Quel est le volume d'un icosaèdre dont le côté est

Rep. 17453.56.

11. L'on a terminé un monument par une boule ou couronnement en pierre taillée ayant la forme d'un dodécaèdre dont l'arête ou le côté mesure 13^ pouces : on demande le volume du bloc de pierre en pieds cubes et sa surface en pieds carrés ?

Rep. la surface = 13.5 x 13.5 x 20.6457288=3762.6840738 pouces carrés. L'on obtiendrait tout de même cette surface sans l'aide de celle du tableau, en faisant séparément par la méthode du par. (1441) la surface d'un des polygones composants et en multipliant ensuite par 12 l'élément ainsi

TOISâ

obtenu ; ainsi l'aire ou surface d'un pentagone dont le côté est 1 = 1.7204774, multipliant par 182.25 (carré du côté donné) l'on a pour superficie d'une des faces du polyèdre proposé 313.55700615 pouces carrés ; puis, multipliant par 12 (nombre de faces du dodécaèdre) l'on a comme auparavant 3762. 6840738 pouces carrés, ce qui prouve aussi l'exactitude du multiplicateur du tableau. Maintenant on n'a qu'à diviser le nombre de pouces qu'on vient de trouver par 144 (les pouces carrés dans un pied carré) pour avoir 26 pieds carrés 18.684 pouces carrrés, la surface demandée.

Kep. Le volume= 13.5x13.5 X 13.5 ou (13.5) ou 2460.375 x 7.6331189 = 18780.3349 ponces cubes, divisant par 1728 (nombre de pouces cubes dans un pied cube) on a 10.87 près pieds cubes.

PROBLÈME XLII

Étant donné le diamètre d'une sphère, trouver le côté de

l'un quelconque des polyèdres réguliers, qui puisse

être inscrit dans la sphère, circonscrit à la

sphère, ou qui soit égal à la sphère.

(Î55S) BIEC1I.E. Multipliez le diamètre donné par le nombre qui, dans la table suivante, répond à la demande, et le produit sera le côté du polyèdre voulu.

Il suffit dfe ce que l'on a déjà dit à l'endroit des polyèdres réguliers (pages 423 à 427) pour faire comprendre de suite comment on a pu calculer cette table.

Le diamètre

Capable d'être

Capable d'être

Egal en volume

d'une spère étant

inscrit dans la

circonscrit à la

à celui de la

1, le côté d'un

sphère, est

sphère, est

sphère, est

Tétraèdre

Hexaèdre • . .

Octaèdre

Dodécaèdre; ....

Icosaèdre

Ex. L'on veut refondre en forme d'un cube parfait d'égal volume, un boulet de canon dont le diam. est de 10 pouces; quel sera la longueur du côté de l'exaèdre voulu ? Rep. 0.8059958 x 10 =^ 8.059958 pouces.

2. De combien diminuera-t-on le poids d'une sphère en pierre dé 5 pieds

de diamètre, en le réduisant au plus grand polyèdre régulier de 20 côtés

qu'on puisse en tirer, le poids de la pierre étant supposé égal à 150 livres

par pied cube ?

Rep. Le vol. delà sphère donnée = 5 x. 5236 = 65. 45 pieds cubes ou

65.45 X 150 = 9817^ livres pesant. Le côté de l'icosaèdre voulu sera, d'après la rè^le, 0.5257309 x 5 = 2.628G545 ; cubant ce dernier nombre, on a 18.163 et multipliant ce cube par le volume 2.181G95 du polyèdre de même nom dont le côté est 1, on a pour le volume de la sphère réduite en icosaèdre 39.626 pieds cubes ou 39.626x150=5943.9 livres pesant; la diftërence 3873.6 livres est le poids demamlé.

PROBLÊME XLIIL

Étant donné le côté de l'un des cinq polyèdres réguliers, trouver le diamètre d'une sphère qui puisse être inscrite dans le polyèdre, circonscrite au polyèdre ou qui lui soit égal en volume.

C1559) REGLiE. Faites la proportion suivante: le nombre respectif de la table ci-dessus, sous le titre ^^ inscrit, " '' circonscrit, " " égal, " est d 1, comme le côté du polyèdre donné est au diamètre de la sphère inscrite, circonscrite ou égale, suivant le cas.

En d'autres termes : le côté du polyèdre inscrit, circonscrit ou égal (suivant le cas) de la table, est au diam. 1 dé sa sphère circonscrite, inscrite ou égale, comme le côté du polyèdre donné est au diam. de sa sphère circonscrite, inscrite ou égale.

