ENTRE LES COTÉS ET LES ANGLES

DES TRIANGLES SPHERIQUES.

PROP. I. THÉOR.

(1355) Dans tout triangle sphérique rectangle ACB, le sinus AF de l'un quelconque AB des côtés qui comprennent l'angle droit, est au rayon de la sphère, comme la tangente AE de l'autre côté, est à la tangente de l'angle ABC opposé à ce côté.

Soit 0 le centre de la sphère ; OBC, OAB, OAC, seront les plans des côtés, et A ou BAC étant un angle droit, le plan OAC ou OAE sera perpendiculaire au plan OAB. Joignez EF ; l'angle rectiligne EFA est (878) égal à l'angle B ; car EA qui est (1218) perpendiculaire à OA, est (926) perpendiculaire au plan OAB et

comme AF est (1214) perpendiculaire à OB, EF est aussi (904) perpendiculaire à OB ; cela posé, on a (1307, 13) dans le triangle rectiligne FAE, rectangle (882) en A, la proportion AF : R:: AE : taug. AFE ; donc, sin. AB : R :: tang. AC : tang. ABC ; donc, etc.

(1356) Cor. Puisque par cette prop. on a sin. AB:R:: tang. AC : tang. ABC, ou ait. (94) et inv. (93) tang. AC : sin. AB :: tang. ABC : R ; et parce que (1225) R : cet. ABC ::tang. AJ3C: R; donc (75 Ax.) sin. AB :cot. ABC :; tang. AC : R. (1)

PROP. II. THÉOR.

(1357) Dans tout triangle sphérique rectangle ACB, le sinus CE de l'hypoténuse BC, est au rayon, comme le sinus CF de l'un quelconque AC des deux autres côtés, est au sinus de l'angle ABC opposé à ce côté. (2)

Car, d'abord, CF étant le 3inu3 de AC, c.-à-d., (1214) perpendiculaire à OA et (926) perpendiculaire au plan GAB, à cause de l'angle droit A ; si du point F l'on mène FE perpendiculaire à OB, et que l'on joigne ensuite

(1) Renouvelons ici la recommandation déjà faite à l'élève (voyez la note, page 462) quand il y a à déduire une proportion de deux ou plusieurs autres proportions : d'écrire ces dernières, les unes au-dessus des autres ; ce qui indiquera de suite l'égalité ou la proportionnalité des antécédents ou des conséquents, et permettra de tirer plus immédiatement de cette disposition des divers rapports, les proportions voulues.

(2) Voyez la note, page 448, et menez (dans les conditions voulues par l'énoncé) dans les plans composants OBC, OAB, OAC des angles d'un triangle spliérique rectangle ainsi formé, les droites CE, CF, EF ; ce qui lacilitera de beaucoup l'intelligence de la démonstration.

SPHÉRiaUE. 539

CE, CE sera (904) perpendiculaire à OB ; c.-à-d., CE sera le sinus de BC, et l'angle rectiligne FEC formé des droites FE, CE, chacune perpendiculaire à la commune intersection OB des plans OBA, OBC, sera la mesure de l'angle sphérique B du triangle ABC. Cela étant, on a, dans le triangle rectiligne EFC, rectangle (882) en F, la proportion (1307, 9) CE : R :: CF : sin. CEE ; donc, etc.

(1358) La démonstration de ce théorème et du dernier, suppose un triangle dont les côtés et l'hypoténuse sont chacun moindre qu'un quart-de-cercle, et cela seulement pour en faciliter l'intelligence. Mais un triangle rectangle quelconque conduirait au même résultat ; car si l'un AC des côtés du triangle était plus grand qu'un quart-de-cercle, le sinus de ce côté étant égal à celui de son supplément, aurait encore le même rapport au sinus de l'hypoténuse BC ; puisque cette hypoténuse serait alors (1349) supplémentaire de celle qui correspondrait à un côté AC moindre qu'un quart-de-cercle, et que son sinus serait en conséquence égal à celui de son supplément. Il est vrai que dans ce même cas, l'angle B' opposé au côté AC > 90^ serait obtus ; mais il serait en même temps supplémentaire de B et aurait encore par conséquent le même sinus ; de là, Pénoncé du théorème est général.

PROP. III. THÉOR.

fl359) Dans tout triangle sphérique rectangle ACB, le cosinus de l'hypoténuse BC, est au rayon, comme la cotangente de l'un quelconque ABC des deux angles obliques, est à la tangente de l'autre angle ACB.

