Quel est le volume de l'autre segment de même sphéroïde

Bep. On a r'D^oD - ^oC = 24, et r'C = 36, d'où l'on obtient comme auparavant m 7i'=97. 9796 ; l'autre diam. ou axe de l'ellipse mn' = 58.78 776; d'où surf, m'n' = 4523.904 et surf. MN + 4 surf. m'n' = 21111.552, cette somme x -^ 48 ou par 8 = 168892.416 le volume demandé.

Les deux segments réunis donnent 188,496 qui est en effet le volume du sphéroïde entier comme on l'a vu à l'endroit du 2ème exemple.

5. Quelle est la solidité d'un segment ou tronc central AD de sphéroïde dont les bases parallèles sont des cercles égaux de 40 pouces de diamètre, le plus grand diamètre du tronc = 50 pouces et la hauteur ou distance entre les bases parallèles 18 pouces ?

Rep. (Surf. AB + surf. CD + 4 surf. EF) x ^ 0P=

(40* + 40*(ou 2 fois 40*) + 4 fois 50 )x. 7854x3 = 31101.84 pouces cubes ou 18 pieds cubes près.

6. Les diamètres respectifs des bases parallèles d'un tronc de sphéroïde sont 10 et 20, le diam. d'une section à distances égales de ces bases est 30 et la hauteur du tronc est 40 : quel est le volume ?

Rep. (10% 20 *+ 4 fois 30*) x .7854 x 40^-6=3220.14 x 40^-6=64402.8 pouces cubes.

7. L'une des parties composantes d'un cul-de-lampe adossé à un mur, présente la forme d'un demi-segment ou tronc de sphéroïde à bases parallèles eUiptiques. Les diamètres des ellipses ou plutôt des demi-ellipses inf. et sup. mesurent respectivement 30 et 39 pouces, le diamètre intermédiaire est 36 et les trois demi-diamètres conjugés ou saillies du cul-de-lampe mesu-

rent 10. 13 et 12 pouces, la hauteur du tronc est 18 pouces: quel en est le volume ?

Rep. (30 X 10 + 39 X 13 + 4 fois 36 X 12) X .7854 x 3 = 59729.67 pouces cubes ou 3.4 pieds cubes près.

S. L'on désire savoir combien il y a de gallons (231 pouces cubes au gallon) dans une barrique de vin dont la longueur est 40 pouces et les diamètres au centre et à chaque extrémité 32 et 24 pouces ?

Rep. (2 fois 24+4 fois 32 ) x .7854 x 40 -=- 6 = 27478.5 pouces cubes,

divisant par 231 on a 119 gallons à moins d'une septier près.

9. Dans un vaisseau incliné, dont la forme paraît être celle d'un demisphéroïde, se trouve une quantité de liqueur, la plus grande profondeur de la liqueur est 15 pouces, les diamètres respectifs de sa surface elliptique sont 48 et 36 pouces et les diamètres correspondants de l'ellipse parallèle intermédiaire entre la surface et le fond sont de 30 et 22^ pouces ; quelle est la quantité de liqueur dans le vaisseau ?

Rep. (48 x 36 + 4 fois 30 x 22.5; x .7854 x 2.5 = 8694.378 pouces cubes, eoit 37f gallons près.

PROBLÈME XLVI

Déterminer le volume d'un tronc de sphéroïde à bases non parallèles.

(1563) REGLil!. Faites le volume du segment de sphéroïde d une seule base dont le tronc donné fait partie, faites aussi le volume de la calotte qui manque au tronc donné pour compléter le segment ; la différence de ces volumes sera celui du tronc proposé.

Ex. 1. Soit à trouver le volume de la partie CDae .

d'un sphéroïde compris entre un plan CD passant par /<^'T'3^ ■'

le centre perpendiculairement à AB et un autre plan l-v^ v\ ■

quelconque ea non parallèle au premier. L/A .wP-

Rep. Il nous faut à cet effet déterminer l'axe in- «( V' 1/ m

connu AB du sphéroïde dont la hauteur AO du seg- STr^^'^^X '

ment CDA fait partie. Ayant )nesuré une ordonnée «\ \~]h

quelconque ab et les abscisses C6, 6D ou plutôt dD — ab, \^ J^

ctd — 6D et C6 = CD - 6D, on fera (sections coniques) 5

VCô.ôD;: a6 : : CD : ab et on aura le vol. de CDA=4 surf. CD x ^ AO. L'on mesurera ensuite ae, OH parallèle à ae, oO menée du centre au point milieu o de ae (oO formant partie du diam EP le conjugé de GH) et l'abs. cisse pH de l'ordonnée ap parallèle et égale à oO ; avec ces données, Ton fera "^GppB. -.ap:: GH : EF; on aura alors oF et par suite la perpendiculaire

Fr, comme au par. ('1561 Kx. 3). Il reste à établir le diam. mn d'une section intermédiaire entre ae et le sommet F de la calotte aeF ; or l'on aura mq ou 7iq moitié (16G2. REM. 1.) de mn en faisant EF : GH:: VEç.çF : mq. Enfin on aura le volume demandé CDae=(4 surf. CD x ^ Ao) moins (surf, ae + 4 surf, mn x ^ Fr).

