LEMME

Rem. Dans les problèmes précédents, comme dans ceux qui vont suivre, il peut arriver, suivant que l'ont veut faire une construction purement géométrique ou obtenir une solution numérique, que l’on ait à traduire les données pour les rendre propres aux opérations auxquelles on désire les soumettre.

1° Prob. Les termes d’un rapport quelconque M:N, par exemple, étant numériques, soit 8: 5, si l’on désirait remplacer ces nombres par des lignes ayant entre elles le même rapport ; il n’y aurait qu’à prendre sur une ligne droite indéfinie, des longueurs respectivement égales à 8, 5 unités de mesure linéaires quelconques ; ce qui donnerait deux lignes dans le rapport voulu.

2° Prob. Mais s’il s'agissait au contraire de trouver 1e rapport numérique existant entre deux lignes données ; il y aurait à obtenir d’abord la commune mesure ou le vlus grand commun diviseur de ces deux lignes ; ce qui se ferait évidemment d’une manière analogue au procédé arithmétique ; c-à-d., en divisant la plus grande des deux lignes par la plus petite, et si cette dernière était contenue un nombre exact de fois dans la première, on aurait de suite ie rapport voulu de 1 : 2, 1 : 8, 1 : 4, 1: 5, 1 : etc., suivant le cas. Mais si la première division laissait un reste, il y aurait encore à diviser par ce reste, la plus petite des deux lignes ; et si cette seconde division laissait un nouveau reste, on continuerait l'opération, en divisant toujours l'avant dernier par le dernier reste; jusqu’à obtenir enfin un reste qui divisât exactement ou qui fût contenu un nombre exact de fois dans le reste précédent. Ce dernier reste serait le commun diviseur cherché.

Portant alors sur chacune des deux lignes la commune mesure ainsi trouvée, le rapport entre ces lignes serait indiqué par le nombre de fois que chaque ligne contiendrait cette

unité. Par exemple, svient AB, ab, les lignes données. Supposons que d AB contienne ais 16 2 fois ab avec

un reste A c, et EP D ne Ra en soit A c contenu 2 fois en ab avec un second reste d b ; soit enfin db contenu un nombre exact de fois en A c; db est la commune mesure cherchee. Portant maintenant sur AB et ab l'unité de mesure dé, l’on trouvera qu'elle est contenue 12 fois dans la première de ces lignes ot 5 fois dans la seconde ; ce qui d'ailleurs se voit de suite, en faisant atten-

tion au nombre de divisions qu’il a fallu faire pour arriver au résultat désiré.

89 Si les lignes données étaient incommensurables (60), c-à-d. telles que l’on ne pût jamais arrivier à un reste capable de diviser exactement le reste précédent ; l’on se contenterait nécessairement d’un rapport approximatif, ct ce dernier pourrait toujours être trouvé tel qu'il différAt du rapport exact d'une quantité plus petite qu'aucune quantité assignable ; car, si petite que fût cette dernière, il est évident qu’en continuant toujours à diviser par le dernier reste, le reste précédent, l’on obtiendrait enfin une unité linéaire plus petite que la moindre qu'il soit possible de concevoir.

49 Prob. Si l’on avait à trouver le rapport numérique entre trois, quatre, cinq ou un nombre quelconque de lignes données ; l’on procéderait d’abord à trouver la commune mesure des deux premières, de la manière que l'on vient d'indiquer ; puis à trouver le plus grand commun diviseur de cette comrnune mesure et de la troisième ligne donnée; enfin l’on chercherait l'unité de mesure capable de diviser exactement le commun diviseur en dernier lieu trouvé et la quatrième ligne ; et ainsi de suite, prenant successivement pour diviseur la dernière unité ou commune mesure trouvée et pour dividende la ligne suivante.

6° Prob. S'il s'agissait de trouver le rapport numérique

38 données.

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numérique

entre deux figures rectilignes quelconques ; il est clair que les nombres mêmes d'unités de mesure égales contenues dans leurs surfaces respectives, si on les connaissait, indiqueraient de suite leur rapport numérique. Autrement, il y aurait à reduire (291 et 292) ces figures en rectangles équivalents, pour trouver ensuite, par la méthode du par. (585), deux lignes ayant entre elles le rapport de ces rectangles ; et enfin (2°) le rapport numérique entre ces lignes.

