TOISÉ THÉORÈME

(1520) Expression générale pour la surface latérale, (convexe ou concave) d'un solide de révolution quelconque, ou d'un segment ou tronc de tel solide à une seule "base ou à deux bases parallèles, et dont le plan de section est perpendiculaire à l'axe de la courbe génératrice.

Divisez la courbe génératrice en parties égales assez petites pour que chacune d'elles soit sensiblement une ligne droite ; faites passer par chaque point de division une circonférence parallèle à la base ou perpendiculaire à l'axe du solide. Ces circonférences parallèles diviseront la surface à estimer en zones d'égale largeur ; chacune de ces zones sera un trapèze continu dont on aura la surface en multipliant la demi-somme de ses bases ou cir" conférences parallèles par la hauteur ou largeur de la zone, et la surface entière du solide proposé sera égale à la somme des surfaces de ses zones composantes.

On aura donc la surface voulue en ajoutant à la demi-somme des circonférences des hases ou extrémités opposées du solide, la somme des circonférences intermédiaires de toutes les zones composantes, pour multiplier ensuite le tout par la largeur d'une de ces zones : expression analogue à celle du par. (1421) pour la surface plane d'une figure quelconque-

Ainsi AB-C étant un conoïde quelconque, un demi-fuseau, une hémisphère, un demi-sphéroïde ou un segment quelconque de sphère, de sphéroïde ou de fuseau, à une seule base AB, on en aura la surface latérale = (-^circ. AB + cire, ab ■\- cire, cd) x Aa=ac = c(J.

Si le serment ou tronc donné ABdc a deux bases AB, cd, la surface sera = (^ cirer AB + cire, ah + cire. etc. + i cire, cd) x Aa ou ac. Si les moitiés opposées du solide sont symétriques comme dans la futaille ou barrique AB ou autre tronc ou segment central de fuseau ou de f^phéroïde, il e.«t à peine, nécessaire d'observer qu'il suffira d'opérer sur Tune des moitiés symétriques pour doubler ensuite le résultat.

Si le solide AB-C dont il s'agit est à surface concave, c'est-à-dire, engendrée par la révolution d'une courbe AC ou Ag- qui présente sa convexité à l'axe CD du solide, il est clair qu'on aura tout de même cette surface = (^ cire. AB4-circ. ah + cive. cd +

cir. ef) X Aa ou ac, etc., dans le cas B j^""""^--;]) — '^B

du conoïde ou segment à une seule base, ou = (^ cire. AB-fcirc. ah + cire. etc. + ^ cire, gh) x Aa ou ac, etc. dans le cas du tronc ou segment à deux bases parallèles AB, g/i.

11 suit évidemment de ce qui précède que si la ligne génératrice de la surface à estimer est mixte, c'est-à-dire en partie convexe et en partie concave, ou si cette ligne est en partie droite et en partie courbe, le même procédé conduira tout aussi simplement à la détermination de cette surface ou superficie.

Il est à remarquer que la formule générale qu'on vient d'établir donnera

d'ordinaire, pour toute surface convexe, un résultat qui sera en défaut de la

superficie voulue du solide, et de même, le résultatqu'on en obtiendra dans le

cas d'une surface concave, sera en excès de la surface réelle du corps proposé. En effet, dans la pratique, la largeur AaC de l'une des zones composantes

de la surface à déterminer, sera plus ou

moins éloignée de la droite AcC, suivant

que AC sera une partie plus ou moins

grande de la courbe génératrice. Au

lieu donc de considérer AC comme ligne

droite avec une longueur = AcC, on ajoutera à l'exactitude du résultat en prenant pour largeur de la zone la largeur

développée AaC de cette zone, que l'on obtiendra assez exactement à l'aide d'une échelle départies égales suffisamment subdivisée et assez mince pour pour pouvoir s'ajuster à la direction convexe ou concave de l'arc à estimer Cependant, malgré qu'on aura ajouté à la précision de l'opération en substituant à la largeur rectiligne AcC de la zone, sa largeur réelle AaC ; on n'en sera pas moins encore en défaut ou en excès de la surface voulue, quoique d'une quantité très petite relativement à la superficie totale. Cette quantité sera, à très près, égale à (ac + bd) (ou 2ac) x 3.1416 x ^ AaC ou à 3^ fois le double de la surface de l'espace AcCaA, ou à 12f fois la surface de de l'espace triangulaire ayant ac pour base et pour hauteur la longueur

développée de l'arc aC; car 2acx 3.1416 est évidemment la différence entre la circonférence ab et la moyenne, cd, des circonférences AB, CD, et c'est précisément du produit de cette diti'érence par la longueur de l'arc aC ou ak, ou ce qui est la même chose, du produit de la demi-ditiérence ac par l'arc entier AaC que la surface convexe demandée est faible ou en défaut, ou que la surface concave à déterminer est forte ou en excès ; mais à cause de AC très petit, la différence, soit en plus ou en moins, entre la surface exacte et la surface obtenue par la formule, ne sera toujours, comme on vient de le dire, qu'une quantité relativement petite et insignifiante, ce que d'ailleurs on verra bientôt à l'endroit des quelques problèmes et solutions que Ton se propose de soumettre afin de pouvoir en comparer l'exactitude avec celle des résultats que fournissent les règles ordinaires, et pour juger en même temps de la somme de travail nécessaire pour y parvenir.