconque en 2, 4, 8, 16, 82, eto., parties égales.
(437) 800:9. PROB, Par trois points donnés quelconques A, B, C, pourvu que ces points ne soient pas dans la même ligne droite, on peut faire passer une circonférence de cerole et seulement une.
Si l’on suppose que la circonférence soit décrite, il est clair que
ar le leur
ABC sera un arc de cercle quelconque dont le centre F se trouve (413) à la rencontre des perpendicnlaires EF, DF aux centres E, D des cordes AB, BC qui joignent les points donnés; donc, réciproquement, le point F de rencontre des deux perpendiculaires menées du centre des cordes qui relient les points donnés, sera le centre du cercle qui passera par ces points.
(418) De plus, comme le centre est en F, intersection des perpendiculaires, et (227) qu'il ne peut y avoir qu’une intersection et par conséquent qu’un seul centre; il est clair que par trois points donnés l’on ne peut fhire passer qu'une seule circonférence de cercle.
(419) Cor. 8. On tire de la dernière sco. comme du par. (228) que deux cercles ne peuvent se couper en plus de deux points; car si c'était possible, l’on pourrait décrire deux circonférences passant par les trois mêmes points, ce qui par le dernier par. est impossible.
(420) Sco. 10. PROB. Lss trois points ABC pouvant être considérés comme les trois sommets ou angles d’un triangle quelconque, dont les cordes AB, BC sont deux quelconques des côtés; il est clair que pour décrire un cercle autour d’un triangle donné, c-à-d., circonsorire (195) un cercle à un triangle donné ABO ; il n’y a qu’à élever aux points milieux de deux quelconques des côtés du triangle, des perpendiculaires qui détermmineront, à l'endroit de leur intersection, le centre du cercle requis.
(421) Cor. 9. Il suit de la dernière sco. que les trois perpendiculaires qui bissectent les côtés d’un triangle quelconque se rencontrent où s’intersectent en un même point, centre du cercle circonsorit.
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(422) Sco. 11. PROB. Il est évident aussi par la prop. que pour décrire un arc de cercle de base et hauteur données AB, DC;il n’y a qu'à joindre AC, ZC, et aux points milieux E, F de ces cordes, lever les perpendiculaires EG, FG se rencontrant en G, le centre requis.
PROP. XXXIV. THÉOR.
(428) Dans le même cercle ou dans les cercles égaux, les angles au centre ACB, ACD sont proportionnels aux arcs AB, AD qui les sous-tendent.
En' effet, puisque par le dernier théor. (899) les angles égaux au centre sous-tendent des arcs égaux, et réciproquement ; si l’on conçoit l'angle ACB divisé en un nombre quelconque de parties égales ACE, ECF, etc., l'arc AB sera aussi divisé er un même nombre de par- B ties égales, AE, EF, cte. Maintenant, si l'angle ACD contient trois angles partiels, chacun égal à l'angle ACE et que l'angle AOB en contienne 5 ; il est clair aussi que l'arc AD contiendra trois arcs partiels AG égaux à AE et: que:l’arc AB contiendra 5 de ces mêmes arcs partiels. Donc, si les angles ACD, ACB sont, comme on vient de le supposer, dans le rapport de 8 à 6, les arcs AD, AB seront aussi l’un à l’autre dans le même rapport.
(424) En second lieu, si l’on suppose que les angles ACB, ACD soient incommensurables (50), il est à démontrer que l’on aura encore l'angle ACD à l'angle ACB comme l'arc AD à l’arc AB.
es ÉSaUX, nels aux
ACD con- E et que l'arc AD qüe l'arc
nc, si les supposer, aussi l’un
es angles à démonple ACB
Si l’unité de mesure ACE est contenue un nombre exact de fois en ACB mais non en ACD, il y aura un reste HCD qui sera À l'unité ACE dans un rapport quelconque. Si le reste HCD était égal à la moitié de ACE, il est clair que l'on aurait (493) l'arc HD égal à la moitié de AE. De même ai le reste HCD est le tiers, le quart, le cinquième ou aucune autre fraction ou partie de l'unité de mesure ACE ; que cette fraction puisse ou non s'exprimer en nombres finis; il ‘est clair que l’arc HD qui lui correspond, sera la même fraction ou partie de l'arc AE, que l’augle partiel HCD de l’angle ACE.
On aura donc l’angle HOD à l’angle ACE comme l'are HD à l'arc AE; mais HCD, ACE sont deux angles quelconques; donc aussi, ACB, ACD qui sont deux angles quelconques, sont entre eux comme les arcs AB, AD qui les sous-tendent ; donc, l'ouverture ou la grandeur d’un angle dépend directement ou est en raison directe de la grandeur de l'arc qui le sous-tend; et réciproquement, la grandeur d’un arc est en raison directe de l'ouverture de l'angle au centre appuyé sur cet arc.
(425) Sco. L. Puisque l'angle au centre d’un -cercle et l'arc compris entre ses côtés sont l’un à l’autre duns un rapport si direct, que Ja diminution ou augmentation de l’un dans un rapport quelconque, est nécessairement accompagnée d’une diminution ou augmentation de l’autre dans le même rapport; on est autorisé à établir une de ces grandeurs commo mesure de l’autre, et l’on regardera dans la suite l’arc AB comme la m-sure de l’angle ACB qui le sous-tend.
2° Il est seulement nécessaire que dans la comparaison des angles l’un avec l’autre, les arcs qui servent à les mesurer soient décrits avec des rayons égaux; ce
qui, d’ailleurs, est posé comme condition dans les énoncés de cette prop. et de la dernière.
(426) Sco. 2. L'unité de mesure ACE de l'angle ACB
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