Du point B, comme "pôle, décrivez l'arc DF pour rencontrer en E et F les côtés BC, AC, prolongés du triangle. Puisque l'angle A est droit par hyp., le cercle AF, c.-à-d. son plan est perpendiculaire au cercle BD, et DF décrit du pôle B est aussi " ^

(1153) perpendiculaire à BD ; d'où, l'intersection F de ces cercles est (1156, 2^) le pôle de BD. Les arcs A F, DF sont donc (1153) des quart-de-cercles, comme le sont aussi les arcs BD, BE. Donc, dans le triangle CEF, rectangle en E, CE est le complément de BC hypoténuse du triangle ACB ; EF est le complément de l'arc ED, mesure (1160) de l'angle ABC ; FC, hypoténuse du triangle CEF, est le complément de AC ; et l'arc AD qui est la mesure de l'angle CFE est le complément de AB. Or, dans le triangle rectangle CEF, on a (1355) sin. CE : E :: tang. EF : tang. ECF, ce qui, dans le triangle ACB, donne cos. BC : R :: cot. ABC : tang. ACB ; l'angle ACB étant égal (1162) à son opposé au sommet ECF, le cosinus de BC égal (1224) au sinus de son complément CE, et la cotangente de l'angle B, c.-à-d. de l'arc ED qui en est la mesure, égale (1224) à la tangente de son complément EF ; donc, etc.

(1360) Cor. Parce que cos. BC : R :: cot. ABC : tang. ACB, ou, ait., COS. BC : cot. ABC :: R : tang. ACB, et comme (1225) cot. ACB : R :: R : tang. ACB ; on obtient {'75 Ax.) cos. BC -. cot. ABC :: cot. ACB : R, ou ait., cos. BC : cot. ACB :: cot. ABC : R, et inv., cot. ACB *: cos. : BC :: R : cot. ABC. (Lisez la note, page 462.)

PROP. IV. THÉOR.

(1361) Dans les triangles sphériques rectangles, le

SPHÉRiaUE. 541

cosinus d'un angle, est au rayon, comme la tangente du côté adjacent à cet angle, est à la tangente de l'hypoténuse.

Car, on a (1355) dans le triangle CEF, sin. EF:R:: tang. CE : tang. CEE ; mais sin. EF = cos. ABC, tang, CE = cot. BC, et tang. CEE = cot. AB ; donc, cos. ABC : R :: cot. BC : cot. AB. Maintenant, parce que (1225) cot. BC ; R :: R : tang. BC et que cot. AB : R :: R : tang. AB ; on a (86) cot. BC X tang. BC = cot. AB X tang. AB = R^ ; d'où, (88) cot. BC : cot. AB :: tang. AB : tang. BC ; donc, (75 Ax.) cos. ABC : R :: tang. AB : tang. BC.

(1362) Cor. 1. Il suit de la démonstration que les tangentes de deux arcs quelconques sont réciproquement (66) proportionnelles à leurs cotangentes.

(1363) Cor. 2. Parce que cos. ABC : R:: tang. AB : tang. BC, et que (1225) R : cot. BC :: tang. BC : R, on a ait., dans les deux proportions, cos. ABC: tang. AB :: R : tang. BC et cot. BC : R :: R : tang. BC ; d'où, (75 Ax.) cos. ABC : tang. AB :: cot. BC : R, ou ait, cos. ABC : cot. BC :: tang. AB : R ; c'est-à-dire, le cosinus de l'un quelconque des angles obliques, est à la cotangente de l'hypoténuse, comme la tangente du côté adjacent à l'angle, est au rayon.

PROP. V. THÉOR.

(1364) Dans les triangles sphériques rectangles :

1° Le cosinus d'un côté, est au rayon, comme le cosinus de l'hypoténuse, est au cosinus de l'autre côté.

Dans le triangle CEF, on a (1357) sin. CE : R :: sin. CE : sin. CFE ; mais, sin. CE = cos. AC, sin. CE = cos. BC, et sin. CEE = COS. AB ; donc, cos. AC : R :: cos. BC : cos. AB et de même, cos. AB : R :: cos. BC : cos. AC.

(1365) 2° Le cosinus d'un côté, est au rayon, comme le cosinus de l'angle opposé à ce côté, est au sinus de l'autre angle.

TEIGONOMÉTRIE

Le triangle CEF donne (1357) sin. CF : R :: sin. EF : sin. ECF ; or sin. CF = cos. AC, sin. EF = cos. ABC et sin. ECF = sin. ACB ; donc, cos. AC : R :: cos. ABC : sin. ACB, et de même, cos. AB : R, :: cos. ACB : sin. ABC.

PROP. VI. THÉOR.

(1366) Dans tout triangle sphérique ACB, soit rectangle ou oblique-angle ; les sinus des côtés sont entre eux comme les sinus des angles opposés à ces côtés.

Car, Soit ACB un triangle rectangle en A ; on a (1357) le sinus de l'hypoténuse BC, au rayon (sinus (1215) de l'angle droit A) comme le sinus du côté AC, au sinus de l'angle B; et de même, sinus BC:R::

sinus AB : sinus C ; d'où, (75 Ax.) sin. AC : sin. B :: sin. AB : sin. C.

