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OKG en entre B la ligne

ner d’un ire BO; nde aue on égale L est évi-

dent que tout point F autre que O est hors du cercle, et par hyp. la ligne BO est menée au point O où la ligne touche le cercle ; donc, etc.

(467) Cor. 1. Donc, une tangente PR ne touche le

cercle qu’en un seul point O.

(468) Cor. 2. Donc, une ligne droite PKR perpendiculaire à l'extrémité O d’un rayon BO est tangente à la circonférence, et une ligne BO menée du centre B pendiculairement à la tangente passe par le point de contact O.

(469) Cor. 3. En un point donné O, l’on ne peut mener qu’une seule ligne PR tangente à la circonférence.

Car si l’on pouvait en mener une autre HY, il est clair (128) qu’elle ne serait pas perpe: liculaire au rayon BO; donc, le rayon BO serait pour la nouvelle tangente une ligne oblique, et la perpendiculaire BV menée du centre sur cette tangente serait plus courte que le rayon BO; cette tangente supposée entrerait donc dans le cercle et par là même ne serait plus une tangente, mais une sécante.

(470) Cor. 4. La iigne PR menée perpendiculaire à l'extrémité O d’un rayon BO ou d’un diamètre, tombe en dehors du cercle, et l’on ne peut mener entre cette ligne et la circonférence aucune autre ligne sans qu’elle coupe le cercle.

(471) Cor. 5. Les tangentes à chaque extrémité d’un diamètre sont parallèles ; et réciproquement, les tangentes parallèles sont coutes deux perpendiculaires au même diamètre et ont leurs points de contact à ses extrémités.

(472) Cor. 6. Un cercle n’en peut toucher un autre qu'en un seul point, soit intérieurement, soit extérieurement.

Si le rayon AO du cercle int. OLN forme partie du rayon BO du cerele OKG, et si le rayon OC du cercle ext. OST est sur le prolongement de BO, il est évident que les trois cercles et la tengente PR auront un point O coumun et seulement un; car, à cause de AD=A9, rayons d’un même cercle, on aura BA+AD:-BA+AO=BO ; mais parce qu’un côté d’un triangle est plus petit que la somme des deux autres côtés, l’on a BD<BA+-AD, c-à-d.,, BD<BO ; or BE=BO, rayons du cercle OKG ; donc aussi, BD est plus petit que BE ; donc, tout point E d’un des cercles OKG est en dehors de l’autre cercle OLN qui lui est intérieur.

Il est évident que les deux cercles exts. OST, OLN ou OST, OKG ne se touchent qu’en un seul point ; puisqu'ils n’ont chacun qu’un seul point O commun avec la tangente PR, et par conséquent qu'un seul point commun entre eux.

(473) Cor. 7. Si une ligne PR touche un cercle OKG et que du point de contact O, l’on mène une ligne OB perpendiculaire à la tangente, le centre du cercle sera sur cette perpendiculaire,

(474) Cor. 8. Si deux cercles OLN, OKG se touchent intérieurement, ils ne peuvent avoir le même centre, puisqu'il faudrait pour cela que BE fût en même temps égal à BO et à BD, ce qui est absurde.

(475) Cor. 9. Si deux cercles se touchent, soit intérieurement, soit extérieurement, la ligne BA ou BC qui joint leurs centres passera par le point de contact.

Car si O est le point de contact et si la ligne PR est tangente en O, chacune des lignes CO, BO, ou BO, AO menée du point de contact O perpendiculairement à PR passera par le centre C, B ou B, A de son cercle respectif; or les angles COR, BOR étant droits et le point O commun, la ligne BC ne sera (135) qu’une seule et même ligne droite.

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(476) Cor. 10. Si deux cercles OLN, OKG se touchent intérieurement, la distance AB entre leurs centres est égale à la différence de leurs rayons, AO, BO; et si deux cercles OST, OKG se touchent extérieurement, la distance BC entre leurs centres est égale à la somme BO+0O0C de leurs rayons; car les circonférences de ces cercles passent par l6 même point O sur la ligne qui ‘nt leurs centres.

2° Réciproquement, si la distance entre les centres de deux cercles est égale à la différence ou à la somme de leurs rayons, les deux cercles se toucheront intérieurement ou extérieurement.

PROP. XLII. THÉOR.

(477) Les arcs de cercle GK, HL; EK, EL; etc., {nterceptés par deux parallèles GH, KL; AB, KL; etc. sont respectivement égaux; et réciproquement, si déux lignes interceptent des arcs de cercle égaux, sans se couper, ces lignes seront parallèles.

Soit R le centre du cercle et EF un diamètre perpendiculaire à la corde KL. Ce diamètre sera en même temps (149) perpendiculaire à GH, à AB et à CD, puisque par hyp.

toutes ces lignes sont parallèles, et passera (471) par les points de contact E, F des tangentes AB, CD; or, nous avons vu (407) que le point milieu E ou