2. Si le solide à estimer était le tronc KLae, Pou opérerait pour la calotte KLB comme on l'a fait pour eaF et la somme des volumes de ces calottes distraite de celui du sphéroïde entier ACBD, il resterait le volume du tronc proposé.

PROBLÈM XLVII.

Trouver la solidité d'un paraboloïde droit ou oblique ou d'un tronc ou segment quelconque de paraboloïde compris entre bases parallèles, perpendiculaires, ou non, à l'axe du solide.

(Ï.564) ÎIEGÎLE. A la somme des surfaces des bases opposées, ajoutez 4 fois la surface d'une section intermédiaire à demi-distances entre elles ; multipliez le tout par ^ de la hauteur du corps à estimer et le produit sera le volume demandé.

En efîet, la parabole génératrice ABC esl une courbe telle que les abscisses sont proportionnelles aux carrés des ordonnées, c'est-à-dire

qu'on a toujours cd: GY)..db : DB , et il en est de même pour tout autre paire ou système d'axes ou de diamètres conjugés EF, GH qui -^ / ])

donnent encore Gh : GH :;//t : FH ; donc si Crf=^ CD, db sera=: ^ DB et

de même si Qh= \ GH, l'on aura e/i = ^ EH ; or l'on démontre que le volume du paraboloïde vaut la moitié de son cylindre circonscrit, c'est-à-dire que ce vol, = surf, base AB x ^ CD, ou vol. FEG = surf. base EF x ^ Gj9 ;

mais ûbd =2 BD on a surf, ab—l^ surf. AB (puisque les sections parallèles aô, AB sont des cercles et que les figures semblables sont entre elles comme les carrés de leurs lignes homologues) et surf. AB -f 4 surf. a6=3 surf. AB ; donc surf. AB x ^ CD= 3 surf AB x ^ CD= (surf. AB -f 4 surf. ab) X ^ CD. . De même surf base elliptique EF=2 surf base elliptique semblable e/et surf. EF x ^ G;)=(surf. EF -f- 4 surf, ef) x ^ G^.

Eu second lieu. Soit KBba un segment quelconque de paraboloïde à ba,ses parallèles, l'on démontre que le, volume s'obtient en multipliant par

la hauteur dD du tronc, la demi-somme des surfaces de ses bases parallèles ;

or à cause de Cd: Cq : CD :: db : qn : DB , il est clair que la surf, intermédiaire inn est moyenne arithmétique entre surf. AB et surf, ah; d'où il suit que surf. AB + surf, ab + 4 surf, mn = 6 surf, mn ; donc le vol. de AB ba=(finrï. AB + surf, aô + 4 surf, vm) x l dD.

REM. Dans le cas du paroboloïde ou du tronc de paraboloïde proprement dit, il est clair que cette régie n'offre aucun avantage et au contraire il est plus simple d'arriver de suite au volume désiré en faisant le produit de 5 CD par surf. AB, ou de ^ Gd par surf. EF, ou de 2 dD parla somme des surfaces de AB et de ab, suivant le cas ; mais c'est que dans la pratique il est rare que les solides à estimer soient parfaitement géométriques, et elles le seraient, qu'on ne le saurait pas sans un travail préliminaire qu'il vaudrait autant dévouer de suite au calcul du vol. requis d'après la règle qu'on en donne ici ; tandis que si (1531, 1540) l'on prenait pour un paraboloïde, un solide qui fût au contraire un segment ou tronc de sphéroïde ou d'hyperboloïde, ou qui ressemblât seulement à ces solides sans pouvoir s'identifier avec aucun d'eux, la règle de ce problème est celle qui ofi'rirait les garanties d'une exactitude très voisine de la vérité.

Ex. 1. Quel est le volume d'un paraboloïde droit dont la hauteur est 84, et le rayon de la base 24 ?

Rep. diam. 48 x 48 x .7854 x ^ 84= 76001.5872 le vol. requis.

2. Quelle est, en gallons de 231 pouces cubes, la capacité d'un chaudron parabolique dont la profondeur est 36 pouces et le diamètre 60 pouces ?