Ex. 1. Le côté d'un icosaèdre est 2.62865, on veut le réduire en i;ne sphère du plus gi*and diamètre possible, quel sera ce diamètre ?

Rep. .6615845 : 1 : : 2.62865 : 3.973, près, le diamètre voulu. La surface de l'icosaédre donné est (1441) 2.62865 x 2.62865 x .4330127 x 20 = 69.842355, cette surf, x 3.973^-6 (c'est-à-dire par le sixième du diam. ou tiers du rayon de la sphère inscrite) donne pour le volume de l'icosaédre 39.6259 pieds cubes ou 39.626, comme dans l'exemple 2 du problème précédent, chacun des deux résultats étant de cette manière une vérification de l'exactitude de l'autre et en même temps une preuve de l'exactitude des facteurs du tableau.

2. On demande quel sera le diamètre du boulet de canon qu'on pourra obtenir en faisant retondre une masse de fer en forme d'un octaèdre de 12 pouces de côté ?

Rep. 1.03563 : 1 :: 12 : 11.58715, c'est-à-dire, le diam. du boulet sera de 11.6 pouces près.

PROBLÈME XLIV

Trouver le volume d'un sphéroïde quelconque.

fl560) REdiE I. Multipliez V axe fixe par le carré de. l'axe de révolution et le produit par .5236 : le résultat sera le volume demandé.

REÎV. Il est clair que cette règle est en tout analogue à celle que l'on donne (10S6, 1543) pour établir le volume d'une sphère ; et en effet, le sphéroïde, comme la sphère, vaut les g de son cylindre circonscrit ; car l'on démontre en " sections coniques "

que SI l'on a Ao : oO dans l'ellipse :: Ao : ~" ^ Ji ,-\p

oO dans le cercle, l'on aura aussi oc : OC j»

dans l'ellipse ..oc: OC dans le cercle ; de là, puisqu'on peut (1009) regarder la sphère et le sphéroïde comme composés chacun d'une mfinité de tranches minces ou de surfaces superposées engendrées par la révolution d'un même nombre d'ordonnées oc perpendiculaires à l'axe fixe AB des deux solides, et que ces surfaces composantes sont entre elles comme les carrés des rayons générateurs, il est évident que les deux solides seront aussi entre eux comme les carrés (104) de ces ordonnées, ou, ce qui est la même chose, comme les surfaces des bases ou sections correspondantes des cylindres de même hauteur AO circonscrits à ces solides.

Ce que l'on vient de dire du sphéroïde allongé AB et de sa sphère circonscrite, s'entend également du sphéroïde aplati CD et de sa sphère inscrite, car, quel que soit le rapport de Om à mC dans chacun de ces deux derniers solides, on aura entre am et AO de l'un le même rapport qu'entre awi et AO de l'autre.

(1561) REGtiE II. Multipliez (1528) 4 fijis la surface d'une section quelconque (AB, CD, GH, etc.) passant par le centre (0) du sphéroïde, par ^ de la hauteur perpendiculaire (CD, AB ouEP, etc.) du solide correspondant d telle section.

Car, en premier lieu, pour ce qui est du sphéroïde engendré par la révolution de la demi-ellipse ACB autour de son axe AB, les facteurs dans les deux règles se réduisent aux mêmes. En effet la première règle donne pour volume AB x CD x CD x .5236 et la seconde règle donne CD x CD X .7854 X 4 X i AB ; si ces expressions sont égales ou équivalentes, l'on doit avoir (en négligeant les facteurs AB, CD, communs aux deux formules) .7854 x4xJg=- .5236; or .7854 x 4=3.1416 et 3.1416^6 = .5236 ; donc, etc. En second lieu, la section AB du même sphéroïde est une ellipse égale en tout à l'ellipse ACBD et sa surface est (1469)=AB x CD x .7854 ;

si la seconde règle est correcte, l'on aura donc AB x CD x .7854 x 4 x ^ CD =AB X CD X CDx .5236 ; et en etîet en éliminant les facteurs AB, CD et CD qui sont communs aux deux expressions, il reste encore .7854 x 4 x ^ — .5236 ; donc, etc.

Eu ti'Oisîcnic lîeu, il est à démontrer que 4 surf, section GH x ^

t EP est encore égale à CD x AB x .5236 ; or, les sections coniques enseignent

que quels que soient les axes ou diamètres conjugés (*) G H, EF dont oa

se sert, les parallélogrammes circonscrits à l'ellipse et dont les côtés sont

parallèles à ces axes conjugés sont tous égaux en surface au rectangle AB

X CD ; mais (1421) la surface du parallélogramme ayant pour côtés GH, EF est GH X EF X sin. nat. angle EOG ou EFP = GH x EP. La surface de la section GH = (car toute section d'un sphéroïde est une ellipse) GH x CD

X.7854 et l'on vient de voir que GH x EP = AB x CD; donc GH x CD x .7854 X 4 X ^ EP = AB X CD X CD X .5236, CD étant commun aux deux formules, AB X CD = GH X EP et .7854 x 4 x ^= .5236 ; donc, etc.