En second lieu, soit ABC un triangle oblique-angle, et CD une perpendiculaire menée de l'un C des angles, à la base ou au côté opposé AB prolongé s'il le faut. On a (1357) dans le triangle rectangle ADC (Lisez la note page 462), sin. AC : R :: sin. CD : sin. A, et dans le triangle rectangle BDC, on a sin.BC.-Rrrsin. CD: sin. B ; d'où, (86) sin. BC X sin. B = sin. AC X sin. A = sin. CD X R ; donc, (68) sin. BC : sin. AC :: sin. A : sin. B. On démontre de la même manière que sin. BCrsin. AB:: sin. A: sin. C ; donc (75 Ax.) sin. AB : sin. C :: sin. AC : sin. B :: sin. BC : sin. A, ou ait, sin. BC : sin. AB : sin. AC :: sin. A : sin. C : sin. B.

SPHÉRiaUE. 543

PROP. VII. THÉOR.

(1367) Dans tout triangle sphérique ACB, si l'on mène de l'un quelconque C des angles, une perpendiculaire CD au côté opposé, prolongé s'il le faut ;

1° Les cosinus des angles A et B à la base sont proportionnels aux sinus des segments ACD, BCD de l'angle vertical C ; c.-à-d., ces. A : ces. B :: sin. ACD : sin. BCD. Car, dans le triangle rectangle ADC, on a (1365) ces. CD : R :: COS. A : sin. ACD, et dans le triangle rectangle BDC, on a COS. CD : R :: COS. B : sin. BCD ; d'où, (75 Ax.) ces. A : sin. ACD :: COS. B : sin. BCD et, ait., cos. A: ces. B :: sin. ACD : sin. BCD.

(1368) 2° Les cosinus des côtés AC, BC sont proportionnels aux cosinus des segments AD, BD de la base. Car, (1364) dans le triangle rectangle ADC, on a cos. AC : COS. AD :: cos. DC : R et dans le triangle rectangle BDC, on a COS. BC : cos. BD :; cos. DC : R ; d'où, (75) cos. AC : cos. AD :: Cos. BC : cos. BD, ou ait., cos. AC : cos. BC :: cos. AD . cos. BD.

(1369) 3° Les sinus des segments AD, BD, de la base, sont réciproquement proportionnels aux tangentes des angles B et A à la base. Car, dans le triangle rectangle ADC on a (1355) sin. AD : R :: tang. DC : tang. A et dans le triangle rectangle BDC, on a sin. BD : R :: tang. DC : tang. B ; donc, (86) sin. BD X tang. B = sin. AD X tang. A = R X tang. DC, et (88) sin. AD : sin. BD : tang. B : tang. A.

(1370) 4° Les cosinus des segments ACD, BCD de l'angle vertical sont réciproquement proportionnels aux tangentes des côtés. Car, (1361) dans le triangle rectangle ADC on a, tang. CD : tang. AC :: cos. ACD : R, et dans le triangle rectangle BDC on a tang. CD : tang. BC :: cos. BCD : R ; de là, (86 et 88) cos. ACD : cos. BCD :: tang. BC : tang. AC.

PROP. VIII. THÉOR.

(1371) Si, de l'un quelconque C des angles d'un triangle sphérique ACB, l'on mène une perpendiculaire CD au côté opposé, AB, prolongé s'il le faut ; le rectangle des tangentes de la demi-somme et de la demi-difFérence des segments AD, BT), de la base, est égal au rectangle des tangentes de la demi-somme et de la demi-difFérence des côtés AC BC. C'est-à-dire : tang. J (BD + AD) X tang. J (BD — AD = tang. i (BC -f AC) X tang. i (BO — AC).

Pour sim.

plier la démonstration , soit BD = m, AD = n, BC

— (2, AC = b ;

on aura tang. B ^ A.

I (m + 7i)X tang. J {m — n) — tang. \ia-\- h) X tang. J (a — b).

Puisqne (1268) cos. a : cos. b:: cos. m : cos. n, et que div. (96) COS. a — COS. b : cos. b :: cos. m — cos. n : cos. n, et comp. (95) cos. a -f cos. b : cos. b:: cos. m -f cos. n : cos. n ; on a (100), cos. a -f cos. b : cos. a — cos b :: cos. m + cos. n : cos. m

— COS. n; mai s (1238) cos. a -f cos. b : cos. a — cos. b : : cot. |- {a-\-b) : tang. | (a — b) et de même, cos. m -f cos. n : cos. m — cos. n :: cot. | (m H- w) : tang. ^ (m — n); d'où, (75 Ax.) cot. J (« -j- 6) : tang. | (a — 6) : : cot. J (w -f ?i) : tang. J (m — n) : Et parce que (330) les rectangles de même hauteur sont entre eux comme leurs bases, on a tang. J (a + 6) X cot. | (a + i) : tang. | (a -f 6) X tang. ^ (a — b) :: tang. |(m -f w) x cot. J (m + w) : tang. | (m -j- n) X tang. J (m — r?,). Or les premier et troisième termes de ce rapport sont (1225) égaux, étant chacun égal au carré du rayon ; donc (94) les second et quatrième termes sont aussi égaux, et l'on a tang. J (m + w)

SPHÉRiaiTE. 545

X taiig. h (m ~n) = tang. i (a + è) X tang. l(a — b); c.-à-d. tang. i (BD+ AD)Xtang. | (BD — AD)=tang. i (BC + AC) X tang. -J (BC - AC).

