THÉORÈME

Expression générale pour le volume d'un solide quelconque.

(15!i 1 ) -De tout prisme ou cylindre droit ou oblique — de toute pyramide régulière ou irrégulière, ou de tout cône droit ou oblique — de tout tronc de pyramide ou de cône compris entre bases parallèles — de la sphère — de tout onglet, secteur ou pyramide sphérique — de tout sphéroïde — de tout segment de sphère ou de sphéroïde à une seule base ou à deux bases parallèles — de tout paraboloïde ou condide parabolique — de tout hyperboloide ou conaide hyperbolique — de tout segment de paraboloïde ou d^hyperbolaïde à une seule base ou à deux bases parallèles — de tout coin ou autre tronc de prisme triangulaire — de toute partie de tel coin ou de telle prisme tronqué séparée du solide entier par un plan parallèle d Vune quelconque de ses faces latérales — de tout autre prismoïde ou cylindroïde quelconque: le volume est équivalent à la somme de la surface de sa base, s't7 n'y en a qu'une ou de ses bases parallèles, s'i7 y en a deux, et de quatre fois la surface d^u/n&. section à demi-distance entre les bases, entre la base et le sommet, ou entre les sommets opposés, suivant le cas, multipliée par un sixième de la hauteur du solide.

Soient A et B les bases opposées, base et sommet, ou sommets opposés de l'un quelconque des corps qu'on vient d'énumérer, soit S une section parallèle à demi-distance entre A et B, et H la hauteur du solide ; on aura suivant le cas, volunie=(surf. A + surf. B 4- 4 surf. S) x ^ H, ou (surf. A + 4 surf. S) X ^ H, ou (4 surf. S) x ^ H, suivant que surf, sommet B = 0 ou que surf sommet A + surf, sommet B = 0.

(1522) Maintenant, des cinq polyèdres réguliers, le tétraèdre est une pyramide, l'exaèdre est un cube c'est-à-dire un prisme, et chacun des troia autres est un composé de pyramides égales entre elles ; tout tronc de prisme

polygone est un composé de troncs de prismes triangulaires ayant chacun pour base l'une des faces latérales du tronc donné et dont les arêtes ou sommets se réunissent tous et se confondent à l'endroit d'une des arêtes parallèles du solide ou sur une droite quelconque parallèle aux côtés du tronc, située à son intérieur et qu'on peut regarder comme axe du prisme dont le tronc fait partie ; tout tronc de cylindre peut aussi être regardé comme un composé de troncs de prismes triangulaires, puisque le cylindre lui-même n'est qu'un prisme infinitaire ; tout fuseau circulaire, elliptique, parabolique, etc., se décomposera, comme on l'a déjà fait voir (113S) en cônes et troncs de cônes, ou, s'il est possible, en troncs ou segments de conoïdes paraboliques ou hyperboliques, subdivisions auxquelles Ton ajoutera au besoin le cylindre et le segment sphérique ; le conoïde ou le sphéroïde dont la courbe génératrice ne serait pas celle d'une section de cône, se décomposera (1139) comme le fuseau, en ti'oncs de cônes, segments et calottes spliériques, segiuents de sphéroïdes, de parabuloïdes ou d'hyperboloïdes, etc ; l'onglet de cylindre, de cône ou de conoïde sera regardé comme un composé de pyramides rectilignes ou sphériques, et tout autre corps se subdivisera, suivant le cas, en éléments (1143) de l'espèce de ceux qu'on vient d'énuniérer.

L'expression est donc générale, comme on l'a dit en titre de cet article et servira à volonté à déterminer le volume d'un solide quelconque.

(1523) Habitué jusqu'ici (1103) à la con.<idération d'un nombre si varié d'expressions pour le volume des divers solides dont il s'agit, et cela sans même y comprendre le sphéroïde, le paraboloïde, l'hyperboloïde et les segments de ces corps, qui donnent lieu encore à des formules additionnelles l'élève s'étonnera peut-être tout d'abord et doutera même de l'existence d'une formule qui puisse s'appliquer à la fois, à des corps aussi dissemblables entre eux que le sont le prisme ou cylindre, la sphère, le segment de sphère la pyramide ou le cône, et le coin, etc., et dont les surfaces limitatives sont indifi'éreminent planes ou courbes ou les deux ; mais il suffira des ré flexions suivantes pour faire foi de l'exactitude de l'énoncé de la proposition.

