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La vérité ce cet énoncé découle assez directement du raisonnement suivi au par. (555).

D'ailleurs, soit ACE un pol. régulier d’un nombre quelconque de côtés inscrit dans un cercle ; prolongeant indéfiniment les rayons OA, OB, etc. et par les points T, N, etc., milieux des arcs AB, BC, menant aux rayons OT, ON, etc., les perpendiculaires GE, HI, etc. à la rencontre des rayons prolongés en G, H, L etc., la fig. GIL sera un pol. circonscrit semblable au pol. ACE.

En eïfet, les rayons OT, ON menés du centre aux points milieux des arcs AB, BC sont (407) perpendiculaires aux cordes AB, BC, et bissectent ces cordes cet les angles au centre sous-tendus par ces cordes. Maintenant GH, HI sont perpendiculaires par constr. aux mêmes rayons OT,ON ; d’où (150) GH est parallèle à AB et HI à BC ; les triangles GOH, HOT sont donc équiangles et semblables aux triangles AOB, BOC; mais OA=—OB=etc. ; donc OG—OH=—OI-=-etc. et un cercle décrit du centre O avec un rayon OG passerait par les points G, H, I, etc. Les côtés GH, HI, etc. sont donc des cordes du cercle circonscrit au pol. GIL, et étant soustendue par des angles égaux au centre GOH, HOI, sont égaux entre eux.

De plus, les angles G, H, I, etc. du pol. circonscrit sont égaux à ceux À, B, C, etc. du pol. inscrit, à cause des parallèles AB, GH et BC, HI; donc le pol. circonscrit a tous ses angles égaux et tous ses côtés égaux; donc il est régulier ; et il est semblable au pol. inscrit ACE, étant composé d’un même nombre de triangles semblables GOH, AOB et HOI, BOC, etc., situés d'une manière correspondante

dans chaque figure (207).

des arcs AB, erpendiculaires ongés en G, H, mblable au pol.

ntre aux points ndiculaires aux t les angles au enant GH, HI rayons OT,ON ; CO ; les triangles les aux triangles —O0OH—OI--etc.

mn OG passerait I, etc. sont donc :, et étant sous- OH, HOI, sont

circonscrit sont it, à cause des bol. circonscrit a aux; donc il est \CE, étant combles GOH, AOB correspondante

(656) En second lieu, si GIL est un pol. régulier circonscrit au cercle, il est clair, d’après le raisonnement qu’on vient de faire, qu’en menant les rayons OG, OH, etc. aux angles du pol., et joignant ensuite les points À, B, C, où ces rayons rencontrent le cercle, on aura un pol. inscrit ACE semblable au pol. circonscrit au cercle.

(657) Sco. L. Probs. Ce que l’on vient de dire indiquera de suite la méthode à suivre pour inscrire dans un cercle un polygone régulier quelconque semblable au polygone circonscrit à ce cercle, ou pour circonscrire à un cercle un polygone régulier semblable a polygone inscrit dans ce cercle.

(658) Sco. 2. Il est clair, puisque OT et ON bissectent respectivement (655) les côtés égaux GH, HI, du pol., que HN+HT-HT+TG=H6G, l'un des côtés du polygone.

D'ailleurs, HN, HT sont deux tangentes menées d’un point à un cercle; ce qui (493 ou 506) les rend égales; or HT-TG ; done HG=2HT=HT+HN, comme anparavant.

PROP. LXXIII. THÉOR.

(659) Etant donné un polygone régulier quelconque AEC circonserit à un cercle, on demande à “irconscrire à ce cercle un polygone régulier abcde etc. ayant un nombre de côtés double du premier.

Nous avons démontré (625) que pour circonscrire un pol. rég. quelconque à un cercle, il suffit de diviser la circonférence en autant de parties égales que le pol. a de côtés, mener ensuite des rayons aux points de division, && aux extrémités de ces rayons, moner des perpendiculaires ou tangentes pour déterminer le pol. voulu.

