BA : AE

on alterne ss, DAB, issecté par

PROP. LI. THÉOR.

(543) Si l'angle extérieur EAC d’un triangle quelconque BAC est bissecté par une droite AD qui coupe en même temps la base BC prolongée ; les segments BD, CD entre la bissectrice AD et les extrémités B, C de la base, ont l’un à l’autre le même rapport que les côtés BA, CA du triangle. C-à-d., l’on aura BD : CD :: BA: CA.

Soit BA prolongée d’une quantité AE=CA ; le triangle EAC sera isocèle et donnera l'angle E—ACE. Soit FA=CA, et l'on aura aussi l'angle AFC=ACF; mais par hyp. AD bissecte EAC, faisant EAD=CAD, et (251) l'angle ext. EAC du triangle CAF est égal à la somme des angles ints. opposés AFC, ACF ; donc, CAD moitié de EAC=+ AFC+ACF '; c-à-d., CAD=ACF, puisque ACF=AFC; donc, FC est parallèle à AD et l’on a (509) BD: CD :: BA: FA, et FA par constr. =CA ; donc aussi, (82 Ax.) BD : CD :: BA : CA ; donc, etc.

(544) Réciproquement, si les segments de la base prolongée sont dans le même rapport que les autres côtés du triangle ; la droite menée du sommet au point de section de la base prolongée, bissecte l'angle extérieur du triangle. C-à-d., si BD : CD :: BA : CA, l'angle CAD sera —=EAD.

Faisant la même constr. que dans le dernier cas, on aura encore l’angle E=ACE et ACF=AFC; mais l'angle ext. EAC=AFC+ACF, et puisque BD:CD::BA:CA ou à son égal FA, l’on aura (510) AD parallèle à FC et l'angle CAD= son alterne ACF'; mais ACF=AFC et AFC= son correspondant EAD ; donc aussi, CAD=EAD ; donc, etc.

PROP. LII. THÉOR.

(545) Les parallélogrammes BA, BC qui sont en même temps équiangles et de même surfhce, ont leurs côtés réciproquement proportionnels. C-à-d., BD: BE :: BG : BF.

Ayant disposé les parallélogrs. A F H de manière qu'ils aient un som- 54 res met commun B et leurs côtés BD, BE sur la même ligne droite DE; complétons le parallélogr. BH. Puisque BA=—BC par hyp. et que BI est un autre parallélogr.; l'on a (82 Ax.) BA:BH::BC:BH; mais parce que BA, BIT ont même hauteur, et BC, BH même hauteur, et que (842) les parallélogrs. de même hauteur sont entre eux comme leurs bases ; l’on a BA : BH:: BD:BE et BC:BH::BG: BF; donc, BD:BE::BG:BF; car, (75 Ax.) les rapports qui sont égaux à un même rapport sont égaux entre eux; donc, etc.

(546) Réciproquement, les parallélogrammes équiangles et dont les côtés sont réciproquement proportionnels, sont égaux. C-à-d., si BD : BE:: BG: BF ; l’on aura BA=BC.

Car BD:BE:: BA: BH et BD:BE::BG:BF et les rapports qui sont égaux à un même rapport sont égaux entre eux ; donc, BG:BF::BA:BH; mais BG:BF::BC:BH; d'où il suit que BA: BH :: BC:BH; or, (72 Ax.) si deux quantités ont à la même quantité le même rapport, ces deux quantités sont égales ; donc, BA=—BC.

(547) Cor. Les triangles étant (281) moitiés de parallélogrs. correspondants, et les moitiés de choses égales étant égales ; il est clair que le même raisonnement que l'on vient de suivre dans le cas des parallélogrs., s’appliquerait aux triangles, dont les surfaces, comme celles des parallé-

bd but lt M OO nd bd

en même jurs côtés + BG: BF.

3H; mais BH même ne hauteur [:: BD:BE '; car, (75 pport sont

es équianroportion- 3; l’on aura

et les rapgaux entre : BC: BH; x.) si deux apport, ces

s de paralégales étant nt que l’on appliquerait des parallé-

logrs., sont entre elles (844 2°) comme leurs bases, lorsque leurs hauteurs sont égales. Il suit donc, que les triangles égaux qui ont un angle de l’un égal à un angle de l’autre, ont leurs côtés qui comprennent les angles égaux réciproquement proportionnels ; c-à-d. que si le triangle FBD=—EBG et l'angle FBD-—EBG; l'on aura BD:BE:: BG : BF.

