AD

BAD

AB

) X COS. nat.

DE

AB X DE = 2 surf. ADE = 1328648936703

è AB.DE = 66432.44683 = surf. ADE.

(1430) La surface trouvée d'après cette règle est de 66432,4468 mètres carrés. L'exactitude de ce résultat ne s'étend encore, comme on le voit, que jusqu'au 7ème chiffre, et il ne saurait en être autrement, puisque les sinus naturels dont on a fait usage et qui concourent, comme éléments, à la solution du problème, ne vont qu'à 7 chiffres, dont le dernier même est presque toujours trop fort ou trop faible suivant qu'il a été, ou non, augmenté d'une unité lorsque le chiffre suivant excède ou est moindre que 5.

(1431) Remarquons ici que cet exemple, dont on vient de faire le calcul, de trois manières différentes, permet de comparer la somme de travail que requiert chaque mode de solution, et met en mesure de choisir au besoin, ou le moyen le plus expéditif (le premier) ou celui qui admet la plus grande précision (le second), ou celui qui ne comporte pas l'extraction d'une racine (le troisième).

(1432) Il est à peine nécessaire de rappeler que ce problème, comme celui qui le précèce, et comme ceux qui vont le suivre, peut aussi se résoudre au moyen d'une construction graphique qui permette d'établir à l'aide d'une échelle suffisamment subdivisée, la longueur ou valeur de la perpendiculaire AB en termes de la base ou des côtés ; et c'est là assez souvent le plus court moyen, quoi que non le plus précis, d'arriver au résultat voulu.

PROBLÈME III

Trouver la surface d'un trapèze. (*)

A/ iB

(1433) REGliE. Faites (346) la somme des deux côtés parallèles : multipliez cette somme par la hauteur ou largeur du trapèze, et la moitié de ce produit sera la surface voulue.

Ex. 1. Dans un trapèze, les côtés parallèles sont lO^ et 12^ pieds, et la distance perpendiculaire entre ces côtés 3 pieds 2 pouces. Quelle est la surface? Rep. ^ (10^ + 12^) x 3^ = ^ (10.5 4- 12.25) x 3.166=11.375

2. On demande la surface d'une parcelle de terre dont les côtés parallèles mesurent respectivement 75 et 122 chaînons, et la perpendiculaire 154 chaînons? Rep. 1561 chaînons c.

3' Combien y a-t-il de pieds carrés de surface dans une planche dont la longueur est de 12^ pieds, la largeur à une extrémité 15 pouces et celle de l'autre extrémité 11 pouces? Rep. 13«j--f =13.541666 +

4. Combien de verges carrées dans un trapèze dont les côtés parallèles sont 240 et 320 pieds, et la hautenr 66 pieds? Rep. 2053|.

5. Les côtés parallèles d'un terram sont 12.41 et 8.22 chaînes, et la perpendiculaire 5.15 chaînes; quelle est la surface en chaînes carrées?

Rep. 53.37975.

(*) Le trapèze (172) s'offre assez souvent, dans la pratique, au calcul du mesureur. Ainsi, la tablette intérieure d'une fenêtre dont les joues ou côtés sont d'ordinaire ébrasés, présente la forme d'un trapèze ; il en est de même du plafond d'une fenêtre, porte ou autre ouverture ébrasée ; et il est clair aussi que la surface développée ABCD, de la joue d'une oxiverture

cintrée en même temps qu' ébrasée peut encore être \^ — :^

regardée comme une sorte de trapèze à bases parai- \ /

lèles curvilignes, mais dont on détermine également la \^ >.^

superficie par la règle ici donnée, puisque cette figure D ,(J'

n'est autre chose qu'un tronc ou partie d'anneau circulaire, et que le mode (1145) d'arriver à la surface de cette figure est analogue à celui qui enseigne à déterminer la surface du trapèze proprement-dit. Le trapèze se retrouve encore souvent dans le parquet ou plafond d'un appartement dont deux côtés seulement sont parallèles, à l'endroit d'une toiture de lucarne, d'une rampe d'escalier, d'une toiture ou plafond de mansarde et les joues d'une fenêtre rectangulaire afièctent aussi cette forme quand le plafond ou la tablette en est inclinée ou ébrasée. Enfin, on est appelé très souvent à déterminer l'aire d'un terrain en forme de trapèze.

PROBLÈME IV

Trouver la surface d'un quadrilatère.

(1434) REGIME. Multipliez (351) V une quelconque des diagonales (173) du quadrilatère, par la demi-somme des perpendiculaires abaissées des angles opposés sur cette base commune.

Ex. 1. Quelle est la surface d'un quadrilatère BD dont la diagonale AC est de 42 pieds, et les perpendiculaires BF=18 et DF= 16 pieds ? Rep. 714 p. c.

2. Combien de toises carrées de pavé -^^ y a-t-il dans un quadrilatère dont la diagonale est de 65 pieds et les deux perpendiculaires 28 et 33^ pieds?

Rep. 55.52083.

3. Combien y a-t il de mètres carrés de surface dans un terrein quadrangulaire dont une des diagonales est de 64 mètres, et lés distances perpendiculaires de cette diagonale aux deux angles opposés, 28 et 32 mètres ?

Rep. 1920 m. c.

4. Déterminer le nombre de carrés de planchéiage qu'il faut pour couvrir un espace quadrilatère, dont la diagonale est de 108 pieds 6 pouces, et les perpendiculaires 56 pieds 3 pouces, et 60 pieds 9 pouces?