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Or, le cercle GKN est déjà divisé en parties égales aux points G, H, K, etc. puisque les angles GOH, HOK, etc.

sont (625) égaux. Bissectant ces angles égaux en r,s, etc. ce qui bissectera en même temps (405) les arcs GH, HK, etc. et menant aux extrémités E 4 r,s, etc. des rayons Or, Cs, etc. les tangentes oa, bc, de, etc, on aura le pol. rég. demandé abcde ete ayant un nombre de côtés double de celui du pol. donné ABCDE.

(660) Sco. L. Il est clair que le pol. AEC est plus grand en surface que le pol. abcd etc, puisque les triangles A 0 a, B cb, etc. compris dans le premier sont en dehors du second : et si l’on circonscrit au cercle un pol. d’un nombre de côtés double de celui du pol. abc d, l'on voit de même que sa surface sera plus petite que celle du pol. abcd; donc, en général, tout polygone régulier circonserit est plus grand qu'un polygone régulier circonscrit ayant un nombre double de côtés.

(661) Sco. 2. Il est cluir aussi que le pol. AEC est plus grand en perimètre que le pol. a bcd, puisque le côté a o du dernier est plus petit que la somme des parties correspondantes A a, À 0, du premier, la somme de deux côtés quelconques d’un triangle étant (161) plus grande que le troisème côté. .

Si l’on circonscrivait au cercle un troisème pol. ayant un nombre de côtés double de celui du pol. ab c d, i'on prouverait de même que le périmètre de ce dernier est plus petit que celui du second, et ainsi de suite; donc, en général, tout polygone régulier circonscrit est plus grand on périmètre qu’un polygone circonscrit ayant un nombre double de côtés.

(662) Sco. 8. Il n’est pas moins évident que tout polygone régulier inscrit est plus petit en périmètre qu’un polygone inscrit ayant un nombre double de côtés.

oa, be, de, etc., it un nombre EF.

plus grand en riangles À 0 a, )rs du second ; 1 nombre de de même que cd; donc, en st plus grand ;, un nombre

AEC est plus le côté a o du les Corresponix côtés quelque le troisème

pol. ayant un , l'on prouveest plus petit c, en général, us grand on at un nombre

Le tout polyimètre qu’un e côtés.

PROPOSITIONS, ETC. 223 (663) Sco. 4. On a vu (6038) que la surface d’un triangle est égale à son périmètre multiplié par le demi-rayon du cercle inscrit, et l’on voit de même que la surface d’un polygone régulier quelconque AEC est égale à son périmètre multiplié par le demi-rayon du cercle inserit, c'est-à-dire par le demi-rayon droit (175 Déf. c* 555 3°) du polygone; car, tous les triangles AOB, BOL, etc. sont égaux, puisqu'ils ont des bases égales AB, BC, etc. et des hauteurs égales OG, OP, etc. Mais la surface du triangle AOB=ABX40G (348) et celle du triangle BOC—BCxX 30P ou 10G; donc la surface des deux triangles pris ensemb. est égale à (AB+BC)X40G ; et en continuant ainsi la même opération pour les autres triangles COD, etc., on trouve enfin Ja surface entière du polygone égale à (AB+BC+CD-+ete.)x10G ; donc, etc.

PROP. LXXIV. THÉOR.

(664) L’on peut toujours faire deux polygones réguliers ABCD etc. abcd etc. d'un même nombre de côtés, l’un inscrit et l’autre circonscrit à un cercle, différant l’un de l’autre d’une quantité moindre qu'aucune surface assigna ble.

Soit Q le côté d’un carré égal à la surface donnée. Bissectez AC, quart de la circonférence, et procédez ainsi, bissectant toujours l’un des arcs formés par la dernière bissection, jusqu'à ce que vous obteniez un are dont la corde AB soit moindre que Q. Comme cet arc sera une partie exacte de la circonférence, si l’on applique des cordes AB, BC, etc. chacune égale à AB, la dernière terminera en À, et l’on aura un polygone régulier ABOD etc, inscrit dans le cercle.