2° Et de même, les triangles qui ont un angle de l'un égal à un angle de l’autre et les côtés qui comprennent les angles égaux réciproquement proportionnels, sont égaux.

PROP. LIII. THÉOR.

(548) Dans les figures semblables quelconques, EB, e b, les côtés et autres lignes homologues sont proportionnels.

Nousavons déjà défini (207) figures semblables de plus de trois côtés, celles qui sont composées d'unmême gk nombre de triangles sembiables situés d’une manière correspon- # dante dans chacune des figs., et cette condition est de rigueur pour que leurs côtés soient proportionnels ; car s’il suflisait que les figs. fussent équiangles, comme dans le cas des triangles, il arriverait que les côtés de la fig. EB seraient en même temps proportionnels aux côtés de l’une ou l’autre des figs, e b, gb, ou de toute autre fig. équiangle ek, gk; mais dans ce cas, les figs. e b et gb étant par hyp. équiangles, l'on aurait aussi ab:ed::ab:gf ou ab:ae::ab:ag, ou etc.; ce qui (526) est absurde; or, les figs. équiangles eb, gb ne sont pas composées de triangles semblables ou équiangles, puisque le triangle a c d n’est pas équiangle à a cf, non

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plus que ade à afg; donc, les figures qui ne sont pas composées de triangles équiangles ou semblables, n’ont pas leurs côtés proportionnels :

(549) 2° Et si ces figures sont composées de triangles équiangles ou semblables, il est à démontrer que leurs côtés sont proportionnels; c-à-d. que l’on aura AB:ab ::BC:bc::0CD:cd::ete.

Les triangles semblables ABC, a be donnent AB: ab:: BC :bceet BC:6c:: CA: e a; lestrianglos semblables ACD, acd donnent CA:ca:: COD:cd; mais si BC:bce:CA:ca et OD:ed:: CA :va, il est clair que l’on aura BC:bc:: CD':ed, puisque (75 Ax.) les rapports qui sont .gaux à un même rapport sont égaux entre eux. L'on prouverait de mème CD:cd:: DE:deet DE à de:: EA à ea; donc, AB:ab:: BC :be:: CD:cd::etce.; donc, ete.

(660) Si DL, dl AP étaient perpendicu- FT laires sur AB, a b, > ou ai elles formaient avec AB, ab des angles égaux quelconques; les triangles ALD, ald scraient équiangles et semblables, comme le sont les autres triangles ABC, abc, et ACD, ac d, etc., des deux figures semblables EB, eb; or, par la démonstration, les côtés AC, a c, et AD, ad de ces figs. sont proportionnels, comme le sont les autres côtés AB, a b et BO, bc, etc., de ces triangles, et comme on le prouverait aussi de DL, d ! ou de toutes autres lignes homologues menées dans les deux figs. ; done, AB:ab::DL:dl:: ete. ; donc, dans les figures semblables quelconques EB, e b, les côtés AB, ab et BO, bc, etc. et autres lignes homologues AO, ac ct DL, d{, etc, sont proportionnels.

(651) Soo. PROB. D'après ce qui précède, il est clair que

le sont pas ables, n’ont

de triangles r que leurs ira AB:ab

AB:ab:: BC y ACD, acd :CA:ca et be:: CD':cd, à un même it de même

AB:ab:: BC

it les autres deux figures os côtés AC, , comme le le ces trianou de toutes figs. ; donc, semblables , be, etc. et l, etc, sont

est clair que

si l’on demandait À ‘hire sur une ligne donnée ab une figure € b semblable à une figure rectiligne donnée EB ; il n’y aurait qu’à partager la fig. donnée en triangles ACB, AOD, ete. ; sur ab faire lo triangle acb équiangle à AOB; sur ac, le triangle acd équiangle à ACD ; et procéder de cette manidre jusqu'À ce que la fig. requise fût complète, c-à-d., (207) composée du même nombre de triangles équiangles que celui contenu dans la fig. KB servant de modèle, et ayant chacun de ces triangles situé d’une manière correspondante à ceux de cette figure.

PROP. LIV. THÉOR.

