NT PÉMRE UL: HR

PROP. XLIII. THÉOR.

(486) L’angle ABF formé par une tangente BF ou EF et une corde AB est mesuré par la moitié de l'arc AB sous-tendu par la corde.

Par le point de contact B de la tangente, BD étant menée perpendiculaire à EF, passera (478) par le centre C du cercle et sera en conséquence un diamètre ; or, (444) l'angle DAB appuyé sur le diamètre DB est un angle droit, et parce que dans un triangle rectangle la £ somme des deux angles aigus vaut un angle droit, on aura l'angle ADB—DBF—ABD=—ABF : mais ADB est mesuré par la moitié de l’arc AB ; donc aussi, son égal ABF sera mesuré par la moitié du même arc; donc, etc.

(487) Cor. 1. Donc, l’angle ABF formé par une tangente et une corde est égal à un angle quelconque ADB, AGB, etc., dans le segment alterne ABG du cercle; et l'angle ABE—AKB dans le segment alterne ABK.

(488) Sco. L. PROB. Donc, pour mener par un point donné B une tangente EF à un cercle, ou à un arc de cercle quelconque ; l'on n’a qu’à porter du point B deux distances quelconques égales ou inégales BA, AD sur la circonférence donnée, joindre BD, DA, BA et faire l'angle ABFæADB. Si les deux distances portées sur la circon-

poeme

>) a pour pris entre aura l’antié de l'arc EG.

BF ou EF l’arc AB

it, on aura est mesuré l ABF sera

* une tanique ADB, cercle ; et K.

r un point un arc de nt B deux AD sur la ire l'angle r la circon-

pnenaemnenan

férence étaient BK, KA ; après avoir joint BA, BK, AK, on ferait l'angle KBF=KAB, ce qui donnerait comme auparavant BF tangente au cercle au point donné B.

(489) Autrement, on aurait encore (468) EF tangente au cercle au point donné B en joignant ce point au centre C du cercle et en menant ensuite EF perpendiculaire à l’extrémité B du rayon BC.

(490) Sco. 2. PROB. Donc aussi, pour couper un cercle quelconque de manière qu’un ABK de ses segments soit capable d’un angle donné ; il n’y a qu'à mener une tangente EF au cercle en un point quelconque B et au point de contact B faire un angle ABE égal à l’angle donné; le segment alterne ABK sera capable d'un angle AKB égal à l'angle donné, puisque par le premier Cor. AKB=—ABE,.

(491) Sco. 8. PROB. L'’angle dans un demi-cercle étant (444) un angle droit, et toute tangente devant être (468) perpendiculaire au rayon mené au point de contact ; il s'en suit que pour mener une tangente EF à un cercle par un point donné E hors du cercle ;

re ed B

Il faut joindre le point donné au centre du cerele, et sur la ligne de jonction EC, bissectée ea H, décrire le demi-cercle EBC qui intersectera le cercle doné en B, le point de contact cherché ; car, menant BC et EDF, l'angle CBE appuyé sur le diamètre EC est droit et par conséquent EB est perpendiculaire aux rayon BC à l’extémité de ce rayon ; donc, EF est la tangente demandée.

(492) Sco. 4. En complétant le cercle EBG, il est clair que l'on aurait de l’autre côté du diamètre EC une nouvelle intersection G, à laquelle menant EG, ou aarait une nouvelle tangente EG égale à EB; car dans les deux triangles rec-

taugles EBC, EGC, l'hypoténuse EC et le côté BC de l’un

sont égaux à ceux EC, GC de l’autre; ce qui (812) rend égaux les côtés, c-à-d., les tangentes EB, EG et les angles BEC, GEC.

(493) Cor. 2. Il suit de la dernière Sco. que les deux tangentes EB, EG menées à un cercle d’un point quelconque E hors de ce cercle sont égales.

(494) Cor. 8. Il suit encore que la ligne EC qui joint le point de rencontre E des tangentes au centre du cercle, bissecte l’angle BEG formé par les deux tangentes: et réciproquement, comme il ne peut y avoir qu’une bissectrice EC de l’angle E, il s’en suit que la ligne qui bissecte l'angle formé par deux tangentes passe par le centre du cercle.

PROP. XLIV. THÉOR.

(495) Si deux cercles se coupent en À, B, la ligne CD qui joint leurs centres sera perpendiculaire à la corde AB qui joint les points d’intersection, et bissectera cette corde.

