X AB

donc, leur somme, ou la surface de la figure entière est égale à

d + e^ puisque AB, BC, etc., sont égales entre elles. Or, cette somme est égale à

'"l + b+c + d + l^ X AB, expression qui s'accorde avec l'énoncé de la règle.

( * ) Les terrains qui avoisinent et sont bornés d'un côté par les sinuosités d'un chemin ou d'une rivière, etc., présentent souvent au calcul des figures de cette sorte ; ou, après avoir déterminé par la méthode du dernier problème la superficie du polygone rectiligne ABCDE qui fait partie du pol. irrégulier A6BCDEerfA, on se servira de la méthode du problème actuel pour obtenir les parties secondaires et irrégulières AaècB, AdeE.

(143'S') Si Ka devient très petit, on n'en aura pas moins snrf. AB&a — — j — x AB et si a et A se confondent en un même point, ou que le trapèze AB6a devienne le triangle ABô,

a + 6 6 , -1 X 1 • it • 1

on aura — - — — - ; dans ce cas il est clair que lexpression pour la sur-

face de la figure AEed&A devient /'^+ Ll E + ^ + ^ +^^^ x AB, ° V- 2 2 2 y

ou, ce qui est la même chose, (b-\-c^d^-\ e)x AB. Et si Ee devient aussi =0, l'expression pour la surface AEt^ôA prendra la forme {Jb^-c-Vd) xAB.

Ex. 1. Les largeurs d'une figure irrégulière en 5 endroits également

éloignés l'un de l'autre, étant 8.2, 7.4, 9.2, 10.2, et 8.6, et la longueur

de la base = 40 ; quelle est la surface ?

La base entière

Une des parties égales :

Somme des largeurs Multipliée par

= surface voulue

Une des largeurs extrêmes = 8.2 • L'autre l'argeur extrême = 8.6

Somme des largeurs ext. =16.8

Demi-somme = 8.4

1 e Largeur ietermêdiaire =■ 7.4

2e Largeur intermédiaire = 9.2

3e Largeur intermédiaire =10.2

Somme des largeurs. =35.2

2. La longueur d'une figure irrégulière étant de 84 mètres et les largeurs, en six endroits équidistants, 17.4, 20.6, 14.2,16.5,20.1, et 24.4 mètres j on demande la surface ? Kep. 1550.64 m. c.

3. La longueur d'une lisière de terre est de 125 perches et sa largeur prise en 15 endroits différents et équidistants, est de 5.2, 4.6,7.2,8.3, 9.4, 8.1, 7.3, 7.9, 6.6, 7.2, 7.3, 8.4, 7.4, 6.5, et 5.8 perches. Quelle en est le contenu ?

Rep. La somme des demi-largeurs extrêmes et des largeurs intermédiaires = 101 . 7, la longueur 125^14= 8 . 92857 et 8 . 92857 x 101 . 7 = 908 . 0356 perches carrées. ( * )

{*) Si la perche linéaire dont il s'agit ici est de 18 pieds français,

c'est-à-dire, le dixième d'un arpent, la surface qu'on vient de trouver équivaudra à y arpents carrés, 8 . 0356 perchco carrées, car, comme ou l'a déjà fait remarquer, l'arpent carré est de 10x10 perclies = 100 perches carrées, et comme la perche carrée est de 18 x 18 = 324 pieds carrés (ou l'arpent carré de 324 X 100 = 32400 pieds carrés) on réduira au besoin la décimale ,0350 de perche carrée en pieds carrés en multipliant par 324, ce qui donne dans cet exemple 11 .53 pieds carrés. »Si, au contraire la perche linéaire était de 161 pieds anglais, c'est-à-dire celle de la chaîne de Gunter, on

(143S) RE]>I. Certains auteurs enseignent à déterminer la surface de la figure de ce problème en faisant le produit de la base entière AE par la moyenne des largeurs que l'on obtient en ajoutant ensemble toutes ces largeurs pour diviser ensuite leur somme par le nombre de ces largeurs. Cette rè^le est fautive, et cela, d'autant plus qu'il y a un moindre nombre de hauteurs ou de divisions dans la figure à estimer. L'erreur de cette méthode, dans le cas ou il n'y aurait que tr«is parties composantes et par conséquent quatre hauteurs ou largeurs, pourrait aller jusqu'à 25 pour cent en défaut de la surface exacte. Elle donne pour largeur moyenne, dans cet exemple, 107.2-^15 = 7.1466 et 7.1466 x 125 = 893.325 perches carrées au lieu de 908.035 ; soit un défaut de près de 15 perches carrées de terrain.

PROELÈSÏE VII.

Trouver la surface d'un polygone régulier.

(1439) REGLE I. Multipliez Ç663) le périmètre du polygone par son demi-rayon droit, et le produit sera la surface voulue.

RE9I. Si le polygone n'est connu que par son côté, déterminez en d'abord le rayon droit de la manière suivante : Divisez 360" par le nombre des côtés du polygone proposé, et le quotient sera (620) l'angle au centre; c'est-àdire, l'angle sous-tendu par l'un des côtés égaux. Maintenant les rayons droit et oblique du polygone forment avec le demi-côté un triangle rectangle dans lequel on connaît la base, c'est-à-dire le demi-côté, et l'angle aigu opposé, c'est-à-dire, le demi-angle au centre, pour trouver la perpendiculaire ou le rayon droit du polygone.

Ex. 1. Soit à trouver l'aire d'tm hexagone régulier dont le côté est de 20 pieds ?

Rep. 3600^-6=60 et 60^2 = 30'' angle AOG, moitié de AOB. On a aussi OAG = 90O— AOG = 60o et AG = 10; alors (1235) sin. AOG : AG : : sin. OAG : OG ; d'où,

Sin. AOG 30° comp.ar.log. 0.301030

esta sin. OAG 60<^ 9.937531

comme AG 10 1.000000

est à