(552) Les triangles semblables ABC, abc sont entre eux comme les carrés de leurs côtés ou autres lignes homologues ; c-à-d., ABC :abce:: AB* : ab° :: CB? : eb?:: CD* : ed° :: ete.

L'on a vu (621) que C dans les triangles semblables, les baaes et A hauteurs sont propor- '

tionnelles, comme le RESTE 3 sont (520) les côtés; .

ce qui donne AB : ab::

CD:cd ou (94) alternaudo AB :CD::a b:

cd; or (844) la surfaco

d'un triang, estégale au A BR D# demi-produit de sa base par sa hauteur, et (845) les triangles quelconques sont entre eux comme les produits deleurs bases et hautours. L'on a done ABC:abc:: AB.OD : ab.c d ; c-à-d., la superficie du triangle ABC est à colle du trianglo ad e comme le produit de la base et hauteur du premier est à celui de Ia baso et hauteur du second. Mais il est à démontrer que AB.CD : a b.c d:: AB? : a & ; or, si l'on

RSS ARE TT À RP er M ie: e - .

multiplie les termes du rapport AB :ab:: CD sc d par ceux du rapport identique AB : ab:: AB : ab, les produits seront proportionnels ; puisque (103) les produits de deux séries de quaatités proportionnelles sont proportionnels. L’on aura donc ABXAB:abxab:: ABXCD:abxed; c-à.d., AB°?

:ab*:: AB.CD :ab.cd::AB.OD:ab.cd:: ABC:abc, ou 2 2

ABC:abc:: AB°:ab°. L'on prouverait de même ABC à ab c::OB* à cb ou comme AC*?àac, Il est clair aussi qu’en multipliant les termes du rapport AB:ab::CD:cd par les termes correspondants du rapport CD :cd::CD:c d, l’on obtient AB.CD:ab.cd::OD°:cd° ou ABC:abc:: CD*: cd ; donc, etc.

(553) D'ailleurs, puisque (521) AB :ab::CD':cd;il est clair que AB étant un multiple ou sous-multiple quelconque de a b, CD sera le même multiple ou sous-multiple de cd. fi donc AB est double, triple, etc. de ab, CD sera double, triple, etc. de c d, et de même si a b est moitié, tiers, etc. de AB, c d sera moitié, tiers, etc. de CD ; mais (845) les surfaces de triangles quelconques sont entre elles comme les produits des bases et hauteurs, et ces bases et hauteurs sont (59) entre elles comme les nombres respectifs d'unités de mesure (24) qu’elles contiennent, ou, ce qui (75 Ax.) est clair, comme tous autres nombres proportionnels à ces bases et hauteurs; donc aussi (75), d’après l'hypothèse qu’on vient de faire, les surfaces des triangles ABC, abc sont entre elles comme 1X1:2X2:8X8:etc., ou comme 1X1 :4X4:4X4:etc., c-à-dire, comme 1°:2:8 ou comme 2": G?: (4°: etc.; or ces rapports sont entre eux (215) comme 1:4:9: etc., ou comme 1:4:1: etc.; c-à-d., comme les carrés des nombres entiers 1, 2, 8, 4, 5, etc., ou des fractions 4, #4, #, 1, etc.; c-à-d., enfin, comme les carrés des nombres exprimant les rapports entre les côtés ou autres lignes homologues des figs. dont il s’agit; ou ce qui (59) revient au même, comme les carrés de ces côtés et lignes homologues.

d par ceux luits seront 1x séries de L'on aura -à.d., AB?

D:abc, ou

me ABC à clair aussi b::CD:cd d::CD:cd, BC:abc::

):cd;il est quelconque ñ de cd. Si era double, iers, etc. de 45) les surs comme les auteurs sont d'unités de (75 Ax.) est 8 à ces bases thèse qu’on C, abc sont comme 1X1 ou comme e eux (215) à-d., comme ou des fracs carrés des és ou autres 1 ce qui (59) tés et lignes

(554) Cor. L. Les figures rectilignes semblables quelconques AD, ad, c-à-d., leurs surfaces, sont entre elles comme les carrés de leurs côtés ou autres lignes homologues,