Car la corde AB est commune aux deux cercles et les perpendiculaires GD, GC élevées au centre G de la corde passent (406) par les centres D, C des deux cercles; mais (128) par un point donné C l’on ne peut mener qu’une seule perpendiculaire GC ou GD ; c-à-d. (185) que les lignes GC, GD ne font partie que d’une seule et même

L2) rend s angles

es deux it quel-

joint le , cercle, ntes ; et > bissecbissecte ntre du

gne CD a corde ra cette

etre,

ligne droite ; donc réciproquement, la ligne CD qui joint les centres, ou CD prolongée sera perpendiculaire à la corde AB et bissectera cette corde: donc, etc.

(496) Cor. 1. De là, la ligne joignant les intersections des circonférences de deux cercles est perpendiculaire à la ligne qui joint leurs centres.

(497. Sco. 1. Si deux cercles se coupent, la distance CD entre leurs centres sera moindre que la somme de leurs rayons CA, DA et le plus grand rayon DA sera aussi moindre que la somme du plus petit rayon CA et de la distance CD entre les centres des deux cercles ; car, un côté d’un triangle étant moindre que la somme des deux autres côtés, l’on aura CD<CA+CA et pour la même raison DA<CA--CD.

(498) Sco. 2. Réciproquement, si la distance entre les centres de deux cercles est moindre que la somme de leurs rayons, le plus grand rayon étant en même temps moindre que la somme du plus petit rayon et de la distance entre les centres ; les deux cercles se couperont.

Car, pour rendre possible une intersection, il faut que le triangle CAD soit possible; ce qui exige que CD soit < AC+AD et AD<AC+CD, et chaque fois que le triangle CAD pourra être construit, il est évident que les cercles décrits des centres C et D se couperont.

(499) Cor. 2. De là, si la distance entre les centres de deux cercles est plus grande que la somme de leurs rayons, les deux cercles ne s’intersecteront pas; car les deux cercles seront alors entièrement en dehors l’un de l’autre.

(500) Cor. 3. De là, aussi, si la distance entre les centres de deux cercles est moindre que la différence de leurs rayons, les deux cercles ne se couperont pas; car AC+CD>AD ; donc, CD AD—AC ; c-à-d., (162) l’un quelconque des côtés d’un triangle excède la différence entre

les deux autres côtés. Le triangle est donc impossible lorsque la distance entre les centres des cercles est moindre que la diflérence des rayons ; et les deux cercles ne peuvent se couper, étant dans ce cas l’un entièrement en dedans de l'autre.

(501) Cor. 4. Si deux cercles se coupent, ils ne peuvent avoir le même centre, puisqu'il faudrait pour celà que DA fût en même temps égal à DE et à DF'; ce qui est absurde.

PROP. XLV. THÉOR.

(502) Si deux cordes AB, CD se coupent dans un cercle, le rectangle AË.EB des segments de l’une est égal au rectangle CE.ED des segments de l’autre.

Soit F le centre; ayant mené les rayons «aux FA, FC, etc., on aura | deux ‘: igles isocèles AFB, CFD no: dans cuacun desquels EF est une | ligne menée du sommet à la base.

Maintenant on a démontré (396) que AF*—EF*=AE.EB et CF2— EF*=CE.ED; mais parce que le rayon CF= celui AF, l’on a CF—EF=AF—EF ; d'où il suit aussi que AE.EB=CE.ED ; donc, etc.

PROP. XLVI. THÉOR.

(503) Si d’un point À hors d’un cercle, l’on mène deux sécantes quelconques AB, AC à la circonférence; le rectangle d’une des sécantes AB et de sa partie AG hors du cercle est égal au rectangle de l’autre sécante AC et sa partie AL hors du cercle.

npossible moindre peuvent edans de

ne peuour celà e qui est

dans un l’une est tre.

ène deux

rence ; le » AG hors

te AC et

Soit E le centre du cercle, et par le point E menez AF'; joignez EB, EG. Le triangle BEG est isocèle, à cause des rayons égaux EB, EG; EA étant en même temps une ligne menée du sommet E de ce triangle à sa base BG prolongée. Maintenant on a démontré (397) que EA*— EG”=AB.AG, et parce que EK —EG, l'on a aussi EA°—EK°— AB.AG; or, (370) EA°—EK*=(EA+EK)x(EA —EK}= AF.AK, puisque EF—EK ; donc, AB.AG=AF.AK. L'on prouverait de même AC.AL—AF.AK, et deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles; donc AC.AL =AB.AG ; donc, etc.