REÎTI. Dans le cas du sphéroïde aplati engendré par la révolution de la demi-ellipse DAC autour de l'axe CD, la preuve est analogue à celle que l'oa vient de donner.

Ex. 1. Quel est le volume d'un ellipsoïde allongé dont l'axe de révolution est 60, et l'axe fixe 80 ?

Rep. 60 X 60-3600, 3600 x 80 = 288000, 288000 x .5236 = 150796.8 unités de %'olurae.

2. Avec les mêmes données, quel sera le volume du sphéroïde aplati ?

Rep. 80 X 80 = 6400, 6400 x 60 = 384000, 384000 x .5236 = 201062.4 unités de volume.

3. Un sphéroïde allongé a pour axes 100 et 200 : quelle en est la solidité ?

Rep. 100* X 200 x .5236 = 1,047,200 = le volume demandé. Maintenant, soit EF dans cet exemple un diamètre quelconque=166, on aura son conjugé GH = VaB* -r CD* — EF* (car l'on démontre en " sections coniques " que la somme des carrés de toute paire de diamètres conjugés est égale à la somme des carrés du grand et du petit axe) = 149.81322, 4 surf. GH=GH x CDx. 7854x4 = 47065.3212. Puisque AB.CD = EF.GH x sin. nat. EOG, on obtient sin. nat. EOG = AB.CD^EF.GH = 20000-f-24869 = .8042141 = 53° 32 , et .8042141 x 166=.EP = 133.49954, et 47065.3212 x 133.49954-^6 =1,047,199.8, la différence .2 entre les deux résultats se rapportant aux décimales qu'on a négligées dans le calcul.

4. Si les deux axes de la terre sont entre eux comme 304 et 303 quel sera

(*) Le diam. GH, conjugé de EF, est celui qui est parallèle à la tangente PF à l'ellipse as point F, où le diam. EF rencontre la courbe.

le volume du sphéroïde (il est aplati, le diain. polaire étant inoindre que le diain. équatorial) et de combien ce volume difi'èrera-t-il de celui d'une sphère feur le grand axe ?

•Rep. Le vol. du ?phéroïJe==H04 x 304 x 303 x .523G =14661872.3328 le volume d'une sphère sur le grand axe = 14710261.3504

et la différence de ces volumes est 48389.0176.

PROBLÈME XLV

Déterminer le volume d'un segment quelconque de

sphéroïde à une seule ou à deux bases parallèles,

perpendiculaires ou non, aux axes du solide.

C1562J REGIjE. -4 la somme des surfaces des bases du segment, ajoutez ifois la surface d'une section à demi-distance entre elles et multipliez le tout par ^ de la hauteur du segment : le produit sera le volume demandé.

Eai premier lîcu, pour ce qui est du demi-sphéroïde (dont on peut d'ailleurs obtenir le volume en faisant celui du sphéroïde entier pour en prendre ensuite la moitié) on a vu (1560) que surf, section cd : surf, spction CD dans le sphéroïde : : surf, section cd : surf, section CD dans la sphère ; or il a été démontré (1428) que dans la sphère, surf, cd à demi-distance entre A et 0 = |surf. CD; donc aussi dans le sphéroïde, surf. ctZ=|surf. CD ; donc surf. CD 4-4 surf, cd—4, surf. CD, et par le dernier problème, vol. ACD --^ 4 surf. CD X ^ AO ; donc vol. ACD -= (surf. CD -[- 4 surf, cd) x ' AO.

Mainleuiint, pour le demi-sphéruïde dont la base AB est une ellipse=

ACBD et dont la section ah est aussi une ellipse semblable à la base, (car toutes

sections parallèles quelconques du sphéroïde sont des ellipses semblables)

on a encore surf, ab : surf, AB : : surf, ab : surf. AB dans la sphère, car

ab : AB : ab : AB dans les deux solides et (104) ab : AB y. ab : AB dans

les deux solides, et les surfaces des ellipses semblables, comme de toutes autres figures semblables, sont entre elles comme les carrés de leurs diamètres ou autres lignes homologues; donc surf, ellipse ab=% surf, ellipse AB ; or, vol. demi-sphéroïde ACB = par le dernier problème 4 surf.' AB x ^ CO ; donc aussi le même volume=(surf. AB + 4 surf, ab) x ^ CO.

