la table donne pour log. sin. 62° 55 = 9.9495585 et

pour différence de 1' ou 60" = 647 ; on fait la proportion

Log. sin. 62° 55' 9.9495585

+ différence pour 43.44" 468

Log. sin. A 62° 55' 43.44" 9.9496053

+ log. sin. 6 56° 40' 9.9219401

Somme 19.8715454

— log. sin. a 83° 13' 9.9969492

-=log. sin. B 9.8745962

— log. moindre 48° 31' 9.8745679

= différence pour les secondes 283

Dif. pour 60" = 1118

dif. 283 = 15.188" (voyez, plus haut, la prop.)

donc, B=: 48° 31' 15.188" = log 9.8745962

3° Sin. a: sin. A:: sin. c : sin. C = 125° 18' 56.581". Pour trouver le nombre de secondes qui correspond à la

différence 51 entre le log. trouvé et le log. moindre suivant 895: 60":: 51 : 3.419" Log. sin. A 62° 65' 43.44" 9.9496053

+ log. sin. c 114° 30' ou 65° 30' 9.9590299

Somme 19.9086282

— log. sin. a 83° 13' 9.9969492

= log. sin. C 9.9116790

— log. moindre 54 41' 9.9116739

= Différence pour les secondes 51

Dif. pour 60" 859

Dif. 51=34.19"; (voyez, plus haut, la prop.)

donc, C= 54°4r 03.419" = log 9.9116790

Sup. 0 = 125° 18' 56.581"

4° Autrement. On trouverait aussi l'un quelconque B des trois angles du triangle donné par la formule (1382, 2°)

. , ^ l/gin. (^ s — a)X sin. (i s —c)

sin. J B = -^ — ^-^ ^

y sin. a x sin. c

i-(a + 6 + c) = is = i 254° 23' = 127° 11' 30"

SPHÉRIftTJE. 581

Log. sin. ils — a) 43° 58' 30" 9.8415749

+ log. sin. (ï s — c) 12° 41' 30" 9.3418385

= log. (sin. (I s — a)X sin. ( J -s — c)) 2) 1971834134

-^ 2,= log. i/sin. (1 5 — a) X sin. (| 5 — c) 9 . 5917067

Moins 1 / log. sin. a 83° 13' = 9.99G9492 1 .vioms a j ^jQg^ g-j^^ ^ l]4o 30' = 9.9590229 /

= log. T^sin. a X sin. c. 9.9779860

= log. sin. iB-=24° 15' 37.682"; 9.6137207

d'oùf B = 48° 31' 15.364" Le 10 qu'on cYnDrunte ici, pour que la soustraction puisse se faire, est précisément la valeur, c'est-à-dire, le log. de R qu'on a négligé dans la formule, la valeur de R étant supposée = 1. Eu procédant par nombres naturels on peut le négliger, mais dans le calcul par logarithmes il faut le faire entrer en compte.

m ^ , o , -, .-. V'^sin. 1 S X sin, (i5 — à^

5*^ Ou par la formule cos. J B = /. .^ ^

y sin. a X sin. c.

(1382, 2°) Et par complément arith.

log. sin. 1 5 127° 11' 30" ou sup. 52° 48' 30" 9.901250 05 -f log. ?m.\is-b) 70° 31' 30" 9.974413 65

— log. sin. a 83° 13' . . comp. ar 0.003050 80

— log. sin. c 114° 30' (sup.=65° 30') comp. ar.- 0.040977 10

Somme 19.9]9691 60

Demi-somme=log. cos. J B=24° 15' 37.645" 9.959845 80

D'où, B=48° 31' 15.290" == 6° Ou Sans l'usage du compléinent arith.