Puisque (548) dans les figs. semblables, toutes lignes homologues sont pioportionnelles; quelque scit le apport de la C base be et de la hauteur a f du triangle a b e à celles BE, AF du triangle correspondant ABE, la base b d et hauteur c g de toute autre partie b c d de la première fig. auront le même rapport aux facteurs de la partie correspondante BCD de la seconde. Quelque soit donc le rapport entre les surfaces des triangles abe, ABE, le même rapport existera entre celles des triangles d c d, BCD, et entre celles des triangles bde, BDE et l’on aura abe: ABE::bde: BDE::bcd:BCD; mais (102) si l’on a un nombre indéfini de quantités proportionnelles, l’un quelconque des antécédents est à son conséquent comme la somme de tous les antécédents à la somme de tous les coséquents ; donc, abe: ABE:: ab e+ bde+b cd: ABE+BDE+BCOD ; c-à-d., a be: ABE: : ad: AD; or, l’on vient de voir (552) que abe:ABE:: a b°: AB°:: bé: BE°::af°: AF°:: etc. et (75 Ax.) les rapports qui sont égaux à un même rapport sont égaux entre eux; donc enfin, ad: AD::ab?: AB°:: be: BE? ::af°: AF°:: etc. ; donc, etc.

(555) Sco. L Les polygones réguliers quelconques (voyez la fig. sur la page suivante) AEC, aec d'un même nombre de côtés, sont des figures semblables.

En effet, si l’on bissecte les angles égaux (175) A, B, C,

etc., du pol. AEC ; les bissectrices des angles A, B se rencontreront en © et formeront le triangle AOB qui sera

isocèle, à cause des angles égaux ABO, BAO qui par constr. sont moîitiés des angles égaux A, B du pol. La bissectrice de l'angle C ne pouvant tomber ailleurs qu’en O, puisque BO est déjà donnée en longueur et en position, formera avec BO le triangle isocèle BOC en tout égal à celui AOB. Il est clair aussi (288) que l’on aura de même COD=—BOC=AOB—- etc.; donc tous les triangles AOB, BOC, etc., qui composent le

pol. AEC sont égaux et par conséquent * (210) semblables. Lamême constr. ferait

voir que tous les triangles 4 o b, boc, etc., qui composent le pol. a ec sont aussi égaux entre enx et par conséquent semblables; or, les pols AEC, aec ont chacun un même nombre d’angles égaux A, B, C, etc., a, b, c, etc., et chacun des angles a, b, ce, vaut (264) la même partie de deux angles droits que les angles A, B, C; donc, l'angle A=a, B=b, C=c, etc., et par conséquent l’angle o.ab, moitié de «=O0AB, moitié de A=OBA, moitié de B=oba moitié de b. Donc, le triangle ao b est équiangle et par conséquent semblable au triangle AOB ; donc aussi, tous les triangles «ob, boc, ete., qui sont égaux et semblables entre eux, sont équiangles et semblables à ceux AOB, BOC, etc. ; donc, les pols. AEC, aec sont semblables, étant composés d'un même nombre de triangles semblables, situés d’une manière correspondante dans chaque fig.; ce qui s'accorde avec la définition que nous en avons donnée au par. (207).

2° Puisque la constr. qu’on vient de faire, donne AO=— BO=CO= etc. ; il est clair (185) que O est le centre (175) du pol. et qu’un cercle décrit du point O comme centre, avec un rayon AO ou BO, etc., passera par tous les points angu-

) qui par

pol. La s qu’en O, position, ut égal à

omposent le équent sem- \ un même +, et chacun deux angles A=a, B=b, de «=O0AB, e b. Donc, t semblable aob, boc, sont équiannc, les pols.

d'un même nanière Ccorrde avec la )7).

lonne AO= centre (175) , centre, avec points angu-

laires À, B, C, etc,, du pol. et sera (195) circonscrit au pol. Le rayon oblique (175) AO ou BO, etc., du polygone est donc en même temps celui du cercle circonscrit.

8° Puisque les triangles AOB, BOC, etc., sont égaux en toutes choses et par conséquent (210) semblables, et que (521) les hauteurs et bases des triangles semblables sont proportionnelles ; il est clair que les hauteurs ou (179) les perpendiculaires OG, OH, etc. seront aussi égales; done, un cercle décrit du point O comme centre avec un rayon égal à OG, OH, etc. touchera tous les côtés du pol. et sera (198) inscrit dans le pol.; car, (468) une ligne droite perpendiculaire à l'extrémité d’un rayon est tangente à la circonférence. Le rayon droit (175) OG, OH, etc. du polygone est donc en même temps celui du cercle inscrit.

