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244 GÉOMÊTRIE.
diculaire AB et la tangente AC menées d'un point À quelocnque sur le rayon prolongé AO d’un cercle, et la distance AD de ce point au cercle, pour trouver le rayon.
Ayant mené OF au point de contact F de la tangente AC, et DE tangente au cercle au point D; le triangle AFO sera (466) rectanglo en F'et on aura (506) tangente ED = tangente EF, Maintenaut dans le triangle rectangle ADE, on a l'angle A, compiément de l'angle donné BAC, et le côté AD, pour trouver AE et ED, et puisque EF ED, l'on a AF—AE+ED. On & donc, dans le triangle rectangle AFO, le côté AF et los angles pour trouver OF, rayon du cercle.
(708) Soo. L'étudiant verra comment, en pratique, on ferait application de ce problème pour trouver le rayon do la terre, si on connaissait AD, hauteur d'une montagne élevée et l'angle BAC formé par une ligno horizontale AB et une autre ligne AOC tangento à la surface, le tout dans un même plan (115).
(704) PROB. Trouver le plus grand triangle rectangle qu'on puisse fkire sur une base donnée AB,
La base étant donnée, il est clair que lo triangle qui, sur cette base, aura la plus grande surface, sera celui dont la hauteur sera la plus grande possi.
ble; or le triangle doit être rectangle (444), et il est évident que la hauteur OC est la plus grando possible, quand le sommet C est au milieu de la demi-circonférence, la hauteur étant, dans co cas, moitié de la base.
(705) PROB. Inscrire dans un triangle donné ABC, le plus grand rectangle possible,
l'un point À cercle, et la rer le rayon.
18 le triangle trouver OF,
pratique, on le rayon de ne montagne rizontale AB le tout dans
le rectangle
ra
Û B a plus grande e la demi-cirié de la base.
pnné ABO, le
Soit CIT la hautour du triangle; 0 il n'y a qu’à mener DE par le point milieu K de la hauteur et à faire DF, EG parallèles à CI ou perpendiculaires à AB, pour compléter la fig. Cotte construction donne DE ou FG=HAB. L'étudiant vorrr AY fl (E aussi quo le triangle ext. EGB=EGH, DFA--DFH, DKO
=DKI et EKC=EKH ; c-à-d., que la somme des parties per ne au rectangle, est éiralé à la somme des parties composantes du rectangle, ou en autres mots, que la surface
du rectangle ainsi trouvé est moitié de celle du triangle donné,
On peut encore laisser à l'étudiant le soin de prouver l'exactitude de cette solution; lui rappelant seulement qu'à périmètre égal, le plus grand rectangle est (372) celui dont les côtés, ou la base et la hauteur, approchent le plus de l'égalité.
(706) PROB. Mener par un point donné P une ligne KL qui étant prolongée rencontrerait deux autres lignes indéfinies AB, CD au point O de leur intersection.
Par le point donné P, menez la droite EF et à une distance quelconque de EF, menez GIL parallèle à EF.
Divisez alors (514) GH en Q, de manière à avoir GQ à HQ comme EP à FP, Far le points P, Q menez KL qui sera la ligne demandéo.
Pour preuve, supposez la chose faite ; vous aurez les triangles semblables OQG, OPE et OQH, OPF qui donneront GQ:EP::0Q:0P et HQ:FP::0Q:O0P; d'où (75 Ax.) GQ: EP :: HQ:FP.
Si le point donné P au lieu d’être entre les lignes AB, CD
se trouvait en dehors de l’espace renfermé par ces lignes ; il est clair qu’une construction analogue résoudrait le problème.
(707) PROB. Dans un trapèze (172) rectangulaire ABDC, étant donnés la base AB et les perpendiculaires ou côtés parallèles AC, BD; trouver sur la base la position d'un point E qui soit également éloigné des sommets ou extrémités © et D des côtés parallèles.
Puisque EC doit être égale à ED ; si, du point E, comme centre, avec rayon ED, on décrit une circonférence de cercle; cette circonférence passera par le point C. Ayant prolongé AC jusqu'en G, vous aurez AG=AC (408) et CG=2AC.
Menez CF parallèle à AB ; alors dans le triangle rectangle CFD, vous avez CF=AB (271) et DF—BD—AC, pour trouver OD et l’angle DCF. Ajoutant à l'angle droit FOG, l'angle FCD que vous venez de trouver, vous avez dans le triangle DCG, deux côtés CG, CD et l'angle inclus DCG pour trouver (243) l’angle G. Maintenant (440) l'angle au centre CED est égal au double de l'angle G à la circonférence, appuyé sur le même arc; donc, dans le triangle isocèle CED vous avez la base CD et les angles en Cet D, chacun égal au demi-supplément de E, pour trouver CE ou DE. Enfin, dans l’un ou l’autre des triangles rectangles EBD, EAC, vous avez l’hypoténuse et un côté pour trouver EB ou KA.
(108) Autre solution du dernier problème. On a, comme anparavant, CF parallèle et D égale à AB, et DF=BD—AC ; d'où © F on obtient CD. Par le point milieu H de CD, ayant mené HG parallèle à AC ou BD, on a (825) HG— À ES —R AC+BD. L'angle GHE cest (822)