îog. sin. is 127° 11' 30" ou sup. 52° 48' 30" 9.901250 05

+ log. sin. (1 5 — 6) 70° 31' 30" 9.974413 65

= log. (sin. 1 s X sin.(i s — 6) 19.875663 70

-^ 2,= log. v^sin. 1 s X sin. {^s—b) 9.93783185

Moins i f ^^-- ^^"- ^ ^^° Î3'=9. 9969492 1 moins 2 ^ ^|q^^ g-j^^ j^j^o 30'=9. 9950229 /

= log. i/sin. a X sin. c = 9 .'977986 00

= log. cos. iB = 24° 15' 37.645" 9.959845 85

D'où B-- 48° 31' 15.290" ===

582 THIGONOMÉTRIE

(1408) L'élève n'oubliera pas que les différences entre les résultats obtenus de trois manières différentes, pour l'angle B, savoir 48* 31' 15.188", 48^^ 31' 15.364", et 48° 31' 15.290" est due en partie à l'inexactitude partielle du dernier chiffre décimal des logarithmes et aussi en partie à la manière non rigoureusement correcte d'obtenir les secondes par les différences entre les logarithmes, et réciproquement les différences des logarithmes par les secondes. Mais ces différences, comme on le voit, ne s'étendent qu'aux décimales de secondes que l'on peut souvent négliger tout-à-fait excepté dans les cas d'une extrême précision.

Ex. 2. On a a = 40° 18' 29", b = 67° 14' 28", c = 89° 47'

6". On obtient A = 34° 22' 16", B = 53* 35' 16", C = 119°

6ènie Cas.

(1409) Etant donnés les trois angles A,B,C, d'un triangle sphérique quelconque ; trouver les trois côtés.

A cet effet, l'on procédera, indifféremment, soit à la manière du par. (1383) ou par la formule (1383, 2°) qui donne, par exemple, le cosinus de la moitié de l'un quelconque des trois côtés, pour trouver ensuite les deux autres côtés, par la même formule, ou par les rapports entre les sinus des côtés et les sinus des angles.

Ex. 1. Dans un triangle sphérique ABC, ou donne A =

48° 30', B = 125° 20', C = 62° 54' ; soit a trouver le côté a.

l/cos. (i a — B) X COS. (i tS — C) On fera cos. J a = R " / . ^ • r^ *

^ y sm. B X sm. C •

(iS— A) = 118° 22'— 48° 30'= 69° 52'

(iS— C) =118° 22'— 62^54'= 55° 28'

log. COS. (1 S — B) — 6*58' 9.9967817

+ log.co§. (iS — C) 55°28'.... 9.7534954

= log. Lcos. (* S — B) X COS. (1 S — C] 19.7502771

-- 2,= log. i/cos. (J S — B) X COS. (fS^^C) . . 9 . 8751385 + log. R 10 .0000000

SPHÉRiaUE. 58^

= log. (Kl COS. (AS — JB) Xcos. (|« — 0)) .. 19.8751385

log. siu. B 125'=' 20' = 9 . 9115844 |

+ log.sin.C 62^^54' = 9.9494938/

= log. l/siu. B X tiiu.U= 9.9305391

Moins l' <

= log. COS. -Ja 28° 19' 48" 9.9445994

D'où, côté a = 56° 39' 36"

Et de même on trouve b = 114° 29' 58", c = 83° 12' 06".

Ex. 2. Dans un triangle sphérique ABC, ou donne A = 109° 55' 42", B = 116^^38' 33", C = ]20° 43' 37", pour trouver le reste.

Rép. a=-98'' 21' 40", 6= 109° 50' 22", c = 115° 13' 26".

(1410) Il est bon maintenant de disposer' sous forme de tableau, comme on l'a fait (1394) pour }e triangle sphérique rectangle, les divers cas du triangle sphérique oblique-angle ; afin de pouvoir y référer au besoiu et d'y trouver d'un coup d'ceil la formule à employer pour résoudre le problème donné, et déterminer en même temps l'afiectiou (1334) des éléments qui vont à l'énoncer.

A cet effet, et pour éviter toute fausse concision, il est nécessaire de se rappeler que :

1° (1148) Chacun des côtés du triangle sphérique est censé moindre qu'une demi-circonférence ou que 180°.

2° (1186) Chacun des angles du triangle sphérique est moindre que deux angles droits ou que 180°.

3°. (1164) Chacun des côtés du triangle sphérique est moindre que la somme des deux autres.

4° (1167) La somme des côtés du triangle sphérique est moindre qu'une circonférence entière.

5° (1182) Dans tout triangle sphérique, le plus grand côté tst opposé au plus grand angle, et le plus petit côté au plus petit angle et réciproquement.

6*^ (1186) La somme des trois angles de tout triangle sphérique est moindre que six et plus grande que deux angles droits.

7° (1190) Le triangle sphérique peut-être bi- ou tri-rectanglo, bi- ou tri-obtus-angle.

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