(1524) En premier lieu, h prisme ou cylindre a pour volume (1103 1° et G") la surface de sa base multipliée par sa hauteur; or les bases opposées d'un prisme ou cyhndre sont égales et toute section de ces solides parallèle à la base est (943) égale à la base ; la somme des 2 bases plus 4 fois la section à demi-distance entre elles, équivaut donc à six fois la base, et c'est la même chose de multiplier 6 fois la base par un sixième de la hauteur ou de multiplier tout simplement la base par la hauteur entière.

(1525) En second lieu, le volume de la pyramide ou du cône (pyramide infinitaire) est (1103 2° et 7°) le tiers du produit de sa base par sa hauteur ; mais la section parallèle à demi-distance entre la base et le sommet vaut le quart de la base, puisque les côtés ou autres lignes homologues de cette section sont moitiés de ceux de la base et que les surfaces

sont comme les carrés des côtés homologues, c'est-à-dire::!: 4 quand les côtés sont :: 1 : 2. Donc dans ce cas la base plus 4 fois la section entre la base et le sommet équivaut à 2 fois la base, et c'est la même chose de multiplier deux fois la base par un sixième de la hauteur ou de simplifier la formule en multipliant la base par le tiers de la hauteur.

(1526) D'ailleurs, comme le fait voir (1102) la déf. du prismoïde, le tronc de pyramide est en même temps un prismoïde et le tronc de cône (tronc de p3^ramide infinitaire) est encore un prismoïde et ces troncs, en supposant que leur hauteur soit indéfiniment augmentée, finiront par devenir les solides mêmes dont ils ne formaient d'abord qu'une partie ; or la formule ( surf. A -f surf. B + 4 surf S) vaudra toujours, quelle que soit la surface du sommet ou de la base supérieure B, et quand B ne sera plus qu'un point et que sa surface sera par conséquent devenue égale à 0, la furmule deviendra (surf. A + 4 surf. Sj X 1 hauteur.

(ISS?) Ebî 4roïSieiwe lieu, le volume de la. sphère est(10'î'5) égal à sa surface multipliée par le tiers de son rayon ; or cette surface est précisément égale à quatre de ses grands cercles, c'est à-dire à quatre fois la surface d'une section de la sphère à distances égales de deux sommets ou points opposés quelconques de sa surface convexe ; de là donc l'exactitude de la formule, puisque le sixième de la hauteur de la sphère, c'est-à-dire de son diamètre, est le tiers du rayon ou demi-diamètre.

(1428) Pour ce qui est de Vhémisphère, son volume est éii-al (lO'îî') à la surface convexe jmr le tiers du rayon ; mais sa surface convexe est égale à 2 grands cercles, puisque la surface de la sphère entière est

égale à 4 grands cercles, et l'on a (4 grands cercles A ï B

X '. EF) = (2 grands cercles x 3 EF) ; or surf, section aT>h (où ED = FD) =

I surf, base AB, puisque D6*=6F^ - DF =FB* - (èFB)''= 1-^ = 1 et comme quatre fois | = 3, on a 4 surf ah -f surf. AB = 4 surf. AB-; donc 4 surf. X ^ EF ou 2 surf. AB x ^ EF=(surf. AB -I- 4 surf, ab) x ^ EÎ' ; donc, etc.

(1529) Et en gênerai, s'agit-il d'un segment uelconque ED de la sphère, le volume en est égal (lOSS) à la somme des volumes du cône tronqué ED et du se'nnentBD; or le volume de BD, c'est-à-dire du solide engendré par la révolution du segment BD est (1089)laditférence entre le secteur sphérique engendré par la révolution du secteur BCD et le solide engendré par la révolution du triangle isocèle BCD ; cette différence vaut (10S9) i^r

(CB^ - Cd^)EF=l TT (Ce' - Cd^) EF ; or Cc^- Cd^=Cb - Cd^=ab^-ad^ à cause de aC commun aux triangles rectangles abC, adC ; donc le volume du solide engendré par BD (et qui avec le cône tronqué engendré par la

révolution du trapèze EBDF forme le segment sphérique dont il 8'agit)=s^ {ab -ad )EF. Maintenant, JTaô =("1024) surf, cercle ab, TC ad =surf. cercle a(^ et par conséquent ~ (a6 -ad j= surface de l'anneau circulaire

db. Il est clair aussi qu'on peut écrire 71 (ab -ad ) g EF ou 4 n (ab — ad ) 4 EF, puisque "1-4-4 = ^ ; donc le volume de BD=:(4surf. db) v ^ EF ou 4 fois la surface de l'anneau engendré par la révolution de db, multipliée par un sixième de la hauteur EF du segment. Or le volume du cône tronqué composant est= (1516) (surf, base FD + surf, base EB + 4 surf, section parallèle ad) x ^ EF ; donc le volume entier du segment de sphère — (surf. base FD + suri', base EB + 4 eurf. section ab également éloignée de EB et de FD) X ^ EF ; donc, etc.