Décrivant maintenant (657) autour du cercle un pol. abed ete. semblable au premier, la différence entre ces deux polygones sera moinüre que le carré de Q. En effet, des points a et à cnez les lignes 40, b O, au centre O; elles passeront (655) par les points À et B. Menez aussi OK au point de cont#ct K ; elle bissectera (407) AB en I, °t lui sera perpendiculaire, puisque (466) elle est perpendiculaire à la tangente ab qui est parallèle à AB. Prolongez AO jusqu'en E et menez BE. Soit P le polygone circonscrit et p le pol. inscrit; alors, parceque les triangles « O6, AOB sont des parties correspondantes de P et p, l'on aura (78. Ax.) aOb:AOB::P:p; mais les triangles étant semblables donnent (552) a0b: AOB::0 a*: OA? (ou OK°); d'où il suit (75. Ax.) que P:p::0 a°: OA? (cu OK*). De plus, puisque les triangles OakK, EAB scnt semblables, leurs côtés KO, BE étant respectivement parallèles, à cause des angles droits AIO, ABE, (444) l'on a O a° : OK* :: AE* : EB*; d’où, P:p::AE° : EB° ou par conversion (98) P :P —p:: AK? : AE°-EB? ou : AB°.

Mais P est moindre (660) qne le carré décrit sur le diamètre AK; donc *’—»

est moindre que le :arré décrit sur AB, c-à-d. moindre que le carré donné sur la ligne Q ; de là, la différence entre les polygones circonscrit et inscrit peut toujours être faite moindre qu’une surface donnée, si petite quelle soit.

(665) Sco. 1. Un polygone régulier circonscrit ayant un nombre donné de côtés, est plus grand que le cercle, parceque le cercle ne forme qu’une partie du polygone ; et pour une r#ison semblable, le polygone inscrit est moindre que le cercle. Mais en augmentant le nombre de côtés du pol.

unpol.abed tre ces deux Yet, des points lles passeront K au point de ji sera perpenaire à la tan- AO jusqu'en nscrit et p le )b, AOB sont aura (78. Ax.) 1t semblables OK); d'où il %). De plus, 1blables, leurs

}'ROPOSITIONS, ETC. 225

circonscrit, la polygone diminue en surface (660) et par couséquent sa surface se rapproche de celle du cercle; et en augmentant le nombre de côtés du polygone inscrit, le polygone augmente (654) et se rapproche aussi du cercle.

Maintenant, si l’on augmente indéfiniment le nombre de côtés des polygones circonscerit et inscrit, la longueur de chaque côté deviendra indéfiniment petite, et les polygones deviendront enfin égaux l’un à l’autre et en conséquence égaux au cercle.

Car, si les polygones ne deviennent pas enfin égaux, soit D leur plus petite différence; or, on vient de démontrer (664) que la différence entre les polygones inscrit et circonscrit peut-être faite moindre qu'aucune quantité assignable, c-à-d., moindre que D; de là, la différence entre les poly-

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gones serait en même temps égale à D et moindre que D, ce qui est absurde ; donc les polygones deviennent enfin égaux. Mais lorsqu'ils sont égaux, l’un à l’autre, chacun d'eux doit être égal au cercle, puisque le polygone circonscrit

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scrit ayant un cercle, parceone ; et pour moindre que e côtés du pol.

ne peut entrer dans le cercle et que celui qui lui est inscrit ne peut en sortir.

(666) Sco. 2. Puisque le polygone circonscrit a le même ombre de côtés que le polygone correspondant inscrit, et ue les deux polygones sout réguliers, ils sont (555) semblables (207 Déf.) et en conséquence, quand ils deviendront égaux, ils coincideront exactement et auront un périmètre commun. Mais comme les côtés du polygone circonscrit ne peuvent tomber en deuans du cercle, et que ceux du polygone inscrit ne neuvent tomber en dehors, ii suit que les périmètres des polygones se réuniront sur la circonférence du cercle et lui devienäront égaux en longueur.