(504) Cor. L. Si la ligne AB tourne autour du point A de mauière à s'éloigner de plus en plus du centre E, il est évident que les deux points B,G finiront par se rencontrer en un point commun D. La sécante AB deviendra alors la tangeute AD et on aura le rectangle AD.AD=AB.AG ; c-à-d., AD°=—AB.AG ou le carré de la tangente est égal au rectangle de la sécante entière et de sa partie hors du cercle.

(505) Sco. La tangente est moyenne proportionnelle entre la sécante entière et sa partie hors du cercle; car, (89) si le produit de deux quantités est égal au carré d'une autre quantité, cette dernière est moyenne proportionnelle entre les deux premières ; or, par le théor., on a AB.AG-— AD; done, AB: AD :: AD : AG.

(506) Cor. 2. Si l’on menaït du point À une autre tangente AH, l'on aursit encore AH°=AB.AG ; d'où il suit comme du par. (452), que deux tangentes menées à un

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cercle d’un même point quelconque hors de ce cercle sont égales.

(607) Cor. 3. Si d’un point A hors d’un cercle on mène au cercle deux lignes AB, AH dont l’une coupe le cercle et l’autre le rencontre, et si le carré de la ligne AÏ qui rencontre le cercle est égal au rectangle de la ligne entière AB qui coupe le cercle et de la partie extérieure AG; la ligne qui rencontre le cercle lui sera tangente.

Si AH n’est pas tangente au cercle, alors étant prolongée elle coupera le cercle, comme la sécante AB et sera ellemême une sécante. Soit AC cette sécante. On a par le théor. AB.AG=AC.AL; mais par hyp. AH° ou AL?= AB.AG; donc aussi, AL? (ou AL.AL)=AC.AL, ce qui (84 Cor.) est absurde; donc, AL n’est pas la ligne qui rencontre le cercle; mais AH est cette ligne, nulle autre ne pouvant donner AH*=AB.AG ; donc, AIX touche le cercle sans le couper, c-à-d., lui est tangente.

(508) D'ailleurs, mulle autre ligne AL ne donnerait AL?= AH, puisque (459) toute ligne AL plus près que AIT de celle AF qui passe par le centre, est plus petite que AI qui est plus éloignée ; donc, AH, c-à-d., la tangente menée du point A, est la seule qui puisse donner AH*—AB.AG.

PROP. XLVII. THÉOR.

(509) Si deux lignes AB, AC, faisant l’une avec l’autre un angle quelconque BAC, sont coupées par une ou plusieurs lignes parallèles DE, FG, CB; les parties de l’une interceptées entre les parallèles seront proportionnelles aux parties correspondantes de l’autre j c-à-d., l'on aura AE:EG:GB comme AD:DF:FC, ou AE à AD comme EG à DF comme GB à FC.

ce cercle

on mène le cercle AH qui la ligne xtérieure ingente.

prolongée sera elle- 1 a par le ou AL?= \L, ce qui je qui rene autre ne 1e le cercle

donnerait ès que ATT te que AT nte meuée AB.AG.

vec l’autre ar une ou parties de broportione-à-dQ., l'on

AE à AD

En effet, menant DH, F K parallèles à AB, les figures DG et FB seront des parallélogrammes et donneront D (270) DH=EG et FK=—GB.

Si donc AE, EG, GB sont D

égales entre elles; AE, DH,

FK seront aussi égales entre

elles. Or les triangles AED, À E G B DIIF, FKC sont évidemment (151) tous équiangles par construction, à cause des parallèles DE, FG, CB ot de celles AE, DH, FK, et d’après l’hyp. qu’on vient de faire, chacun de ces triangles a un côté de l’un égal au côté correspondant de l'autre ; donc, (2388) les autres côtés de ces triangles sont aussi égaux et l'on a AD=DF—FC; d'où il suit que si AE est le tiers, le quart ou toute autre fraction de la ligne entière AB, AD sera le tiers, le quart ou la même fraction de la ligne entière AC; et réciproquement, si AB est le double, le triple ou un multiple quelconque de la partie AE, AC sera aussi le double, le triple ou le même multiple de la partie AD. En d’autres termes, quelque soit le rapport entre la ligne entière AB et ses parties AE, EG, etc, on aura le même rapport entre la ligne entière AO et ses parties AD, DF, etc.; donc, etc.