(1530) En quatrième lieu. Après avoir démontré l'exactitude de " V expression générale " dans le cas de la sphère et du cône, solides engendrés par la révolution du cercle et du triangle, les deux sections extrêmes du cône (et les plus dissemblables) l'une par un plan parallèle à sa base, l'autre par un plan perpendiculaire à sa base et passant par le sommet du cône, on est porté à croire qu'il en sera de même, par analogie, des corps engendrés par la révolution des trois autres sections coniques proprement dites, savoir : l'ellipse (génératrice de l'ellipso'ide ou sphéroïde), la parabole (génératrice? du paraboluï le) et l'hyperbole, (génératrice de l'hyperboloïde), et cela à cause de la position intermédiaire qu'occupent ces trois sections entre les deux autres, chacune de ces dernières ayant à passer successivement à l'état d'hyperbole, de parabole et d'ellipse, ou vice versa, pour, de triangle devenir cercle, ou pour, de cercle devenir triangle ; ou ce qui est la même chose, le cône ayant à passer successivement à l'état d'hyperboloïde, de paraboloïde et d'ellipsuïJe pour devenir sphère, ou la sphère par le chemin contraire pour devenir cône.

Et en effet, les expressions que fournit le "calcul différentiel et intégral " pour les volumes respectifs du sphéroïde, et des conoïdes parabolique et hyperbolique ou des segments de ces corps, se traduisent et se réduisent facilement à celles contenues dans l'énoncé de cet articleet dont elles ne différent, que par la forme.

(1531) Enfin. Il reste à démontrer que quand le segment AC d' un fuseau, par exemple, ou de tout autre solide de révolution, etc., n'est pas celui d'une sphère, d'un sphéroïde, d'un coûoïde régulier ou d'un cône, on n'en obtient pas moins le volume, au moins a très près, par la formule (E + F + 4 ab) x ^ EF. En effet, ou a toujours vol. cône tronqué AC = (suri. E

4 surf, ed) x ^ EF, ce qui fl'ordinaire offre déjà une approximation assez peu éloignée du volume désiré.

On a encore (par la formule) pour le volume du solide engendré par la révolution du segment B&C autour de l'axe EF, 4 fois la surface de l'anneau, dont la largeur est db, multipliée par un sixième de la hauteur EF ; or, menant les droites 6C, 6B, les solides engendrés par la révolution des triangles bdQ, bdC, en les considérant comme prismes triangulaires continus, auront pour volume la surface de l'anneau bd, leur base commune, par la moitié de la hauteur EF, ou ce qui est la même chose, trois fois la surface de la base annulaire db-ae par un sixième de la hauteur EF, ou vol. B6C = 3 surf, bd x J EF, lequel ajouté à celui du cône tronqué composant AC du solide à estimer, fournit une nouvelle approximation encore plus voisine que la première du volume requis. Il reste encore pour compléter le volume que donne la formule (E + F + 4 ab) x ^ EF, le produit de ^ EF par une fois la surface de l'anneau décrit par bd, et pour couvrir ou rencontrer ce dernier produit on a les solides engendrés par la révolution des segments bcC, bgB. Maintenant, il est clair que la somme de ces derniers est au solide engendré par le segment B6C, dans le rapport près, des surfaces respectives de la somme des segments 6B, bC au segment BC ; or ces surfaces soçt l'une à l'autre, à très près, comme 1 est à 4; d'où il suit que le reste ("surf, bd X ^ EF) dont on vient de parler, correspondra sensiblement au volume de la somme des solides 6B, 60 qui vont à compléter le segment donné ABCD ; donc, etc.

