DES PARTIES-CIRCULAIRES DE NAPIER

(1386) La règle des parties-circulaires, inventée par Napier, est très utile en trigonométrie sphérique, en ce qu'elle réduit à deux, tous les théorèmes employés dans la solution des triangles rectangles. Ces théorèmes ne sont pas des propositions nouvelles, mais seulement des énoncés particuliers, lesquels à l'aide d'une classification et d'une disposition particulières des parties d'un triangle, comprennent, avec leurs corollaires, les cinq propositions qu'on a démontrées, articles (1355) à (1365) inclusivement. " Elles sont peut-être, dit Playfair, le plus heureux exemple de mémoire artificielle que l'on connaisse."

SPHÉRiaUE. 557

(1387) Déf. 1. Si dans un triangle sphérique ACB, rectangle en A, on met de côté l'angle droit A, pour ne considérer que les cinq parties restantes, savoir, les trois côtés et les deux angles obliques; alors les deux côtés AB, AC qui contiennent l'angle droit, et les compléments des trois autres parties, c.-à-d., le complément de l'angle B, le complément de l'hypoténuse BC et le complément de l'angle C sont appelés les parties-circulaires, parce que quand on les nomme dans l'ordre naturel de leur suite, elles font le tour du triangle.

(1388) Déf. 2. Lorsque, des cinq parties-circulaires, l'on en prend une quelconque pour partie -du-milieu ; alors, des quatre parties restantes, les deux qui l'adjoignent imédiatemeut à droite et à gauche, sont appelées parties-adjacentes et les deux autres, séparées qu'elles le sont de la partie-dumilien par une des parties adjacentes, sont appelées partissopposées.

Ainsi, dans le triangle ACB, les parties-circulaires étant, par la 1ère déf., AB, AC, 90° — B, 90° — BC, et 90° — C ; si l'on prend par exemple AC pour partie-du-milieu, AB et 90 — C, qui lui sont contigues à droite et à gauche, seront les parties-adjacentes, et 90° — B, 90 — BC seront les partiesopposées. De même, si AB est la partie-du-milieu, les parties-adjacentes seront AC, 90° — B, et 90°— BC, 90°— C seront les parties-opposées. Ou, si 90 — BC est la partiedu-milieu, on aura 90° — B et 90 — C pour parties-adjacentes, et AB, AC pour parties-opposées. Cela posé, la règle est comprise dans la suivante :

(1389) Dans tout triangle sphérique rectangle le rayon est à la tangente d'une des parties-adjacentes, comme la tangente de l'autre partie-adjacente, est au sinus de la

partie -du-milieu ; ou, le rayon est au cosinus d'une des parties-opposées, comme le cosinus de l'autre partieopposée est au sinus de la partie-du-milieu. Ce qui veut dire eu d'autres termes (86) que le rectangle formé du rayon et du sinus de la partie-du-milieu, est égal au rectangle des tangentes des parties-adjacentes ; ou, au rectangle des cosinus des parties-opposées.

Ou prouve aiséiïient la vérité des deux théorèmes compris dans cette proposition, en prenant successivement, pour partie-du-milieu, chacune des cinq parties-circulaires, et on trouvera que la prop. générale s'accorde avec quelqu'une des analogies déjà établies (1355 à 1365) ou contenues dans le tableau (1307) ayant trait à la résolution des divers cas du triangle rectangle. Ainsi, dans le triangle ACB, si l'on prend pour partie-du-milieu le complément 90° — BC de l'hypoténuse, les parties-adjacentes étant 90° —B et 90° — C, et AB, AC les parties-opposées ; la règle donne R X cos. BC = cot. B Xcot. C ou (88) U: cot. B :: cot. C : cos. BC (1361). La règle donne aussi R X cos. BC = cos. AB X cos. AC ou (1364) R : cos. AB::cos. AC : COS. BC.