(667) Sco. 3. Lorsque le nombre des côtés dn polygone inscrit est indéfiniment augmenté, et que le polygone coincide avec le cercle, la ligne OI menée du centre O perpendiculaire au côté du polygone, deviendra un rayon du cercle, et une partie quelconque ABCD du polygane deviendra le secteur OAKBO, et la partie AB+BC du périmètre deviendra l'arc AKBC,

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(668) Sco. 4. Le problème de la quadrature du cercle consiste à trouver un carré égal en surface à celle d’un cercle dont on connait le rayon. Or, il a été démontré (4381) que le cercle est équivalent en surface à un triangle ayant pour hauteur le rayon et pour base une ligne égale en longueur à la circonférence du cercle; et ce triangle peutêtre réduit (291) en un rectangle équivalent, puis (376 ou 585 2°) en un carré.

Carrer le cercle n’est donc autre chose que trouver la circonférence quand on connait le rayon; et pour ce faire, il suffit de connaître le rapport de la circonférence à son rayon ou à son diamètre

Jusqu'à présent, le rapport en question n’a jamais été déterminé qu’approximativement; mais l’approximation a été portée si loin, qu’une connaissance du rapport exact u'offrirait aucun avantage réel sur celui du rapport approximatif. ÆEn conséquence, ce problème qui occupa si profondément les géomètres, lorsque leurs moyens de rapprochement étaient moins parfaits, est maintenant réduit à ces questions oiseuses dont personne ne s'occupera, pourvu qu'il possède la moiädre teinture de science géométrique.

Archimède montra que le rapport dn diamètre à la circonférence est compris entre 848 et 341; de là, 3: ou # offre de suite une approximation assez correcte du rapport voulu; et la simplicité de ce premier rapprochement a fait que l'usage en est devenu très général. Métius, pour le même rapport trouva la valeur ff$ qui est beaucoup plus exacte que la dernière. Enfin d’autres calculateurs trouvèrent vette même valeur, développée jusqu’à un certain ordre de décimales, de 3.141,592,653,589,793,2 etc.

En 1590, Ceuien qui vivait du temps de Métius étendit le caleul jusqu’à 86 chiffres que l’on fit graver sur sa tombe. I parvint à ce résultat en calculant les cordes d’arcs successifs, dont chacun était moitié du précédent, le dernier arc dans ce cas étant le côté d’un polygone de 86,893,488,147, 419,108,222, côtés.

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La méthode de calculer fut ensuite de beaucoup simplifiée par Snell qui porta l’approximation jusqu'à 55 chiffres, à l’aide d’un polygone n'ayant que 5,242,880 côtés.

Par d’autres mathématiciens le culcul fut continué,

atteignant successivement, pendant le dernier siècle, 75, 100, 128 et 140 décimales.

Bien que Lambert en 1761, et plus tard Legendre, dans ses éléments de géométrie, aient prouvé que le rapport du diamètre à la circonférence ne peut être exprimé en nombres ; le désir de satisfaire ceux qui cherchaient encore à obtenir l'expression exacte de ce rapport, engagca d'autres mathématiciens à continuer d’ajouter à ces chiffres. En 1846 l’on obtint correctement 200 décimales et l’année suivante 250, En 1851, le nombre fut porté à 815, puis à 860. M. Shanks porta bientôt ce nombre a 527 décimales et en 1853, à 607 décimales.

Lorsqu'il devintévident que l'expression arithmétique était impossible, plusieurs espérèrent encore obtenir le rapport par construction géométrique ; mais l’on admet géuéralement aujourd’hui que ce dernier moyen est impraticable, et il faut avouer qu'il n’a résulié que peu d’avantage du temps et du travail énormes dévoués à ce fameux problème.

L'Académie des sciences en 1775 et bientôt après, la Société Royale de Londres, pour décourager cette recherche et d’autres aussi futiles, refusa d'examiner par la suite tout travail ayant trait à la quadrature du cercle, la trisection

d'un angle, la duplication du cube et le mouvement perpétuel.

Une approximation de 600 chiffres décimaux et même de moins équivaut à une exactitude parfaite, puisque comme on la déjà dit (58), il suflit d’en faire entrer 17 en compte pour éviter-une erreur de la millième partie d’un pouce sur les 200 millions de lieues qui forment la longueur de la circonférence de d’orbite de la terre autour du soleil; et dans aucun cas on ne connait d'une manière plus exacte la racine d’une puissance imparfaite.

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