Il est à peine necessaire d’ajouter que ce que l’on vient de dire (2° et 3°) du pol. AEC s’applique également au pol. ae c.

49 Il suit évidemment de ce que l’on a dit au par. (521) que dans les polygones réguliers d’un même nombre de côtés, les rayons droits et obliques sont des lignes homologues et par conséquent proportionnelles entre elles et aux côtés des polygones; de sorte que l’on aura AB :ab:OB:0b::0G:0og::etc.

5° De plus (78. Ax.) les doubles ou les touts sont comme les moîtiés, et le double du rayon oblique du polygone est égal (188 et 189) au diamètre du cercle circonscrit ; et le double du rayon droit du polygone est égal au diamètre du cercle inscrit ; donc aussi, dans les polygones réguliers d'un même nombre de côtés, les côtés sont entre eux comme les diamètres des cercles inscrits et circonscrits, c’est-à-dire proportionnels à ces diamètres.

(556) Cor. 2. Les polygones réguliers d’un même nombre de côtés, c’est-à-dire (555) semblables, sont (554) entre eux comme les carrés des côtés, des rayons droits et obliques, des rayons et diamètres des cercles inscrits et circonscrits, ou de toutes autres lignes homologues que l’on pourrait mener dins ces figures; c-à-d., les surfaces des polygones AËC, aec, sont entre elles’ comme

AB”: a b°:: OG” : 0g°:: OB°:00?:: EB° (ou EO+OB?): …0° (ou 20-00) :: NG° (ou NO+FOG?) : n g° (ou n o+og°) :: ete.

(657) Cor. 3. Les cercles sont évidemment des figures semblables, pouvant être considérés (480) comme des polygones d'un même nombre de côtés assez petits pour qu'on puisse les regarder comme étant sensiblement des lignes droites ; et d’après les définitions que nous en avons données, les secteurs et segments qui sous-tendent des angles égaux au centre des cercles dont ils font partie, sont aussi des figures semblables. L’on désignerait aussi, zones et lunules semblables, celles dont les arcs concaves et convexes sous-tenderaient, au centre des cercles dont ces arcs font partie, des angles égaux ; or, dans tous ces cas, les circonférences entières ou arcs de cercle pouvant être considérés comme composés de parties da lignes droites, ces figs. peuvent être regardées comme autant de polygones rectilignes, et en cela sujettes au même raisonnement que celui que nous venons d'appliquer aux figs. rectilignes ; donc, les cercles et les secteurs, segments, gones et lunules semblables, sont entre eux comme les carrés des diamètres, rayons, cordes ou autres lignes homologues de ces figures.

(558) Cor. 4. Donc en général, les figures planes semblables quelconques, soit rectilignes, curvilignes ou mixtilignes, sont entre elles comme les carrés de leurs côtés ou autres lignes homologues ; car, toute figure, autre que celles déjà énumerées dans les défs. pouvant se décomposer en éléments rectilignes ou curvilignes de la nature de ceux

dont on a jusqu'ici traité en détail, serait sujette au même raisonnement.

(559) Cor. 5. Il est clair aussi que les périmètres de toutes figures planes semblables quelconques, rectilignes, curvili-

OB°): eL° f ) :: etc.

gures sempolygones on puisse es droites ; es, les Secx au centre yures Semsemblables, leraient, au rles égaux ; ou arcs de s de parties lées comme 38 au même pliquer aux eurs, Segentre eux *s ou autres

lanes semes ou mixleurs côtés

, autre que décomposer ire de ceux e au même

PROPOSITIONS, ETO 171

gnes ou mixtilignes, sont entre eux comme les côtés ou autres lignes homologues de ces figures.