(1532) Remarquons que la différence entre le vol. exact du segment proposé et son volume approximatif par la formule (E + F + 4 ab) ^ EF, est toujours en plus, ce qui est dû en partie à ce que, en considérant le solide engendré par la révolution du segment BbC autour de l'axe EF comme un prisme continu, (ou comme un anneau solide ayant pour coupe le segment B6C) avec une longueur moyenne égale à la demi-somme des circonférences ab, ed, on prend cette longueur un peu trop grande, puisque le prisme continu dont il s'agit perd plus de sa longueur en G qu'il n'en gagne en B ; ce qui nous porte à observer aussi que puisque l'anneau solide engendré par la révolution du segment B6C est plutôt un tronc de prisme continu ou une suite de troncs de prismes, on en aurait assez correctement le volume en faisant (1095) le produit de la surface génératrice BbC (coupe du prisme par un plan perpendiculaire à ses côtés ou arêtes) par le tiers de la somme des circonférences en B, 6 et G (longueurs respectives des arêtes de l'anneau ou du tronc) et l'on ajouterait encore à l'exactitude du volume à obtenir en multipliant la surface génératrice B6C de l'anneau par le cinquième de la somme des cinq circonférences en B, g, 6, c et G ou par la somme d'un nombre quelconque de circonférences (prises à des distances égales l'une de l'autre) divisée par le nombre de ces circonférences.

(15^5.3) La règle qu'on vient de donner pour obtenir le volume d'un segment de solide à surface convexe, s'applique également au segment d'un solide d surface concave, la même démonstration pouvant servir dans les deux cas, comme l'indiquent les lettres dans la figure ; avec cette réserve seulement que la différence entre le vol. exact et le vol. rapproché sera évidemment en moins au lieu d'être en plus, car dans ce cas la longueur moyenne du tronc de prisme continu ou de l'anneau solide engendré par la révolution du segment H6C est moindre que la moyenne à obtenir en faisant entrer en compte les circontérences en B et en C. On aura donc le volume, prés, du segment AC. égal à la difiérence des volumes du tronc de cône AC et de l'anneau solide dû à la révolution du segment B6C, c'est-à-dire en faisant le produit du sixième de la hauteur EF par la somme des surfaces des bases AB, DC et de quatre fois la section ah à demi-distance entre ces bases.

(1534) La même règle donnera encore avec une exac- "p titude suffisante dans la pratique, le volume du conoïde AEB à surface concave, et souvent on ajoutera indéfiniment à l'exactitu<le du volume à obtenir par une subdivision continue du corps à estimer, en segments parallèles, de plus en plus petits et de hauteurs égales entre elles. Cependant dans la majorité des cas, il ne sera pas nécessaire de porter le A x nombre des subdivisions au delà de 3 ou 5 pour s'assurer d'une précision suffisante dans le résultat.

(1535) En gênerai on obtiendra à très près . C,$-J' le volume d'un corps régulier ou irrégulier quelconque OT en le divisant en tranches ou segments, par des plans parallèles à distances égales l'un de l'autre. L'on fera séparément par la formule

prismo'idale (0 -f AB -I- 4 ab) ^ OP, le volume de chacune de ces tranches dont la somme sera le contenu solide du corps proposé. On aura de cette manière pour volume du segment OAB, (surf. 0 + surf. AB + 4 surf, ab) ^ OP, pour volume de la tranche suivante BC on aura (AB -f CD -t- 4 ce?) ^ PQ, et ainsi de suite; d'où il est clair que le vol. entier du so]ide=(0 4- 4 ah + 2AB + 4cd + 2CD + 4 e/-F 2EF -f etc. -f MN) x l OP ou PQ, etc., c'est à-dire : à la somme des surfaces des extrémités 0, T, du solide donné, ou des bases extérieures de la première et de la dernière tranche, l'on ajoutera deux fois la somme des autres bases AB, CD, etc. de ces deux tranches et des autres tranches composantes, plus quatre fois la somme des sections ab, cd, ef, etc. de ces tranches, pour multiplier ensuite le tout par la sixième partie de la hauteur OP ou PQ, etc. de l'une d'elles ; le résultat sera le volume du

corps proposé, (formule analogue à celle du par. (i481) pour obtenir la surface d'une figure plane quelconque.

(1536) Il est clair aussi que pour arriver au volume d'un tronc ou segment quelconque ABab, de sphère, de sphéroïde ou de conoïde à bases non parallèles AB, ab, on n'aura qu'à faire séparément le volume du solide entier AB-E et celui du solide partiel ab-e pour prendre ensuite la différence de ces volumes. On aura de cette sorte vol. AB ba — (snrf. AB-(-4 surf, section intermédiaire entre AB et B x ^ EF) moins (surf, ab + i surf, section intermédiaire entre aô et e x J ef).

