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(850) D'ailleurs, l’on verra peut-être d'une manière plus évidente que si ABC est un triangle équilatéral inscrit, et ADEFG un pentagone régulier inscrit, l'arc AGC qui est le tiers et celui AG le cinquième de la circonférence, contiendront respectivement, le premier, cinq, le second, trois des parties égales dont la circonférence entière contiendra quinze. Par suite, retranchant l'arc AG de l’are AGO, il reste l'arc GC égal aux deux quinzièmes de la circonférence, lequel étant bissecté (415) er #H, donnera enfin l'arc GH ou CH égal à un quinzième de la circonférence. Menant GH et HC et portant autour du cercle (225) des lignes CF, etc. chacune égale à GH ou HC, on aura le quindécagone voulu.

(651) So. 7. Probs, Ayant inscrit dans un cercle un polygone régulier quelconque; si l’on bissecte (415) les arcs sous-tendus par ses côtés, les cordes de ces demi-arcs formeront un nouveau pol. régulier d’un nombre double de côtés. C'est ainsi qu’en ayant un carré inscrit, l’on peut successivernent inscrire des polygones de 8, 16, 32, 64, etc. côtés. Avec l'hexagone on peut former des polygones de 12, 24, 48, 96, etc. côtés. A l’aide du décagone, on aura des polygones de 20, 40, 80, etc. côtés; et au moyen du pentédécagone, l’on peut inscrire des polygones de 30, 60, 120, etc. côtés.

(652) Il est évident que l’on pourrait inscrire dans un cercle un polygone régulier quelconque, pourvu que l’on pôt diviser sa circonférence en un nombre quelconque de parties égales; mais cette division de la circonférence, comme la trisection d'un angle, qui en dépend, est un problème qui n’a pas encore été résolu. Il n’y aucun

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H, donnera e la circonféur du cercle 1 ou HC, on

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moyen d'inscrire dans un cercle un heptagone régulier, ou, ce qui revient au même, la circonférence ne peut-être divisée en sept parties égales par aucun moyen jusqu'à présent connu.

(653) On avait longtemps supposé, qu’à part les polygones déjà enumérés, l'on ne pouvait en inscrire aucun autre par les opérations de la géométrie élementaire, ou ce qui revient au même, par la résoiution d'équations du premier et du second dégrés; mais M. Gauss prouva enfin, dans &s “ Disquisitiones arithmeticæ,’”’ que la circonférence d’un cercle peut se diviser en un nombre quelconque de parties égales capable de s’xprimer par la formule 2"+1, pourvu que ce soit un nombre premier, c-à-d. ne pouvant se résondre en facteurs,

Le nombre 3 est le plus simple de cette catégorie, étant la valeur de la formule lorsque n=1, Le nombre premier suivant est 5, contenu aussi dans la formule lorsque n-2. Mais les polygones de 8 et 5 côtés ont déjà 6t6 inscrits. Le nombre premier suivant exprimé par la formule est 17; de sors qu’il est possible d'inscrire dans un cercle un polygone régulier de 17 côtés, puis de 257 côtés, puis de 6537 côtés, et ainsi de suite, suivant la série 21+1, +1, 24+1, 2°+1, 21641, 2°%:+1, doublant successivement l’exposant.

(654) Il est évident qu’un polygone inscrit quelconque est moindre que le polygone inscrit ayant un nombre double de côtés, puisque (84 Cor.) une partie est moindre que le tout.

PROP. LXXII. THÉOR.

(655) On peut circonscrire à un cercle un polygone régulier quelconque capable de lui être inscrit; et réciproquement, l’on peut inscrire à un cercle un polygone régulier quelconque capable de lui être circonsorit.

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