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F d'un arc KEL ou KFL: est situé sur la même ligne droite EF perpendiculaire à la corde KL et passant par le centre R du cercle. Le point E sera donc aussi le centre de l'arc GEH. Donc, l'arc GE—HE et l’are KE—LE, et de même, l'arc KOF=—LNF. Maintenant, ajoutant et retranchant les quantités égales GE, HE et KF, LF, on obtient KE—GE— LE-—HE ; c-à-d., KG=LH; et KE+KF—LE+LF ; cà-d. l'arc EKF—l'arc ELF.

D'ailleurs, quant aux arcs EKF, 4 E B ELF, ils sont encore égaux parce que (401) EF qui est un diamètre partage le cercle et la circonférence en deux parties égales.

(478) Réciproquement, si les arcs EKF, ELF sont égaux, les lignes AB, CD seront parallèles, C— F ” D parce que EF sera dans ce cas un \, ‘ diamètre et que (471) les lignes V qui touchent le cercle aux extré- P mités E, F d’un diamètre soni parallèles.

(479) S’il s’agit des arcs égaux KE, LE, on aura AB parallèle à KL; car par hyp. EF est perpendiculaire à la corde KL, et elle est en même temps perpendiculaire à la tangente AB menée par le point de contact E; or, (150) deux lignes perpendiculaires à une même ligne sont parallèles entre elles.

(480) S'il s’agit enfin des arcs égaux, KG, LH, on aura encore GH parallèle à KL; car EF étant par hyp. perpendiculaire à KL, le point milieu de l’arc KEL se trouve (407) en E; donc l’arc KE=—LE, et à cause de KG=LH par hyp., on à KE—KG=LE-—LH ou GE=HE. Ayant de cette manière prouvé que GE=HE, l’on prouverait comme dans le dernier cas GH parallèle à AB; mais si les arcs KE, LE sont égaux, comme on vient de le voir, on a KL parallèle à AB, par le dernier par., et deux lignes parallèles à une troisième sont parallèles entre elles ; donc, etc.

ne droite le centre e de l'arc

de même, nchant les KE—GE=— JF; cà-d.,

aura AB ilaire à la laire à la or, (150) ont paral-

H, on aura p. perpenouve (407) par hyp., t de cette mme dans s KE, LE parallèle à èles à une

(481) Autrement, et sans faire entrer en compte la ligne AB, on prouverait d'abord que KE=LE et que GE— HE. Celà posé, l’on a vu (407) que la ligne EF qui passe par le centre R du cercle et le point milieu E de l’arc, passe aussi par le railieu I, $ de la corde qui sous-tend cet arc et est perpendiculaire à cette corde. Donc, EF est perpendiculaire à chacune des deux cordes KL, GH; c’est-à-dire que ces cordes ou lignes sont parallèles l’uns à l’autre.

(482) Autrement encore et même sans l’aide de la perpendiculaire EF. Si GH, KL sont parallèles, l’angle GHK est (153) égal à son alterne LKH; or, (449) dans le même cercle les angles égaux à la circouférence sont soustendus par des ares égaux; donc, GK=—HL; et réciproquement, si GK—HL, les angles GHK, LRKH à la circonférence et appuyés sur des arcs égaux sont égaux; donc, GH est parallèle à KL.

(483) La restriction que les deux lignes ne se coupent point est nécessaire, puisque HK, GL sans être parallèles interceptent néanmoins des arcs égaux GK, HL; ainsi que celles KP, LP qui interceptent les arc égaux KO, LN. de l’are EC compris entre ses côtés, et que par cette prop.

formé par deux sécantes AB, AC, a pour mesure la moitié de la différence des arcs FD, BC comprisentre ses

(485) Cor. 2. L'angle EHG ou FHD formé par deux cordes qui s'intersectent dans un cercle (avpelé excentri-

(484) Cor. 1. Puisque (442) l'arc FD=—BE quand FB, DE & côtés; car, DE étant parallèle à AB, donne l'angle EDC

un angle EDC à la circonférence a pour mesure la moitié

sont parallèles; il suit qu’un C angle À ou BAC qu'on appelle circonscrit, c’est-à-dire, égal à son correspondent BAC ; l'angle BAC a donc pour mesure la moîtié de l’arc EC : mais EC—BO-—BE—BC—FD.