(1537) Faisons maintenant l'application de cette formule générale à la solution des divers problèmes qui y ont trait, (sauf cependant, le prisme ou cylindre, la pyramide ou le cône, le tronc de pyramide ou de cône, et le prismoïde, dont on a déjà traité), et prenons aussi occasion de mettre en regard, dans certains cas, les résultats ainsi obtenus et ceux que fournissent les règles ordinaires, afin de pouvoir en comparer l'exactitude et la somme de travail nécessaire pour y arriver.

PROBLÈME XXXII

Trouver la surface d'une sphère.

(153S) REGIiE I. Multipliez (1011) la circonférence d'un de ses grands cercles par son diamètre.

IS.CGL£ II- Multipliez (lO'Y'l) le carré de son diamètre ou quatre fois le carré de son rayon par .7854 et par 4, ou de suite par 3.1416.

Ex. 1- Quelle est la surface d'une sphère dont le diamètre est 7 ?

Rep. 15.3.9384.

2. Le diamètre d'une sphère est de 24 pouces ; quelle en est la surface ?

Rep. 1809.5616.

3. Combien faudra-t-il de pouces carrés de dorure pour recouvrir une boule sphérique dont la circonférence est de 78.54 pouces ?

Rep. 78.54^3.1416 -^25=diam. et 78.54 x 25 = 1963.4 p. c.

4. Quelle est la surface de la terre si le diamètre en est 7912 miles ?

Rep. 196,663,355.7504.

5. Combien faudra-t-il de pieds superficiels de plomb ou autre métal pour couvrir un dôme hémisphérique dont le diamètre est de 33 pieds 4 pouces ?

Rep. 33g X 33g X ,7854 x 2 = 1755 pieds carrés; car, si la surface de la sphère entière vaut 4 grands cercles, il est clair que celle de l'hémisphère vaut 2 grands cercles.

6. La voûte du rond-point d'une église e?t en furmed'un quart de .«phère dont le rayon est lie 15 pieds ; on demande le nombre de verges d'enduita Décespaire pour en revêtir la surface ?

Rep- 30 X HO X .7854^9-78.54 ou 78^ verges: car, pui>que la sphère entière vaut 4 grands cercles, le quart de sphère n'en vaut qu'un.

7. Quel sera, à raison de 5 livres au pied carré, le poids d'une chaudière hémispiiérique en cuivre dont la circonlèrence est de l88^ pouces ?

Rep. l8S.5-=-3.1416 = diam. = 60 et 188.5x60 = 11310 pouces carrés dont la moitié 5655-=-l44~ 39.27 pieds carrés, cette surface multipliée par 5 (lepuids par pied c.) donne 196.35 livres.

(1539) REGLE III. Considérez la surface de la sphère commt un composé de trapèzes continus ou de zon>iS d'égales largeurs et procédez à la manière du paragraphe (lît'îO).

Ex. 1. Quelle est la superficie d'un hémisphère dont le diamètre est 263 ?

Rep. La circonférence=263 X 3.1416 = 826.2408, le quart de circonfé. rence 206.5602 divisé en 5 parties égales, donne pour largeur développée d'une des zones coniposantes 41.31204. Les diamètres intermédiaires de ces zones obtenus au moyen d'une échelle de 40 unités au p^.uce, mesurent respectivement, comptant de la base au sommet, 250, 213, 154, et 82 ; la somme de ces diamètres intermédiaires plus la moitié (131.5) du diamètre 263 à la base, est 830.5; cette somme x 3.1416 donne la somme 2669.0988 des circonférences à entrer dans le calcul ; cette dernière x 41.31204, lar^reur d'une des zones, doune enfin pour réponse 107,787 unités de surfaces.

RE^TÎ. Les deux premières règles donnent chacune pour surface de l'hémisphère proposé 108,650.66 unités. La différence entre ces résultats est de 863.5, 863.5-=-108,650 = .008 près, c'est-à-dire que le taux d'erreur est de I de 1 pour cent à peu près. On en conclut que dans tout cas analou'ue il suffira d'augmenter de .008 ou de .01, près, le résultat obtenu par cette règle, pour être très voisin de la surface requise.

Ex. 2. Soit à opérer maintenant avec 10 sections ou zones au lieu de 5 le diamètre de l'hémisphère restant !e même ?