(510) Reciproquement, si les C parties AE, EG, etc. et celles Ç AD, DPF, etc. de deux lignes AB, AC se rencontrant en A, à un angle quelconque, sont proportionnelles ; les lignes DE, FG, etc., menées entre les points de section seront parallèles entre elles et à la ligne CB qui joint les extrémités des deux lignes inclinées.

Car, si FG, par exemple, n’est pas parallèle à CB ou à DE,

que KG ou HG soit cette parallèle. La ligne KG qui retranche de FC une partie quelconque FK ou la ligne HG qui ajoute à FC une partie quelconque FH, rendra cette ligne plus petite ou plus grande ; et si FC a à DF un certain rapport, ce rapport cessera d'exister du moment que FC diminuera ou augmentera. La parallèle KG ou HG pourrait donc couper les lignes inclinées AB, AC, d’une manière non proportionnelle ; mais le contraire vient d'être prouvé dans le dernier paragraphe ; donc, KG ou HG ne peut être parallèle À CB ou à DE qu'à la condition que DF, FC soient proportionnelles à EG, GB; donc, KG ou HG n'est pas parallèle à CB ou à DE; donc, FG est cette parallèle ; donc, etc.

(11) Cor. L. Si l’on suppose ( AB perpendiculaire à CB, elle le sera également (149) aux parallèles FG et DE: et les parties EG, GB seront (142) les distances entre les parallèles; et si ces distances sont égales, l'on aura comme auparavant DF=—FOC ; c’est- À L @ B à-dire, que les parties d’une seule et même ligne droite comprises entre parallèles également éloignées sont égales.

(512) Cor. 2. Les parallèles DH, FK étant des lignes également inclinées, l'on tire aussi de la prop. que les parallèles ou lignes également inclinées entre parallèles également éloignées sont égales.

(513) Sco. 1. PROB. Il suit de ce théor. que pour partager une ligne donnée AB en un nombre quelconque de parties égales AE, EG, GB; il n’y a qu’à mener une autre ligne AC faisant avec la première un angle quelconque BAC. Portant alors sur AC le nombre voulu de distances égales quelconques AD, DF, FC, joignant CB et menant

es. bé bg pe mm

+ qui regne HG dra cette n certain que FC IG pourmanière e prouvé peut être FC soient n’est pas le ; donc,

ne droite liées sont

des lignes e les paparallèles

pour paronque de une autre uelconque distances et menant

FG, DE parallèles à CB; la ligne AB sera partagée de la manière requise.

(514) Sco. 2 PROB. Si les parties AE, EG, etc., au lieu d’être égales, devaient avoir l’une à l’autre un rapport donné; il est clair qu'il n’y aurait qu'à porter sur la ligne AC des parties quelconques AD, DF, etc., ayant l’une à l’autre le rapport voulu; alors la même construction que ci-dessus donnerait AE à EG à etc., dans le rapport voulu.

Par exemple, si l’on voulait avoir 0 AE à EG à GB dans le rapport de 2 à 8 à 5; l'on porterait sur la ligne F AC, la partie AD égale à 2 unités de mesure (24) quelconques, DF égale à 8 et FC égale à 5 de ces mêmes unités. Cette Sco. indique À EE GG B donc le moyen de partager une ligne donnée en un nombre quelconque de parties proportionnelles.

(515) Sco. 3. PROB. Si l'on avait à retrancher d’une ligne donnée AG une partie quelconque EG ou à lui ajouter une partie quelconque GB; c-à-d., une partie ayant à la ligne entière AG un rapport quelconque; l’on porterait sur la ligne indéfinie AF, un nombre d'unités de mesure quelconques égal à celui qui est contenu dans la ligne donnée; prenant alors FD ou FC égale au nombre d'unités de mesure à retrancher ou à ajouter, joignant FG et menant DE ou CB parallèle à FG, le problème serait résolu.

(516) Sco. 4. PROB. Si l'on a AE à EG comme AD à DF, (AE:EG :: AD:DF) DF sera quatrième proportionnelle aux trois lignes AE, EG, AD; de là donc le moyen de trouver une quatrième proportionnelle à trois lignes données.

(517) Sco. 5. PROB. Si AD était égale à EG, l’on aurait AE:EG:: EG: DF; d'où l’on tire le moyen d'obtenir une troisième proportionnelle à deux lignes données.