Car, dans les figs. semblables, les côtés homologues sont proportionnels, et quelque soit le rapport entre deux quelconques des côtés homologues ; ce même rapport existera entre tous les autres côtés correspondants ou autres lignes homologues des ces figs. Si donc le côté a b, par exemple, est moitié, tiers, double, triple ou tout autre multiple ou sous-multiple de AB ; chaque autre côté de la première fig. sera le même multiple ou sous-multiple du côté correspondant de la seconde, et puisque (102) la somme des antécédents est à la somme des conséquents comme un antécédent à son conséquent ; il est évident qu’on aura le périmètre abcde au périmètre ABCDE comme un côté quelconque a b ou autre ligne homologue du premier au côté AB ou ligne homologue correspondante du second ; done, etc.

(560) Cor. 6. La figure plane, quelconque, décrite sur l’hypoténuse d’un triangle rectangle ; est équivalente à la somme des figures, sembiables entre elles et à la première, décrites sur les deux autres côtés du triangle.

Car (558) les trois figures sont proportionnelles aux carrés de leurs côtés homologues ; c-à-d., aux carrés mêmes décrits sur les côtés du triangle, qui, d’après l’hyp., servent en même temps de côtés homologues aux figs. semblables dessus décrites ; or, le carré de l’hypoténuse équivaut à la somme des carrés décrits sur les deux autres côtés ; donc, etc.

(561) Cor. 7. Si quatre lignes droites sont proportionnelles; les figures semblables dessus construites seront proportionnelles : et si les figures décrites sur quatre lignes sont semblables et proportionnelles ; ces lignes seront proportionnelles; car, par hyp., ces lignes serviront de côtés homologues aux figs. dessus construites, et les figures sembiables sont comme les carrés de leurs côtés homologues; mais si les carrés de quatre quantités sont

proportionnels, les quantités elles-mêmes le seront, puisque si À : B::0:D, l'on aura (104) A° : B°: C°?: D°, et que réciproquement, si A°: B°:: CO? : D°, l'on aura A: B:: C: D.

(562) En second lieu, si les figures sont semblables et proportionnelles, elles seront entre elles comme les carrés des lignes sur lesquelles elles sont décrites. Ces carrés seront donc aussi proportionnels et les lignes elles-mémes le seront, puisque si A? :B°:: C?:D°, d'or a (104) A:B::C

: D; donc, etc.

Remarquons qu’il n’est pas nécessaire que les quatre figs. soient semblables entre elles, maïs seulement que chaque antécédent soit semblable à son conséquent.

(563) Cor. 8. Si trois lignes droites sont proportionnelles ; la première est à la troisième comme une figure quelconque décrite sur la première est à la figure semblable décrite sur la seconde.

Soient À, B, C les trois lignes, telles que A:B::B:C, et vins 2, 4, 8 les représentants numériques de A, B, C; l'on aura £:4::4:8; or, les figs. semblables sont (558) entre elles comme les carrés de leurs qtés Ramalagues; ce qui nous permettra de représenter par A° et B° les figs. décrites sur les lignes A et B. L'on doit donc avoir d’après l'énoncé du Cor., A : C:: A? : B° ou 2: 8:: 2° : 4*; mais 2°—4 et 4*—16 et 2:8::4 : 16. En supposant à A, B, C toutes autres valeurs numériques proportionnelles quelconques, l’on prouverait de même A : C:: A°:B? ; donc, etc.

(564) Sco. 2. Prob. De là, pour trouver le rapport des carrés ou autres figures semblables décrites sur deux lignes données A, B; il n’y a qu’à chercher (517) une troisième proportionnelle à ces deux lignes, telle qme À sont à B comme B est à X; vous aurez alors A.X—B”, ou en multipliant de part et d'autre par A, A°.X—A. B'; d'où (88) A°:B°::A:X.

(565) Sco. 8. Prob. Trouver deux lignes ayant entre

nt, puisque t que réci- C: D.

nblables et » les carrés Ces carrés ]les-mémes L A:B::C

quatre figs.

que chaque

proportionune figure | la figure

3:: B:C, et , B,C; l'on 558) entre ues ; ce qui los. décrites rès l'énoncé

4 et 4—16 tres valeurs

prouverait

apport des s sur deux 7) une troiue À sont à B”°, ou en A. B° ; d'où

vant entre

elles le même rapport que celui entre deux rectangles contenus par des lignes données.