(1372) Cor. 1. Parce que (545, on 332 et 88) les côtés des rectangles (171) éganx sont réciproquement proportionnels ; on a tang. i (BD + AD) : tang. J (BC + AC) :: tang. J (BC — AC) : tang. i (BD — AD).

(1373) Cor. 2. Puisque, quand la perpendiculaire CD tombe en dedans du triangle, on a BD + AD = AB, la base ; et quand CD tombe en dehors du triangle, on a BD — AD = AB ; donc dans le premier cas, la proportion dans le dernier corollaire devient, tang. i (AB) : tang. | (BC+AC) :: tang. 1 (BC — AC) : tang. | (BD — AD) ; et dans le second cas, la proportion devient, inv. et ait., tang. | (AB) : tang. |- (BC + AC) :: tang. i (BC — AC) :tang. i (BD + AD).

(1374) Sco. Ce théorème est très utile en trigonométrie sphérique ; on peut aisément s'en rappeler, par raison de son analogie à celui (614) de la géométrie rect. ou (1244) de la trigonométrie rect. que : le rectangle de la demi-somme et demi-différence des côtés d'un triangle rectiligue est égal au rectangle de la demi-somme et demi-différence des segments de la base. Cette proposition et les deux suivantes sont dues à Xapier, et sont si bien adaptées au calcul par logarithmes, qu'on doit les considérer comme trois des propositions les plus précieuses de la trigonométrie.

PROP. IX. THÉOR.

(1375) Si du sommet à la base d'un triangle sphérique quelconque ACB, l'on mène une perpendiculaire CD ; le sinus de la somme des angles à la base, est au sinus de leur différence, comme la tangente de la demi -base, est à la tangente de la demi-diflérence de ses segments, quand la perpendiculaire tombe en dedans ; mais, comme la cotangente de la demi-base, à la eotangente de la demi-

somme des segments, quand la perpendiculaire tombe en dehors du triangle : Et le sinus de la somme des deux côtés, est au sinus de leur différence, comme la cotangente de la moitié de l'angle compris par les côtés, est à la tangente de la demi-différence des segmeuts de l'angle vertical, c'est-à dire des angles que fait la perpendiculaire avec ces côtés quand elle tombe en dedans du triangle, ou à la tangente de la demi-somme de ces angles, quand la perpendiculaire tombe en dehors. C'est-à-dire, sin. (A-f B) : sin. (A — B :: tang.iAB : tang. i (BD — AD) quand CD tombe en dedans du triangle ; mais sin. ( A + B) : sin. (A — B) :: cot. | AB : cot. i (BD+AD) quand CD tombe en dehors. Et sin. (BC + AC) : sin. (BC — AC) :: cot. J ACB : tang. J (BCD — ACD) quand AD tombe en dedans ; mais quand AD tombe en dehors, sin. (BC + AC} : sin. (BC — AC) :: cot. J ACB : tang. i (BCD + ACD).

Car, dans le triangle BCA, on a (1369) tang.

B: tang. A :: sin.

AD : sin. BD, et de là, div., tang.

A — tang. B : tang. B :: sin.BD — sin. AD : sin. BD, et comp., tang. A -f tang. B : tang. B :: sin. BD -f sin. AD : sin. AD et (99) tang. A -f tang. B : tang. A — tang. B :: sin. BD -f sin. AD : sin.BD ~ sin. AD; Or, par le lemme suivant, on a tang. A -f tang. B : tang. A — tang. B:: sin. (A-f B) : sin. (A — B); et, (1237) sin. BD + sin. AD : sin. BD — sin. AD :: tang. i (BD -f AD) : tang. i(BD — AD) ; donc, parce que (75 Ax.) les rapports qui sont égaux à un même rapport sont égaux entre eux, (lisez la note, page 462), sin. (A -f B) : sin. (A — B) :: tang. 1 (BD + AD) : tang. J (BD — AD).

Maintenant, quand CD est au dedans du triangle, BD -f

AD = AB et de là, sin. (A + B) : sin. (A — B) :: tang. 1 AB : tang. J (BD —AD) et quand CD est en dehors du triaugle, BD — AD = AB et de là, sin. (A + B) : sin. (A — B) tang. i (BD + AD) : tang. | AB, ou parce que (1362) les tangentes de lieux arcs quelconques sont réciproquement comme leurs cotangentes, sin. (A + B : sin. (A — B) :: cot. J AB : cot, J (BD + AD).

(1376) Il est encore à démontrer la seconde partie de la proposition. Or, le théor. (1370) donne tang. BC : tang. AC :: COS. ACD :'cos. BCD ; d'où on a (div., comp. et 99) comme auparavant, tang. BC + tang. AC : tang. BC — tang. AC :: COS. ACD + cos. BCD : cos. ACD — cos. BCD ; mais, (liEM.) tang. BC + tang. AC : tang. BC — tang. AC :: sin. (BC + AC) : sin. (BC — AC), et^ (1238) cos. ACD + COS. BCD : COS. ACD — cos. BCD :: cot. i (BCD + ACD) : t:ing. -I (BCD -ACD). Donc (75 Ax.) sin. (BC + AC) : sin. (BC — AC) :: cot. J (BCD + ACD) : tang. i (BCD — ACD). Maintenant quand CD tombe en dedans du triangle, BCD + ACD = ACB et de là, sin. (BC + AC) : sin. (BC — AC) :: cot. 1 ACB : tang. | (BCD — ACD).