Rep- Les 9 diamètres intermédiaires étant comme suit : 260, 250 234 213, 186, 154, 119, 82, et 42, leur somme -t- 131.5 (moitié du diam. 263 a la base) est 1671.5, cette somme x 3.1416=5251.1844 pour la somme des circonférences à servir d'élément au calcul proposé ; la largeur d'une des zones composantes sera dans ce cas j'j du quart de circonférence, c'est-à-dire 862.2408h-4h-10 ou de suite par 40 = 20.65602; or, 5251.1844 x 20.65602 = 108,468.57; on a déjà vu que le résultat exact est 108.650.66; la dilîérence de ces résultats n'est plus que 182 qui équivaut à .0017, c'est-à-dire que le défaut n'est plus que du ^ de 1 pour cent.

Ce taux d'erreur ajouté au résultat de tout autre opération analogue don-

nerait donc à peu de chose près, une approximation assez voisine de la vérité.

Ex. 3. Vo^yons maintenant en quoi l'on ajoutera à la précision du résultat, en opérant la solution du mêine problème, au moyen d'un nombre additionnel de subdivisions, soit 20 par exemple.

R p. Les 19 diamètres intermédiaires sont 262, 260, 256, 250, 243, 234, 224, 213, 200, 186, 171, 154, 138, 119, 101, 82, 62, 42, 21; somme des diamètres intermédiaires + le demi-diani. à la base = 3349.5 ; multipliant par 3.141G et par 10.32801 flargeur d'une des sections) l'on a 108,679.5 contre 108,650.66 la surface exacte. La diflérence est dans ce cas en excès au lieu d'être en défaut de la surface voulue, comme elle devait l'être (1520) et comme elle le serait en effet si l'on avait calculé les diamètres intermédiaires des zones composantes au lieu de les obtenir graphiquement ou mécaniquement comme on l'a fait à l'aide d'un diagramme en petit sur le papier et d'une éclielle de parties égales. Cette différence ou excédant n'est cependant que de 29 unités sur 108,650, soit de .00027 ou moindre que Jj de 1 pour cent; elle est due à ce que l'on ait négligé en mesurant les diamètres intermédiaires, les fractions d'unités qu'on pourrait au besoin faire entrer en compte ; mais avouons que dans la pratique un résultat qui comme celui ci ne s'éloignerait de la vérité que de ^^^^ soit en plus ou en moins, équivau. drait à une exactitude parfaite.

C1540) KEM. Si nous mettons cette troisième règle au nombre de celles dont ou peut faire usage pour déterminer la surface d'une sphère ou partie de sphère ; ce n'est pas qu'on trouverait à propos d'en faire l'application pour arriver à la surface d'une sphère proprement-dite ou à la solution de tout problème analogue pouvant se résourdre par des règles plus simples et plus directes; mais c'est que dans la pratique, il est assez rare que l'on ait affaire à une sphère parfaite, à une partie de sphère parfaite, à un sphéroïde ou partie de sphéroïde proprement-dit, à un paraboloïde ou h3"perboloïde exact, ou en général à un solide de révolution, dont la courbe génératrice soit une exacte section de cône, telle que le cercle, l'ellipse, la parabole et l'hyperbole. Il est donc évident que dans tous les cas où l'on n'aurait pas à opérer sur un sphéroïde ou conoïde parfait, ou dont l'on ne" pourrait établir l'espèce que par un travail préliminaire considérable, il vaudra mieux procéder de suite par la llègle III que de recourir à une autre règle qui n'aurait pas exactement trait, on ne s'appliquerait pas avec précision au problème proposé.

(1541) Ajoutons aussi que si la surface à estimer au lieu d'être partout d'' égale courbure comme celle de la sphère, était, comme celle d'un paraboloïde, etc., de courbure inégale, l'on pourrait, avant de procéder à la subdivision en zones d'égales largeurs, diviser d'abord la surface à estimer en deux ou plusieurs parties que l'on subdiviserait ensuite en un moindre

ou plu." grand nombre de zones suivant le moins ou plus de courVmre dans la partie correspondante de l'arc générateur. L'on calculerait alurs .-éparément les parties d'inégale courbure pour prendre ensuite la somme de ces parties.