(1390) Pour faire l'application de cette prop. générale à la résolution de l'un quelconque des cas du triangle sphérique rectangle ; considérez laquelle d'entre les parties données et la partie requise, vous devez prendre pour par:ie-du-milieu, de manière que les deux autres parties soient à distances égales de cette dernière, c.-à-d., toutes deux adjacentes ou toutes deux opposées ; alors l'un ou l'autre des deux théor. contenus dans l'énoncé de la prop. donnera la valeur de la partie requise.

Par exemple, soient données AB et BC, pour trouver C ; il est clair que si l'on fait de AB la partie-du-milieu, BC et C seront les parties-opposées; d'où, R X siu. AB = siu. C

Cjorti^-Bo

Xsin.BC, car siu. C =cos. (90° — C) et cos. (90 — BCj =

sin. AB sin. BC ; donc sin. C = in iJC'

Soient encore données BC et C, pour trouver AC ; il est évident que C est moyenne entre les adjacentes AC et (90*^ BC) ; donc R X cos. C = tang. AC X cot. BC, ou

. ^ cos. c ^ , -r,/-.

tang. AC = T77-f = COS. C X tang. BC, puisque comme

on l'a vu (1225) "p-gQ = tang. BC, quand R = 1.

On peut de la même manière résoudre tous les autres cas ; car il suffira toujours d'un ou de deux essais pour s'assurer de la partie à prendre pour milieu, et avec un peu de pratique on jugera sur le coup et sans essai préliminaire de la partie a prendre pour milieu.

(1391) Il n'est pas inutile de disposer les noms des cinq partiescirculaires, autour de la circonférence d'un cercle, à égales distances l'une de l'autre, et de cette manière on voit immédiatement par simple inspection de la fig. la partie-du-milieu.

Faisant successivement de chaque partie, la partie-dumilieu, on a, appelant (pour abréger) a le côté BC opposé à l'angle droit A, b le côté AC opposé à l'angle B, et e le côté AB opposé à l'angle C, les expressions suivantes : lesquelles, comme on le voit, comprennent tons les cas, car chacune d'elles contient les 5 parties du triangle, ou si l'on veut, les 6 parties, puisque R est le sinus de A.

1 — R X cos. a = COS. 6 X cos. c = cot. B X cot. C

2 — R X cos. B = cos. b X sin. C = cot. a X tang. c

3 — R X cos. C = cos. c X sin. B = cot. a X tang. b

4 — R X sin. b = sin. B X sin. a = cot, C X tang. c

5 — R X sin. c = sin. C X sin. a = cot. B X taug. b

Remarquant toujours que sin. B = sin. comp. B, sin. C =

COS. comp. C, sin. a = cos. comp. a, et que de même taug. B

= cot. comp.' de B, cot. C = laug. comp. de C, et cot. a =

taug. comp. de a.

A l'aide de ces 5 équations, ou résoudra tous les cas ; car

si les données sont par exemple C et a que l'on trouve de

suite dans le produit, sin. aXsin. C, de la 5ème équation, on

aura (90) sin. c = sin. a x sin. C ou si R = 1, alors sin. c =

^ T^ , R X sin. c

sin. a X sin. C ; avec B, c, on aura tang. o = n — =

' ' ' * cot. B

sin. c T -n. ^ , -r. I^ X sin. c

— —x) quand K = 1, et avec 6, c, cot. B = — t— =

cot. B ^ ' ' ' tang. o

sm. c -^ ^ . , , , 1,

r 7. De même si les données sont a et c que i on

taug. 0 ^

trouve dans le produit, cot. «Xtang. c, de la 2ème équation ;

cot. a X tang;. c -r, . -, • • ,

on aura COS. B= ^ — H est clair aussi qu avec

^ . , cot. a X tans;, c , 7 •

a, c et C, on aurait cos. b = -— n — ' ®^ ^"^^^ ^' ^' ^' ^^^^•

' ' sin. G

^ cot. « tang. c . . , . TT ^ 1 1 ^-looKN

C = r=^ ; et ainsi de suite. Le tableau (1395)