Mais si la perpendiculaire tombe en dehors, BCD — ACD = ACB et de là, sin. (BC + AC) : sin. (BC — AC) :: cot. J (BCD + ACD : tang. i ACB ; ou parce que (1362) cot. i (BCD + ACD) : tang. i ACB :: cot. | ACB : tang. | (BCD+ ACD), sin. (BC + AC)^ sin. (BC — AC) :: cot. J ACB : tang. i (BCD + ACD).

liEMME.

(1377) La somme des tangentes de deux arcs quelconques A, B, est à la diflérenee de ces tangentes, comme le sinus de la somme des ares, est au sinus de leur diflérenee ; ou tang. A+ tang. B : tang. A — tang. B :: sin. (A+B) : sin. (A — B) ; car, (1250, R = 1) sin. A X cos. B + cos. A X sin. B = sin. (A -f- B), et divisant le tout par cos. A X cos.

■r, ^ sin.A , sin. B sin. (A + B) , , sin. A

B, on a H- ^ — ^ ! ^ ; c.-a-d., jr

COS. A COS. B COS. A X cos. B cos. A

étant (1228) = tang. A, et — ^ = tang. B, on a tang. A +

, -o sin. (A + B) , T , ^ .

tang. ±>= r-^ ==r et de même on prouve que tansf. A

* cos. A X COS. B L ï ^

, r> sin. A — B T ^ -1 -^ X * I

— tans;. B = -. ^ ; a ou il suit que tang. A +

^ COS. A X COS. B ' loi

tang. B : tang. A — tang. B :: sin. (A + B) : sin. (A — B),

puisque (73) l'égalité des diviseurs cos. A X cos. B des

deux derniers termes, fait qu'on peut les supprimer sans en

changer le rapport.

PROP. X. THÉOR.

(1378) Le sinus de la demi-somme de deux quelconques des angles d'un triangle sphérique, est au sinus de leur demi-diôérence, comme la tangente de la moitié du côté adjacent à ces angles est à la tangente de la demidiftérence des côtés qui leur sont opposés ; et le cosinus de la demi-somme des mêmes angles, est au cosinus de leur demi-diôérence, comme la tangente de la moitié du côté qui leur est adjacent, à la tangente de la demisomme des côtés qui leur sont opposés ; ou, sin. | (A-|-B) : sin. 1 (A — B) :: tang. -| AB : tang. i (BC — AC) ; et cos. i (A + B) : COS. HA. — B) :: tang. J AB : tang. J (BC + AC).

Pour simplifier la démonstion, soit A + B = 2S, A — B = 2D, la base AB = 2B, et la difiérence des segments de la base, ou BD — AD = 2X. Alors parce que, par le dernier théorème, on a sin. (A + B) : sin. (A— B) :: tang. i AB : tang. i (BD— AD), on aura sin. 2S : sin. 2D :: tang. B : tang. X. Maintenant, siu.

SPHÉRiaUE. 549

2S = sin. (S + S)=(1251, R = 1) 2 sin. S X cos. S. De même, sin. 2D = 2 sin.D X cos. D ; donc sin. S X cos. S : sin.D x COS. D :: tang. B : tang. X.

De pins, dans le triangle sphériqne ACB on a (1366) sin. A : sin. B :: sin. BC :sin. AC, ce qui donne (div. conip. et 99) sin, A + sin. B : sin. A — sin. B :: sin. BC + sin. AC : sin. BC

— sin.AC, et puisque (1252,2°) sin. A + sin. B = 2sin. i (A + B) X COS. J (A — B) (car il est clair que 2 sin. A + B est

la même chose que 2 sin. |(A + B) et que cos. i (A — B) est la même chose que cos. (A — B)) = 2 sin. S X cos. D ; et (*)

sin. A — sin. B = 2 cos. i (A + B) X sin. f (A — B) = 2 cos. S X sin. D ; donc (lisez la note, page 462) 2 sin. S X cos. D : 2 cos. S X sin. D :: sin. BC + sin. AC : sin. BC — sin.AC.

Mais (1237) sin. BC + sin. AC : sin. BC — sin. AC :: tang. I BC + AC : tang. i BC — AC ; donc (75 Ax.) 2 sin. S x COS. D : 2 COS. S x sin. D :: tang. | (BC + AC) : tang. | (BC

— AC) j ou pour simplifier encore, remplaçant par Z

l'expression i (BC + AC) et par Y l'expression i (BC — AC),

on aura sin. S X cos. D : cos. S x sin. D :: tang. Z : tang. Y.