RE D DRE GT re EE au se

DAS NA LR

(518) Cor. 8. Nous avons défini triangles semblables (205) ceux qui sont équiangles; c-à-d., dont tous les angles sont respectivement égaux l’un à l'autre. Les triangles ADE, AFG, ACB sont donc des triangles semblables, à cause des parallèles DE, FG, CB qui rencontrent les lignes AB, AC et font les angles correspondants E, G, B égaux, et ceux D, F, C aussi égaux, l'angle A était commun à chacun des triangles.

L'on vient de voir aussi (509) que U AË étant une partie quelconque de la ligne entière AG ou AB, AD sera la F même pertie de la ligne entière AF D ou AC; d'où il suit que si dans un triangle quelconque ACB l’on mène une ou plusieurs lignes parallèlesàa À EE GB l'un CB des côtés; ces parallèles couperont les deux autres côtés proportionnellement.

(519) Cor. 4. Réciproquement, si les côtés AF, AG ou les côtés prolongés AC, AB d’un triangle quelconque AFG sont coupés proportionnellement; la ligne DE ou CB qui joint les points de section sera parallèle à l’autre côté MG du triangle ; car (510) nulle autre ligne non parallèle à FG ne couperait proportionnellement les côtés ou côtés prolongés du triangle.

(520) Cor. 5. Si ADE, ACB sont QC deux triangles semblables quelconques disposés comme dans la fig. ; le côté ED sera (206) parallèle au D Li coté BC. Ayant mené DL paral-

ï'e à AB, la fig. DB sera un pa-

rallèlogramme et donnera BL= À E B ED. Lo la prop. la ligne ED parallèle à BC donne AE : AB :: AD: AC et la parallèle DL donne BL: BC :: AD: AC; mais (75 Ax.) les rapports qui sont égaux À un même rapport sont égaux entre eux; donc, AE: AB :: BL: BCet

ables (205) ingles sont œles ADE, À cause des s AB, AC x, et ceux chacun des

G B : les deux

F, AG ou uelconque ne DE ou e à l’autre 1e non paes côtés ou

ù B BC donne BC :: AD:

à un même : BL: BC et

parce que BL—ED, l’on a AE: AB :: ED:BC; d'ou il suit que dans les triangles équiangles ou semblables les côtés homologues sont proportionnels.

(521) Cor. 6. Si dans les C triangles semblables ABC, ae, CD, cd, représentent les hauteurs respectives de ces triangles; ces hauteurs sont proportionnelles l’une à l'autre ; comme le sont les bases et autres côtés ou lignes homologues des triangles.

Ceci est clair, carencon. B A D sidérant séparément les triangles CDB, c d b, l'on voit de suite que ces triangles sont équiangles ; l'angle D, d, dans chacun étant droit et les angles B, b, communs à ces triangles et aux triangles donnés. Les triangles CDB, cdb sont donc semblables et donnent CB:cb::CD:ced; mais CB:cb:: AB:ab; d’où (75 Ax.) AB:ab:: CD: cd, et alternando (94) AB:CD::ab:ced. C-à-d. que les hauteurs et les bases des triangles semblables sont proportionnelles.

(522) Cor. 7. Si les ni côtés homologues de E deux triangles ABC, $ abc sont proportionnels ; les triangles se- £ ront équiangles et A. D B « semblables.

Sur AB portez AD—ab et sur AC portez AE=ac et joignez DE. Parce que ab: AB::ac: AC ou AD:AB:: AE : AC, l'on a (519) DE parallèle à BC, et parceque DE est parallèle à BC, l'on a (508) AD:AB::DE: BC ou ab: AB::bc:BC. Les trois côtés du triangle ADE sont donc

proportionnels À ceux du triangle abc, et par constr. AD— ab et AE=ac; donc, aussi (82 Ax.) DE=bc; or avec trois côtés donnés, l’on ne peut C

(239) faire qu’un seul tri- E angle; donc, le triangle

ADE est égal en tout

au triangle abc. Mais

parce que DE a été prou- À D B < b vé parallèle à BC, le triangle ADE est équiangle et semblable à ABC ; donc aussi son égal abc est équiangle et semblable à ABC; donc, etc.