6° Prob. Trouver trois lignes ayant entre elles le même rapport que celui entre trois figures rectilignes quelconques. Il y aurait d'abord à réduire (293) ces figures en autant de rectangles équivalents, puis à trouver (5685) deux lignes ayant entre elles le même rapport que celui existant entre deux des rectangles donnés. Soit a.b le premier rectangle =A, c.d le second rectangle =B, e.f le troisième rectangle =C. L'on aura de cette manière a.b: cd::a:xou A:B::a:x. Maintenant, a, x étant deux lignes ayant entre elles le rapport voulu de A à B, il est clair que pour trouver une troisième ligne y qui soit à x dans Île rapport voulu de © à B, il faudrait que x fût un des côtés du rectangle B, de même que a était un des côtés du rectangle A ; or, il n’y aura pour cela qu'à faire, par la méthode du par, (800), un nouveau rectangle égal en surface ou équivalent à B, et ayant un côté égal à la ligne x. Soit X ce nouveau rectangle et x, s, ses côtés ; l’on obtiendra x.s: e.f:: z:youX:O::x:y.

7° S'il y avait plus que trois figures auxquelles il fallût trouver des lignes proportionnelles ; il est évident que l'on procédérait d'une manière analogue, après les avoir remplacées par des rectangles équivalents, À réduire le rectangle C en un rectangle équivalent Y ayant un de ses côtés égal à la ligne y. L'on chercherait alors une quatrième ligne 2, pour réduire ensuite lo rectangle suivant D en un rectangle équivalent Z, ayant un côté égal à la ligne z; et ainei de suite juisqu'’au dernier.

180 GÉOMETRIE.

8° Rem. Observons de combien toutes ces opérations, auxquelles la rigueur géométrique nous force de donner tant d'extension, seraient simplifiées par l’usage d’une échelle divisée en un nombre suffisant de partiés égales ; et l’on a indiqué au par. (518) le moyen d'opérer cette division de la ligne droite. Soit par exemple une échelle de pouces subdivisés en lignes et fractions de lignes ; il n’y aurait qu'à appliquer cette échelle à deux ligues droites données, pour déterminer de suite le nombre de pouces, lignes, etc. contenus par chacune d'elles, et de là le rapport existant entre leurs longueurs respectives ; c-à-d., le rapport des nombres d’unités de mesure contenues par ces lignes.

Si les lignes données étaient incommensurables, l’on obtiendrait encore (51) toute l'exactitude voulue par une subdivision continue de l'échelle en parties de plus en plus petites, et cela de manière à arriver eniin au résultat désiré à un centième, millième, dix-millième, ou à toute autre traction ou décimale près, de l'unité prise pour mesure.

99 Prob. Rien de plus facile aussi, au moyen d’une échelle de cette sorte, que de trouverle rapport entre deux ou plusieurs figures rectilignes quelconques ; soit en les réduisant d’abord (292) en triangles équivalents, ou (298) en rectangles équivalents ; ou en les traitant directement de la manière indiquée au par. (352) ; c-à-d', en mesurant leurs bases et hauteurs respectives avec une même unité de mesure, pour obtenir (333) leurs surfaces absolues (334) ou relatives (886) et de là le rapport numérique entre elles.

10° Prob. Enfin, pour ce qui est des cercles, secteurs, segments, zones, lunules et autres figures planes, curvilignes ou mixtilignes ; comme toutes ces figures peuvent se décomposer en triangles, si petits qu’il faille prendre ces triangles pour que chaque partie de la courbe devienne sensiblement une ligne droite ; il suflit de ce que l’on a déjà dit (487) pour faire comprendre de suite la manière de traiter ces figures afin d'en déduire les surfaces relatives ou absolues et de là le rapport entre elles,

>pérations, de donner sage d’une iés égales ; pérer cette ine échelle nes; ilny ues droites de pouces, à le rapport , le rapport es lignes.