HT • 4. 4. • /£»rtN tang. X sin. D X cos. D ,

Maintenant, puisque 60) ^^-^=p = -. — ^.--^ Liir, (nor

' -^ ^ ^ ' tang. B sin. S X cos. S' ^

on a déjà établi la proportion sin. S X cos S : sin. D X cos.

S :: tang. B : tang, X) et puisqu'on a de même - — ^^^^^ =

tang. Z

COS. S X sin.D . ,, . , .. , , ,

sin, S X cos.D' ^^ multiplie ensemble les quantités

égales, on obtient (78 et 70)

tang, X tang. Y(sin. D)^ X cos. S X cos. D (sin. D)^

tang. B tang. Z (sin. ^f X cos. S X cos. D ~(sin. S)-'

(•) Les triangles semblables (322) CGB, DNL, (1249) donnent CB : CG : : DL : DN ; d'où, (86) CB x DN = CG x DL ; c'est-à-dire, R x ^ sin. (A + B) - ^ sin. (A-B) = cos. Ax sin. B, ou, R étant -1, cos. A x sin. B

— ^ sin. (A + B) - ^ sin. (A - B) ; d'où l'on tire d'une manière analogue à celle du par. (1252, 2°) sin. A - sin. B = 2 cos. ^ (A -f B) x sin. ^ (A - B).

Mais (1371, eO) |îM^nBD-AD) ^ ta^s-KEC + AQ

^ ' ' tang. 1 (BC — AC) tang. i AB

, , , ,. tang. X tang. Z tang. X tang. Z X tang.Y

c est-a-dire ■ = — ^^ ; or, = ^^ ^ —

tang. Y tang. B tang. B (tang. B)

tang. Y (tang.Y) tang. X tang,Y

tan^Z ~ taug.X X tang. B ' ^^^"^ tang. B ^ tang. Z ^

tancr. Z X tano;. Y X (tang. Y'r • . rj ^, . ^ ^^^ ^=^ !^ = ^; raais tang. Z X tang. Y =

tang. X X tang. B X (tang. B)"

tano". X tano". Z

tansc- X X tang. B, à cause de ^^^-r^ = r ^ ^^t> '■> donc (70)

® * ' tang. 1 tang. B ' ^

tang. Z X tang. Y X (tang. Y)''^ (tang. Y)'^ tang. X

tang. X X tang. B X (tang. Bf ~ (tang. B)'^ ' tang. B

tang. Y (tang. Y)"

tang. Z (tang. B)'^

. , . tang.X tang.Y (sin. D)^

Or, ou vient de voir que X — = ^^ o ;

tang. B tang. Z (sin. S/

\, , (tang.Y)^ (sin. D)^ „^ tansr. Y sin. D

d'où ^^ ^^ -, = ~ ; et (73) — = , ou

(tang. B) (sin. S) tang. B sin. S

(61) sin. S : sin. D :: tang. B : tang. Y, c.-à-d. sin. (iH + B) :

siu. (A — B) :: tang. i AB : tang. i (BO — AC) ; ce qui

prouve la première partie de la propositon.

^ ... . tano;. Y cos. S x sin. D

Jjjn second lieu, puisque - — - — rv = -■ — ;3-— : r\ ou,

' ^ '■ tang. Z sm. b X cos. D '

tang. Z sin.Sxcos.D . tanç^.X sin.DXcos.D

mv. 7 — --^ct= o,, • — ^T\5 6t puisque- — ^ — b="^ — zrr. ô

tang.ï cos.Sxsin.D' ^ ^ tang. B sm. feXcos. S

on obtient, en multipliant les égales par les égales et supprimant les quantités qui se détruisent, c.-à-d. les multiplicateurs communs aux deux termes de la fraction, J'-^-^-n, x

tang. B

tang. Z (cos. D)^ . tang;. X

— ^— — = —o" Mais on a deja vu que ^ v

tang.Y (cos. S)^ -^ ' tang. B

tang.Y (tano-. Y)'' tang. Z tano-.X

— '■ — - = : ^ — —.) ou mettant — ^ — on a x

tang. Z (tang. B) tang. Y tang. B

tang. Z (tang. Z)'^ . tang.X

— - — = ^ et comme on a aussi — ^ — x

tang. Y (tang. By tang. B

SPHÉEIQTTE. 551

ti-mo-. Z (cos. D)^ ^„ , (COS. D-)2 (tanor. Zy2

— '■ = ^ on aura (68 Ax.) r, == zr^

tang. y (COS. S)' (cos. S)' (tang. B)^

„^N COS. D tan or. Z ,. „

et par conséquent (73) ^ = t — )^n ou (61) cos. S : cos.

D :: tang. B : tang. Z, c'est-à-dire, cos. (A + B) : cos. (A — B) :: tang. ^ AB : tang. |- (BC-fAC) ; ce qui prouve la seconde partie du théorème.