Rep. 63 carrés, 47^2^ p. c.

5. On demande à établir le nombre d'arpents dans une terre de quatre côtés dont une des diagonales mesure 70.5 perches, et les perpendiculaires 26.5 et 30.2 perches ? Rep. 19 ar. 98.675 per.

PROBLÈME V

Trouver la surface d'un polygone irrégulier.

(1435) REGLiE. Mesurez les diagonales qui diviseront le polygone donné en quadrilatères et triangles. Déterminez séparément les surfaces de ces figures composantes ; leur somme sera la surface voulue.

Ex. 1. Déterminez la surface du polygone BE, dans lequel BD=18^, CK =12f, AD =27^, BL-9.5, EH=14, AE=40, etFG=8.

Rep. nBDxCK)= i(18.5xl2.8) = 118.40 = surf BCD, ^(BL + EH) = ^(9.0 -f- 14)= 11.75 et surf, quadrilatère

ABDE= AD X ^(BL + EH)= 27. 5x11. 75=323. 125, surf. AEF=AEx ^FG ==40 X 4= 160. Surf. ABCDEF =118.40 + 323.125 + 160 = 601 525.

2. On demande combien il y a d'acres (l'acre est de 100,000 chaînons carrés) dans un terrain polygone BE dont les diagonales BD, AD et AE mesurent respectivement 13 chaînes (la chaîne linéaire est de 100 chaînons), 33 chaînons, 13 chaînes 99 chaînons, et 14 chaînes 13 chaînons, et dont les perpendiculaires CK = 173 chaînons, BL = 2 chaînes, EH = 2| chaînes et FG 3f chaînes.

Rep. BDxCK=1332xl73 = 230609-^2--=115304^ = Purf. BCD. AD xBL= 1399x200 = 279800-4-2 = 139900 =surf. ABD. AD x EH = 1399 X 220 = 307780-=-2 = 153890 =surf. ADE. AE x FG = 1413 X 375 = 529875-H-2 = 264937^ = surf. AEF.

2)13.48064 6. 74032 = surf. ABCDEF.

6 . 74032 c-àd. 6 acres et 74032 chaînons c. ou 6 acres 2 vergées (roods) et 24032 chaînons (la vergée étant le quart de l'acre, c'est-à-dire, 100000^4 = 25000 chaînons)

ou 6 acree, 2 vergées, 38 perches, et 282 chaînons (la perche linéaire étant

le quart d'une chaîne, c'est-à-dire, 25 chaînons, et la perche carrée par conséquent = 25 x 25 = 625 chaînons carrés. ( *)

(* ) La chaîne de Gunter est de 66 pieds anglais, divisée en 100 chaînons, dont chacun est en conséquence = 66-4- 100 = 7.92 pouces anglais. L'acre équivaut à 1 chaîne x 10 chaînes = 10 chaînes carrées = 4 perches x 40 perches = 160 perches carrées = 100 chaînons x 1000 chaînons = 100,000 chaînons carrés. L'avantage de cette division de la chaîne de Gunter en 100 parties consiste en ceci que toutes les dimensions qu'elle sert à établir, sont immédiatement applicables et sans réduction au calcul décimal. L'opération faite, on sépare 5 décimales, les chiffres restants à gauche étant alors des acres, puisqu'il y a 100,000 chaînons dans l'acre et que séparer 5 chiffres équivaut à diviser par 100,000. Il est clair aussi que pour les vergées on n'a qu'à multiplier d'abord le reste par 4 pour séparer encore 5 chiffres, ce qui équivaut à divi^er de suite par 25,000 (nombre de chaînons dans une vergée) et est de beaucoup plus expéditif. Pour les perches, on multiplie ensuite le second reste par 40, pour séparer encore 5 chiffres, puisque la perche est la 40ème partie de la vergée ; ou si l'on voulait négliger les vergées, on multiplierait de suite le premier reste par 160 (4 x 40 dont ou retrancherait de même 5 chiffres. Le dernier reste .45120 est évidemment une fraction de perche, c'est-à-dire, TVo'aVo *^^ perche ; or la perche carrée étant de 625 claaînons, jôosisjs '^^ ^^^ — -00625 et ce nombre multiplié par le numérateur .45120 donne les 282 chaînons de la réponse ; c'est-à-dire que pour les mailles on multiplie tout simplement le dernier reste par 625 et l'on sépare encore 5 décimales.

PROBLÈME VI

Déterminer la surface d'une figure longue et irrégulière bornée d'un côté par une ligne droite. ( * )

(1436) RKGLiE. 1° Mesurez, à chaque extrémité de la ligne droite, la largeur perpendiculaire de la figure; mesurez aussi cette lar. geur à plusieurs points intermédiaires également éloignés Vun de Vautre.

'2°. A la demi-somme des largeurs extrêmes ajoutez la somme des largeurs intermédiaires ; multipliez alors la somme ainsi obtenue par l'une des parties égales delà ligne de base: le produit sera la surface voulue à très près.

Soit AEea une figure irrégulière ayant pour base la droite AE. Aux points A, B, C, D et E, égalenieut éloignés l'un de l'autre, élevez les perpendiculaires Aa, Bb, Ce, Dd, Ee et désignez ces perpendiculaires par les lettres a, b, c, d, e.

Alors (325) la surface du trapèze AB ba la surface du trapèze BC cb ■■

(^ + b . ~^~ X AB,