REiTI. 1. C'est encore une propriété de l'ellipse que tout diamètre EP de cette figure bissecte toute corde ou double-ordonnée gh parallèle au diamètre conjugé GH, ce qui donne nh=ng et l'on démontre que de même que l'on a (sections coniques) AB : CD :: VAo.oB : oc, et CD : AB:: VCm. mD : mh, de même on a aussi EF : GH :: VEti. nF : nh et par suite que n/i : OH : : mb : OB : : oc : OC quand On, Owi et Oo ont à OF, OC et OA

ou à nF, mC et oA le même rapport. On aura donc surf, section gh = l surf, section GH et comme il est déjà démontré que vol. demi-sphéruïde GFH = ^ (4 surf. CtH X i EP) on aura aussi vol. GFÏÏ=(surf. GH + 4 surf, gh) x l Op ou par J EP-f-2.

Ea $iei*Oud Iieu« pour ce qui est de tout segment de sphéroïde autre que le démi-sphéroïde, il suffit de ce que l'on vient de dire et de la démonstration qu'on a donnée au par. (1529'> de l'exactitude de la règle dans le cas d'un segment quelconque de sphère, pour faire comprendre aussi son exactitude dans le cas actuel ; ce qui dispensera aussi d'ajouter sans nécessité aux dimensions déjà volumineuses de ce traité.

Ex. 1. Quel est le volume d'un segment MNA de sphéroïtle à une seule base MX perpendiculaire à l'axe tîxe AB, la hauteur Ao du segment étant de 10 unités et les longueurs des axes AB = 100/CD=60?

Rep. AB: CD:: VAo. o^:oM, d'où oM = lS etMN = 3G ; rm = A.r.rb x CDh-AB = 13.07G6985

et mn — 26.10.1397 ; surf. MX -F 4

urf. vm = (MN + 4 mn ) x.7854,

MN* = 1296, mn = 684 à très près, (1296 -^ 4 fois 684) x .7854 = 3166.7328, multipliant par ^ Ao, ou par ^ 10, on a 5277.888 unités de volume dans le segment proposé.

2. On demande la solidité d'un segment MNB de sphéroïde par un plan MN perpendiculaire à l'axe fixe AB, oB étante 90 et AB, CD lOo' et 60 respectivement?

Rep. Si m' r' n'est pas donné on le trouve = Ar'.r'B x CD-=-AB (puisque AB : CD ; : V Ar .r'B : r'm' ou 100 : 60 : : Vôô x 45 : r'ni') = 29.8496208 ou m'n'

= 59.6902416, MN +Am'n' x .7854 x ^ oB = vol. MNB=183218.112 ; la

somme 188,496 de ces volumes et le volume du sphéroïde entier ACBD, car

(1560) 60x60=3600,3600x100 = 360,000 et 360,000 x .5236 = 188,496,

ce qui prouve aussi l'exactitude de la règle de ce problème.

RE3I. lï. Dans les deux derniers exemples on a supposé les axes AB et CD connus; mais cette connaissance n'est aucunement essentielle, puisque les diamètres intermédiaires mn, m'n' sont censés connus ou que d'ailleurs on peut les obtenir directement en mesurant, dans la pratique, ces diamètres; et c'est là l'un des avantages de la règle de ce problème, qu'elle ne requiert pas que l'on sache à quel sphéroïde appartient le segment à estimer.

3. Un segment MNC de sphéroule par un plan MN perpendiculaire à l'axe de révulution CD, et dont la base est par conséquent une ellipse, a pour hauteur oC 12 unités, les axes AB, CD étant respectivement 100 et 60 : quel est le contenu solide du segment ?

Itep. CD : AB : : Vcô^: oM ou 60 : 100 : :

V48 X 12 : 40, et parce que les sections parallèles MN, AB sont semblables, on a AB : CD : : MN -.pq diamètre conjugé de la base elliptique MN du segment donné ; donc ^y = 60 x 80 -=- 100 = 48 et surf. Mp Nq=80 x 48 x .7854 . puisque oC=12 on a rC=6 et rD = 54, 60 : 100 : : V54 x 6 : 30 = rm, le diam. conjugé de rm = 18 (car 100 : 60 :: 30 : 18) et la surface de la section mn= 60 X 36 X .7854 ; cela posé, on a vol. MNC=(surf. MN. + 4 surf, mn) x | oC

=MN + 4 mn x .7854 x 2 = 19603.584 unités de volume.