Soient À, B et O, D les côtés des rectangles ; ce qui donnera A.Bet ©C.D. Aux trois lignes B, C, D, trouvez (516) une quatrième proportionnelle X, et le rapport de la ligne À à la ligne X sera le même que celui entre les rectangles donnés ; e-à-d. que l’on aura A:X :: A.B: C.D; car, puisque par constr. B:C:: D: X, il suit (86) que C.D—B.X; et (82. Ax.) les quantités égales ont à la même quantité le même rapport ; donc A.B : C.D:: A.B : B.X; mais (73. Ax.) A.B:B.X:: A:X; donc aussi (75. Ax.) A.B : C.D::A:X.

(566) Sco. 4. Prob. Si OMR. PR l'on avait à décrire une figure qui fût en même temps semblable à deux autres figures semblables et équivalente à leur somme ou différence ; il n’y aurait qu’a chercher (806) le côté X d’un carré équivalent à la somme ou (809) à la différence des carrés décrits sur deux quelconques A, a des côtés homologues des figs. données, et sur ce côté décrire, par la méthode du par. (551), une fig. semblable aux figs. données ; car les figures semblables sont comme les carrés de leurs côtés homologues ; et le carré de X étant équivalent à la somme ou différence des carrés décrits sur les côtés homologues À, a; il s’en suit que la fig. décrite sur X sera équivalente à la somme ou différence des figures données décrites sur les côtés À, a.

(567) Sco. 5. Prob. Si l’on demandait à décrire une figure B semblable à une figure rectiligne donnée A et ayant à cette figure un rapport donnée M:N;ilest clair, d’après ce qui précède, qu'il faudrait trouver le côté homologue de B, tel que le carré de ce côté fût à celui du côté correspondant de la fig. donnée comme M à N ; ce qui se ferait par la méthode du par. (538). L’on décrirait alors par le méthode

du par. (551), sur le côté ainsi trouvé, la fig. demandée B semblable à la fig. donné A. à

(568) Sco. 6. Prob. Décrire

une figure semblable à une figure rectiligne quelconque P et équivalente à une fi-

gure donnée K. A cette fin, il A B

faut d'abord trouver (876) M égale au côté d'un carré équivalent à la fig. P, et N égale au côté d’un carré équivalent à la fig. R, et faire M: N:: AB:X; c-à-d., trouver (516) une quatrième proportionnelle X aux trois lignes M, N et AB. Décrivant alors sur le côté X, homologue à AB, une fig. semblable à P ; cette fig. sera aussi équivalente à la fig. R; car, soit Ÿ la fig. décrite sur le côté X, l’on aura (558) P:Y::AB°:X?, et par constr. AB:X::M:N, ou (104) AB*: X?:: M? : N° ; donc (75. Ax.) P: Y :: M°:N°,. Mais, par constr. l’on a aussi M°=P et N°=R; doncP:Y::P:R; donc (72) Y=R ; donc la fig. Y est semblable à P et égale en surface à R.

(569) Sco. 7. Prob. Parta- 0

ger un triangle donné ABC

en deux parties ADE, DC,

par une ligne DE parallèle à

l’un BC de ses côtés, et de

manière que ces parties

soient entre elles comme À F D HB deux lignes données N, KR.

Puisque la ligne DE doit être parallèle à BC, les triangles ADE, ABC seront semblables et donneront (552) ADE : ABC : AD° : AB°; mais il faut que ADE soit à DC::N:R, ou, ce qui (97. Cor. 2.) est la même chose, que ADE soit a ADE+DC ou à ABC::N:N+R; et (75. Ax.) les rapports qui sont égaux à un même rapport sont égaux entre eux; donc il est nécessaire que l’on ait AD*: AB*::N:N+R; or le par. (538) offre le moyen de trouver un carré AD qui soit à un carré donné AB° comme une ligne donnée Nà

carré équiquivalent à (516) une , N et AB.

B, une fig.