(1379) Cor. 1. En faisant 0

l'application de cette proposi- y/\ y^ /\

tiou au triangle polaire ou supplémentaire (1172) de ACB, et considérant que le sinus de la demi-somme ou demi-diô'érence des suppléments de deux arcs, est le même que le sinus de la demisomme ou de la demi-diliereuce des arcs eux-mêmes, et qu'il en est ainsi des cosinus ou des tangentes de la demi-somme ou demi-ditFérence des suppléments de deux arcs ; et que la tangente du demi-supplément d'un arc est la même que la cotangente de la moitié de l'arc lui-même, il s'en suivra, que le sinus de la demi-somine de deux quelconques des côtés d'un triangle sphsrique, est au sinus de leiu: demidifiérence, comme la cotangente de la moitié de l'angle compris par ces côtés, est à la tangente de la demidifîérenee des angles qui leur sont opposés : et que le cosinus de la demi-somme de ces côtés, est au cosinus de leur demi-différence, comme la cotangente du demiangle compris entre ces côtés, est à la tangente de la demi-somme des angles qui leur sont opposés.

(1380j Cor. 2. Donc si A, B, C, sont les trois angles d'un triangle sphérique et a, 6, (?, les côtés opposés à ces angles, ou aura

1° Sin. \ (A + B) : siu. \ (A— B) :: tang. \ c : tang. lia—h-) 2° Cos. A (A -f B) : cos. \ (A— B) :: tang. | c : tang. \ (a + b) 3° Sin. 1 (a -f 6) : sin. *(« — ^0 '- cot. J C :tang.* (A— B) 4° Cos. l (a + b) : cos. Ha — b) :: cot. i C : tang. h (A+ B)

(1381) Ce seul théorème de ÎTapier nous fournit donc le moyen de résoudre quatre des six (1336) cas du triangle sphérique. En effet :

Etant donnés deux côtés a et 6 et l'angle A opposé à l'un deux.

Trouver B, l'angle opposé à l'autre côté donné.

Sin. a : sin. b :: sin. A : sin. B ; d'où, sin. B = sin. A X ■ ' •

siu. a

Trouver l'angle inclus C.

Cot. i C = targ. i (A- B) X ,.„4^(^tj

Trouver le troisième côté c.

^. . . /-. • • -1, V • • sin. C

Sm. A : sin. C :: &in. a : sm. c ; d'où sin. c = sin. a X—- *

' sm. A

Etant donnés deux angles A et B et le côté a opposé à l'un deux.

Trouver b, le côté opposé à l'autre angle donné.

Sin. A : sin. B ::sin. a : sin. b ; d'où, sin. b = sin. a X ■ . •

Trouver c, le côté compris entre les angles donnés.

rr. , -, ^ ,, sin. i(A + B)

Tang. i c = tang. i (a — è) X s^u. I|a — B)'

Trouver le troisième angle C.

Sin. a : sin. c :: sin. A : sin. C ; d'où sin. C = sin. A X - ' •

siu.a

Etant donnés deux côtés a et 6 et l'angle C inclus. Trouver les angles A et B.

Tang.i(A+B) = eot.^Cx:°:;i:^^| + i (A B)

" ^ ^ J- et (368)

Tang. KA-B) = cot. i G X Sl^^ig^lj J B=HA +B)

SPHÉRiaUE.

Trouver le troisième côté e.

Sin. B : siu. C :: sin. a : sin. e ; d'où sin. c = sin a X

sin. C sin. J3*

Etant donnés deux angles A et B et le côté c compris entre eux.

Trouver les deux autres côtés a et b.

co« ifA — bO a = J(a + 6) Tang.H^ + 6) = tang.|cX^^^;|^^^| +*(— ^)

. J ^ j> et (368)

Trouver le troisième ansrle C.

Sin. a : sin. c:: sin. A : sin. C ; d'où, sin. C = siu. A X -

sm. c

sui.a

(1382) Les deux autres cas, savoir : celui où on a les trois côtés donnés pour trouver les angles, et celui des trois angles pour trouver les côtés, se résoudent par la 1ère prop. (1371) de ]^apier. Eu effet :

Etant donnés les trois côtés a, b, c, pour trouver les angles A, B, C. Ayant . >

laissé tomber ' B D A

une perpendiculaire CD de l'un quelconque C des trois angles du triangle sur le côté opposé c prolongé s'il le faut, et appelant m et n les segments de la base compris entre chacun des angles A et B et la perpendiculaire CD ; on aura, quand la perpendiculaire tombe en dedans :

Tang. 1 (m - n) = tang. i (a 6) X ^^°g- H^ + 5) . ^^

tang. ^ {m + n) ' (368) m = i (m + n) + 1 (m n) ; c.-à-d. m = J c + 1 (m — n) puisque m + n=c; et n = i {m -{- n) — ^ (m — n).

Mais quand la perpendiculaire tombe en dehors, on aura

, , ,^ tano;. ^ (a -\- b) tansr. * (m + n) = tanff. l (a — 6) X z — ^ — 5—? ( ; et m =

J (m + îi) + i (^ — ^) c.-à-d. m = J c + J (m + ?i), puisque dans ce cas, c=m — n, et 71 = m — c.