(523) Cor. 8. Si dans le dernier cor., l’on avait seulement deux côtés a b, a c du triangle a b c proportionnels aux deux AB, AC du triangle ABC, et l'angle compris a de l’un égal à l’angle correspondant A de l'autre ; il est clair que faisant la même constr., l’on prouverait comme auparavant que DE est parallèle à BC et le triangle ADE égal en tout à celui a be, et de là, a b c équiangle et semblable à ABC; d'où il suit que si deux triangles ont un angle de l’un égal à un angle de l’autre et les côtés qui comprennent les angles égaux proportionnels, les deux triangles sont équiangles et semblables.

(524) Sco. 6. Si deux triangles D ADB, BEC ont deux côtés de l’un proportionnels aux deux de l’autre, savoir AD à BE comme BD à CE et l'angle compris D de l’un égal à l’angle compris E de au- À B C tre, et si ces deux triangles sont disposés de manière à se toucher par un de leurs angles et à avoir les côtés homologues parallèles ; les autres côtés AB, BC de ces triangles seront sur la même ligne droite AC.

Car, par le dernier cor., ces deux triangles sont équiangles et semblables, et (208) il suffit qu'un côté de l’un soit

str. AD— avec trois

le et semuiangle et

seulement aux deux e l’un égal que faisant nt que DE ut à celui J; d’où il an égal à nnent les igles sont

manière à les côtés 3C de ces

nt équian-

e l’un soit

parallèle au côté correspondant de l’autre, pour que les autres côtés le soient. Or, si BC est parallèle à AB et qu’en même temps le point B soit commun à chacun de ces côtés, il est clair (146) que AB, BC feront partie d’une seule et même ligne droite.

(525) Sco. 7. Nous voyons par cette prop. que dans les triangles, l'égalité des angles est une conséquence de la proportion ou du rapport entre les côtés, et réciproquement; de sorte que l’une ou l’autre de ces deux conditions détermine d’une manière suffisante la similitude de deux triangles.

(526) Sco. 8. Il en est autrement D p des figures de plus de trois côtés. C Il est clair, par exemple, que si dans le quadrilatère AC, l'on mène EF parallèle à AD, la fig. EC sera équi- À É angle à AC, quoique le rapport entre les côtés soit changé; et réciproquement, il est clair que si les quatre côtés étaient mobiles autour des points angulaires À, B, CO, D, on pourrait les faire agir de manière à varier indéfiniment les angles sans changer en rien la longueur des côtés.

(527) Sco. 9. Cette proposition avec celle du carré de l’hypoténuse sont iles plus importantes et les plus fé6condes en résultats de toutes celles de la géométrie ; tant presque suffisantes à elles seules pour toute application au raisonnement ultérieur et pour résoudre tous les problèmes. La raison en est que toute figure peut se résoudre en triangles et tout triangle en deux triangles rectangles.

Ainsi, les propriétés générales des triangles comprennent en même temps celles de toute autre figure.

PROP. XLVIII. THÉOR.

(628) Si deux triangles ABC, abc, ou ABC; abc, ont deux côtés AB, BC ou AB, BC’ de l’un proportionnels aux deux a b, bc ou ab, bc! de l’autre et l’angle À opposé à l’un de ces côtés égal à l’angle correspondant «a de l’autre ; ces triangles seront équiangles ou semblables, pourvu que l'angle C ou C’ opposé à l’autre côté du premier soitde même affection que l'angle c ou c’ opposé au côté correspondant du second ; c-à-d., (129) pourvu que les angles correspondants soient tous deux obtus C, « ou

tous deux aigus C’, €’.

Ila déjà été dé- B montré (320) qu'il peut y avoir deux triangles différents ABC, ABC’ dont deux côtés AB, BC de l’unsoient égaux A C D |; Pig toute iesr) à deux côtés AB, BC' de l’autre, et un angle À commun ou égal dans chacun d’eux; pourvu que l’angle C d’un de ces triangles soit égal au supplément de l’angle correspondant C’ de l’autre.

Il est clair aussi que si BC=BC’ et que le rapport de BA à BC soit donné, il existera (82 Ax.) entre BA, BC’ le même rapport, et que l’on pourra comme dans le cas de la prop. XII (820) former avec les données mentionnées dans l'énoncé de ce théor., deux triangles ABC, ABC tels que l'angle C de l’un soit égal au supplément de l’angle C’ de l’autre. |

Cela posé, puisque par hyp. AB:BC::ab:bc, l'angle A étant—a; si sur AB, BC, l’on porte des longueurs Ba, Bc=