(1542) D'ordinaire aussi, le mesureur ou géomètre, ne perdra pas de rue, en s'enquérant du degré de précision à apporter dans r exercice des détails de son art, l'importance de ne pas dévouer à la solution d'un problème, un travail et un temps que ne justifieraient par les circonstances. Il serait par exemple oiseux, disons même injuste, que pour établir à un millionième, n)illième, centième ou à toute autre unité près du résultat exact, une surface ou un volume proposé, on y dévouât un travail qui en tît coûter aux intéressés plus qu'une fraction de la valeur de telle unité. Noua disons, "d'ordinaire," car il est clair qu'il peut y avoir des circonstances, soit dans une question ou cause en litige, où les frais de faire droit aux parties peuvent dépasser et dépassent eu etiet souvent dans une proportion illimitée la valeur de l'enjeu.

PROBLÈME XXXÎÎI.

Trouver le volume d'une sphère.

(1543) REGLE I. Multipliez (1075) la surface par le tiers du rayon.

REGLE !!• Cubez (1103, 10°) le diamètre et multipliez le nombre ainsi trouvé par ^^: &est à dire par 0.5236 ouïe volume d'une sphère dont le diamètre est 1 ; car (10§4) les solidités ou volumes de deux sphères quelconques sont comme les cubes de leurs diamètres.

R! GEE III. Multipliez (1521) A: fois la surface d'une section de la sphère à distances égales de ses extrémités ou sommets opposés par le sixième de la hauteur perpendiculaire à cette section. Cette règle, dans le cas de la sphère, est évidemment analogue à la première, car la surface de la sphère vaut 4 grands cercles, le grand cercle est la section de la spjiere par un plan passant par le centre c'est-à-dire à distances égales de deux points opposés de sa suriace, et le 6éme de la hauteur n'est que le 6ème du diamètre ou le tiers du rayon.

Ex. 1. Quelle est le volume d'une sphère dont le diamètre est 12 ?

Rep. 12 X 12 X 12 X ,5237=. 904.7808.

2. Si le diamètre moyen de la terre est de 7918.7 milles, quel eu est le volume en milles cubes ?

Rtep. (7918.7)' X .5236 = 239,992,792,082.63749158 m. cub.

3. Une flèche de clocher est terminée par une boule pphérique dont le diamètre est de 2| piedsj quel en est le volume ?

Rt-p. 2|x 21 = 71=7.1111111, 7x 2| = 18.66G66G6, 2|xà ou 2.6666666

H-9 = . 2962962, 18.6666666 + .2962962 = 18.9629629 = (2§/, et 18.9629629 X .5236 = 9.9290074 pieds cubes.

4. Qui'! est le contenu .solide d'un boulet de canon d'un diamètre de 10 pouces ?

Rep. 10^ = 1000, et 1000 x ..5236 -- 523.6 pouces cubes.

5. Combien faut-il de pouces cubes de poudre à tirer pour remplir un obus dont le diamètre intérieur est de 12 pouces ?

Rep. 12x12 X.7854 x 4 ou 12* x 3.1416 = 452.3904 = surface de la sphère et cette surf, x g rayon ou | diam., c'est-à-dire par 2, =904.6808 pouces cubes.

6. Combien de pieds cubes contiendra une bouée en forme de sphère d'un diamètre de 10 pieds.

Rep. 523.6 pieds cubes, ■y. Une boule en pierre a 3 pieds de diamètre; quel en est le poids, à raison de 150 livres au pied cube ?

Rep. 3 X 3 X 3 x .5236 x 150 = 2120.58 livres.

8. Combien de gallons de liqueur (231 pouces cubes au gallon) pourront trouver place dans une chaudière hémisphérique de 10 pieds de diam.?

Rep. Le contenu du vaisseau en pieds cubes=10 x .5236-^2 = 261.8,

le nombre de gallons par pied Ciibe=1728 pouces cubes-^231 = 7.4805195,

soit 73, et 261 .8 X 75=1963^ gallons, ou plus correctement 261.8 x 7.48 =

1958.26 gallons.

9. Une voûte hémisphérique de l'épaisseur uniforme d'un pied, mesure 10 pieils de diam. intérieur; combien a-t-il fallu de briques pour le construire, à raison de 20 briques au pied cube?

Rep. Il est clair que la solidité voulue est égale à la différence des volumes des hémisphères extérieur et intérieur; or, l'iémisphère ext. =

12 x5236-f-2 = 452.39 pieds cubes, l'hémisphère int. = 10 x .5236-^2 =

261.8 pieds cubes : la différence de ces volumes est 190.59 pieds cubes et