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PROP. LV. THÉOR.

(572) Les segments de deux cordes AB, CD qui se coupent dans un cercle, sont réciproquement proportionnels ; c’est-à-dire AO : DO :: CO : BO.

Ayant mené CA, BD; dans les triangles AOC, BOD les angles en O sont égaux, parce qu’ils sont (187) opposés au sommet ; l’angle À est (449) égal à l'angle D, parce qu'ils sont tous deux à la circonférence et appuyés sur le même arc BC; par la même rason l'angle C=B ; les triangles sont donc équiangles et semblables, et les côtés homologues donnent AO : DO :: CO: BO.

Cette conclusion est la même que celle déjà obtenue, d'une manière toute différente, au par. (502), et peut-être considérée dans ce cas comme plus legitime, pour ainsi dire, que dans l’autre cas ; puisqu'elle dépend de la propriété

plus générale qu'ont les triangles équiangles d’avoir leurs côtés homologues proportionnels.

(578) Cor. Si quatre lignes droites AO, DO, CO, BO sont proportionnelles ; le rectangle des extrêmes est égal à celui des moyens; car si AO : DO :: CO : BO, l’on a (86) AO.BO—DO.CO ; et si le rectangle contenu par deux lignes est égal au rectangle contenu par deux autres lignes, ces lignes seront proportionnelles ; c-à-d., les deux côtés d’un des rectangles seront les extrêmes d’une proportion dont les deux de l’autre seront les moyens ; ne si AO.BO—D9.CO l'on aura (88) AO: DO :: CO

(574) Sco. Prob. Trouver le rayon OB d’un cercle dont fait partie une zone quelconque Al), les seules données étant les deux cordes limitatives AB, CD et la distance AË entre ces cordes ou la largueur de la zone.

Les cordes AB, CD étant (202) parallèles, si l'on suppose BK parallèle à AE, l’on aura (parallèles entre parallèles) EK=AB ; et parceque (408) GH menée par le centre O du cercle, perpendiculaire aux cordes AB, CD, bissecte ces cordes, l’on aura AG—GB et CH=HD ; de plus, GH, AE, BK étant parallèles, l’on a EH—AG=—GB=—HK ; d'où il suit que CH—EH=HD—HK—KD=EC; donc EC est égale à la demi-différence entre les cordes parallèles AB, CD. Prolongeant AE jusqu'en F, AF devient une corde et CD, AF sont deux cordes quelconques qui se coupent dans un cercle. Or, par cette prop. l'on a AE : ED :: EC: EF; d'où (90) EF-=EDXEC. En d'autres termes, EF est une

NT

quatrième proportionnelle aux trois lignes AE, ED, EC et peut se trouver géométriquement par la méthode du par. (516). Maintenant parceque (142) l'angle BAF est droit, la ligne FB est (444 2°) un diamètre et passe par le centre O du cercle, et puisque BAF est un triangle rectangle, l'on a (805) FB’=AB°+AF*; d'où FB—VAB2FAF, et OB le rayon cherché} FB. L'on obtiendrait (8306) FB, par construction géométrique, égale au côté d’un carré équivalent à la somme des carrés sur AB et AF, et OB-—FB.

PROP. LVI. THÉOR.

(575) Si d'un même point O hors d’un cerole, l'on mène deux sécantes. OB, OC, à la circonférence con-

'on suppose | parallèles) centre O du bissecte ces 8, GH, AE, d'où il suit est égale à s AB, CD.

orde et CD, nt dans un : EF; d’où F est une

, ED, EC et 1ode du par.

F est droit, ar le centre tangle, l’on ?, et OB le B, par conséquivalent à

cercle, l’on rence con-

cave BC; les sécantes entières seront réciproquement proportionnelles à leurs segments extérieurs OA, OD ; c-à-d., l’on aura OB : OC :: OD: OA.

Menant AC, BD, les triangles ODB, OAC ont l'angle O commun. Les angles B et C appuyés sur le même arc AD sont (449) égaux et par suite (260) les angles restants sont aussi égaux ; donc, ces triangles sont semblables et l'on a (520) OB: OC::