à la fig. R; aura (558) , ou (104) N°. Mais, Y:P:R; Pet égale

À D HB

es triangles 52) ADE :

DC::N:R, A DE soit a es rapports entre eux ; :N+R; or ré AD° qui lonnée N à

une ligne donné N+R. Faisant alors AD= au côté du carré AD* et menant DE parallèle à BC; l'on aura ADE : DO: N:R. |

2° Prob. Diviser un triangle donné ABC en un’nombre quelconque de parties a, b, c, etc. égales, ou ayant entre elles des rapports donnés, par des lignes FG, DE, HK, etc. parallèles entre elles et à l’un BC, des côtés du triangle, n'offrirait pas plus de difficulté que la division en deux parties. En effet, soient M, N, R etc. les lignes indiquant les rapports à observer entre les parties a, b, c, etc. du triangle donné ; il nous faut avoir AF° à AB° :: M :(M+N+R+ etc.), ce qui se fera, comme dans le dernier cas, par la méthode du par: (538). Portant alors sur AB, une longueur AF égale au côté de AF° et menant FG parallèle à BC, on aura la partie a du triangle dans le rapport voulu. Maintenant, pour obtenir FD, l'on fera (538) (M+N+R-+etc.) : AB? :: (M+N): AD* et AD—AF—FD. L'on procédera de même à trouver DH en faisant (588) (M+N+KR-+etc.): AB :: (M+N +R): AH°, et AH—AD donnera DH; et ainsi de suite, quelque soit le nombre des divisions à faire; le premier terme (M+N+R+etc.) restant invariable et étant composé comme on le voit de la somme des lignes indiquant les rapports voulus entre les surfaces a, b, c, etc. ; tandis que le troisième terme varie d’une de ces lignes, soit en plus ou en moins, suivant que l’on poursuit l'opération de gauche à droite ou de droite à gauche. |

(570) Sco. 8. Si dans le problème du pa‘agraphe (566) on connaissait le nombre d'unités de mesure dans les côtés homologues A, a, il est clair que pour trouver le nombre d'unités de mesure dans la ligne X, il n’y aurait qu’à extraire la racine carrée de la somme ou différence des carrés des nombres d'unités contenues dans À et a et procéder ensuite de la manière indiquée.

2° Dans le problème du paragraphe (567), soient b et a les côtés homologues. Le côté cherché b devant être tel

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que &* soit à a2:: M: N ; il est clair que l'on trouverait arithmétiquement Da x M et b=V "2 en carrant le nombre

d'unités de mesure dans le côté d, puis multipliant ce carré par le nombre M ou par le nombre d'unités de mesure dans la ligne M, divisant le produit par N et extrayant la racine carrée du quotient.

(571) Sco. 9. Dans le problème du paragraphe (568) l'opération arithmétique aurait sur l'opération géométrique un avantage très marqué; car, supposant que R fût semblable à P et que X fût son côté homologue à AB, l'on aurait P:R:: AB*: X*; puisque les figures semblables sont entre elles comme les carrés de leurs côtés homologues ; d'où X°=Rx AB” et X=yX2; c-à-d. que pour trouver le

P côté homologue X de la fig. cherchée, il faudrait multiplier le nombre d'unités de mesure dans la surface R par le carré du nombre d'unités dans AB, et après avoir divisé ce produit par le nombre d'unités dans la surface P, extaire la racine carré du quotient; tandis que par construction, il y aurait eu réalité cinq problèmes à résoudre ; savoir : trouver un carré équivalent à la surfarce P, opération comnos£c (2706) de deux problèmes secondaires; puis, trouver un carré équivalent à la surface R, opération encore composée de deux problèmes secondaires ; enfin, trouver (516) une quatrième proportionnelle à trois lignes.

2° Puisque (552) les surfaces des triangles semblables sont entre elles comme les carrés de leurs côtés homologues, ce qui dans le problème du paragraphe (569) donne ABC: ADE :: AB° : AD°; il est clair que si les données de ce prob. étant numériques, il n’y aurait d'abord qu’à diviser le nombre d'unités de mesure, dans la surface du triangle ABC en parties ayant l’une à l’autre le rapport voulu. Faisant alors ABC : ADE : AB*: AD° et extrayant la racine carrée de AD”, on obtiendrait le nombre d'unités de mesure linéaires dans AD, et par là même le point D, ‘par le quel menant DE parallèle à BC, le problème serait résolu.

erait arithle nombre

nt ce carré nesure dans t la racine

‘aphe (568) on géomésant que R ogue à AB, semblables omologues ; * trouver le

udrait mulrface R par avoir divisé e P, extaire struction, il re ; savoir :

ration comuis, trouver core compoouver (516)

blables sont ologues, ce bnne ABC:

nées de ce qu’à diviser du triangle port voulu.

ant la racine is de mesure , par le quel ésolu.