Ayant trouvé m et n, les segments de la base, on fera (1361) tang. a : taug, m :: R : cos. B ; d'où, cos. B = K x tan g. m tang, 6*

On aura maintenant les deux autres angles A et C en faisant sin. b : sin. c:: sin. B : sin. C, et sin. b : sin. a:: sin. B : sin. A.

2° On démontre aussi que R, étant = 1 et a+b + c = 6-, on a Sin. I A =i/siu. ( J s — 6) x sin. ( J s — c) ; * V sin. 6 X sin.c

ou, Cos. J A =1/ sin. I s X sin. (| s — a).

V sin. 6 X sin. c

Quant A est très obtus, on se servira de la seconde formule qui donne le cosinus de | A. Autrement, on préfera la première formule pour des raisons analogues à celles déjà données au par. (1301) trig. rect.

Ces deux formules sont surtout avantageuses en ce qu'elles se prêtent avec facilité au calcul par logarithmes.

(1383) Etant donnés les trois angles A, B, C, pour trouver les côtés a, 6, c;on retranchera respectivement de 180° chacun des arcs qui mesurent les angles donnés A, B, C ; ces restes ou diflérences seront les côtés a', 6', c', d'un triangle supplémentaire ou auxiliaire A'B'C dont on trouvera les angles, delà manière indiquée au dernier paragraphe; les arcs servant à mesurer ces angles seront (1171) les suppléments des côtés correspondants du triangle donné ABC ; c.-à-d., l'arc servant de mesure a l'angle A' du triangle auxiliaire A'B'C, sera le supplément du côté a du triangle ABC ; l'arc mesurant l'angle B' sera le supplément du côté b ; et l'arc servant de mesure à l'angle C, sera le supplé-

SPHÉRiaUE. 555

ment du coté c. De là, donc, le moyeu de résoudre le problème.

2° On a aussi, comme dans le dernier cas, R étant = 1, et A+B + C-=S

Sin. I a = l/çQs. I ^ X COS. (| iS — A) l/sin. B X sin. C

on, Cos. I rt = t/cos. (^ tS — B) X cos. ( j- iS — C)

V'sm. B X sin. C cette dernière étant préférable quand a est de près de 180°, c.-à-d. presque un demi-cercle.

(1384) Sco. Maintenant qu'on a démontré les rapporta qui existent entre les côtés et les angles d'un triangle sphériqne, c.-à d. entre les sinus et autres lignes ou représentants trigonométriques de ces angles et côtés ; il y a lieu, do prouver d'une manière plus satisfaisante et peut-être plus It'-gitinie, le corollaire (1350) tiré de la prop. IV" ; savoir : qu'il peut exister deux triangles oblique-angles dont un côté et l'angle opposé de l'im soient égaux à lui côté et à l'angle opposé de l'autre. De fait, ayant prolongé ACA' d'une quantité A'C'=AO, et du point C comme centre, avec un arc=BC, intersecté ABA' en B', joint C'B' et prolongé C'B' pour rencontrer ACA'; l'arc C'B' prolongé tombera eu C, à cause de A'C'+A'C= A'C + AC et de CB'C'=180° ; or l'angle inclus B'A'C = sup. de B'A'C, ou <le son égal BAC, et comme le sinus du supplément d'un angle est égal au sinus de cet angle, on a, (1366) sin. angle B'A'C : sin. angle BAC :: sin. angle A'B'C : sin. angle ABC ; d'où ABC = (1346) A'B'C = (opposé au sommet) AB'C, et B'C = 180° — B'C = sup. B'C = sup. BC ; donc, etc.

(1385) Sec. Les connaissances acquises sur les relations entre les sinus des côtés et les sinus des angles des triangles epbériques, nous permettent aussi maintenant de simplifier

les expressions ayant trait à l'ambiguïté de solution des deux premiers cas (1336) du triangle sphérique ; car si l'on fait attention que le sinus du supplément d'an arc est égal au sinus de cet arc, on verra de suite que les huit formules des articles (1344 et 1345) où les données sont " deux côtés et un angle opposé à l'un d'eux " peuvent se traduire ou se résumer eu ces deux expressions ; savoir :

1° Si le sinus du côté opposé à l'angle cherché, est moindre que le sinus de l'autre côté donné 5 il n'y aura qu'UNE SOLUTION.

2° Si le sinus du côté opposé à l'angle cherché, est plus grand que le sinus de l'autre côté donné ; il y aura DEUX SOLUTIONS.

Et les huit formules du par. (1351) où les données sont '' deux angles et un côté opposé à l'un d'eux " ; se traduiront, fuisuut attention encore que le sinus du supplément d'un angle et égal au sinus de cet angle, comme suit :

3° Si le sinus de l'angle opposé au côté cherché, est moindre que le sinus de l'autre angle donné ; il n'y aura qu'UNE SOLUTION.

4* Si le sinus de l'angle opposé au côté cherché, est plus grand que le sinus de l'autre angle donné ; il y aura DEUX SOLUTIONS.