Rep 60" x .7854 x 18-^231 = 50,893.92 pouces cubes^231 = 220.32 ou 220^ gallons près.

3. Une voûte qui a l'air d'être parabolique, a 60 mètres de hauteur, le diamètre de sa base est 40 mètres et son diamètre intermédiaire est 28 mètres 285 millimètres ; quel est le volume de l'espace renfermé ?

Rep. (40^4 fois 28.285*) x .7854 x60-f-6 = 37,699.2 mètres cubes.

4. Dans un vaisseau incliné qui peut être un paraboloïde ou un seo'ment de sphéroïde, se trouve une quantité de liqueur dont la surface est en conséquence une ellipse ayant pour diamètres 50 et 30 pouces, la plus grande profondeur de la liqueur est de 18 pouces et l'un des diamètres (le moindre) de la section elliptique prise au milieu de cette profondeur est de 22.5 pouces : quel est le volume du contenu ?

Rep. La section intermédiaire étant semblable à la base ou surface, on aura son grand diamètre en faisant 30:50 :: 22.5:37.5 ; le volume=(50 x 30 -f 4 fois 22.5 x 37.5) x .7854 x 3= 1 1486 pouces cubes.

6. L'une des parties composantes d'un solide à estimer, paraît être un tronc de conoïde parabolique à bases parallèles, les circonférences respectives

de ses deux bases circulaires et d'une section à demi-distances entre elles, sont 182.2, 94^, 145.15 pouces et la hauteur est 48 pouces ; quel en est le volume en pieds cubes ?

Rep. Divisant chacune de ces circonférences par 3.1416 l'on obtient pour diamètres des sections respectives 58, 30 et 46.2 pouces, ce qui donne

pour volume (58 +30 + 4 fois 46.2 ") .7854=10054.5, et 10054.5x48-^6 c'est-àd. par 8,= 80,436 pouces cubes,-e-1728=46.55 pieds cubes.

TROBLÈME XLVIII.

Déterminer le volume d'un tronc quelconque ABEF de paraboloïde droit ABC, à bases non parallèles.

(1565) REOLE. Faites, par le dernier problème, les volumes respectifs du paraboloïde entier ABC dont le tronc fait partie, et du paraboloïde partiel ou calotte EFG qui manque au tronc donné pour compléter le paraboloïde entier : la différence de ces solidités sera le volume demandé.

Soit ABEF (fig. du dernier problème) une section du tronc donné par un plan perpendiculaire au centre D de sa base ; prenez sur Taxe T)d de la section une longueur quelconque T>d, mesurez DB, db et puisque (156*1)

l'on a CD : Ce? : : DB .db , faites (96, div.) CD - cd.cdwViB - db : db ,ou

ce qui est est la même chose, DB — db .db : : Dd : dC, ce qui donnera pour hauteur de la parabole génératrice dD + dC=DC. Maintenant, par le point milieu ïï de EF, menez HG parallèle à DC (car dans la parabole le centre est infiniment éloigné et tout diamètre GH, c'est-à-dire toute bissectrice GH des cordes ou doubles ordonnées parallèles EF, ef, rc, est en conséquence parallèle à l'axe CD), mesurez Hr quelconque, HE et rc et faites, comme

auparavant, rc - HE*: HE : : Hr : HG ; avec HG et l'angle GHja ou GHE, l'on trouve facilement (1561.3) la hauteur perpendiculaire G^ de la calotte FGE, pour faire ensuite les volumes respectifs des conoïdes entier et ijartiel et leur difiérence, ce qui résoudra le problème.

REITf. Si le tronc à estimer ABEF est celui d'un paraboloïde oblique ;

menez entre A et F une droite quelconque Ae parallèle à FE, bissectez en o', o ces doubles ordonnées et menez Goo'H qui passera par le sommet G de la calotte FEG ; menez ensuite F/ parallèle à AB, bissectez ces parallèles en n', n et menez le diamètre GV

GrCC

nR' qui rencontrera le sommet G' du paraboloïde oblique ABG' ; l'on calcu"

lera, coimne auparavant, les hauteurs GT, G^ des conoïdes entier et partiel, à l'aide des angles GoE, G'nA et des droites Go et G'n dont on établira les longueurs comme il a déjà été dit, et on aura le volume du tronc= vol. ABG' - vol. FEG=surf. AB x ^G'P - surf. EF x ^ Gp. Pour avoir au besoin CD, l'on mènera d'un point quelconque entre A et F une droite Aa perpendiculaire à GH ou à G'H', la perpendiculaire CD, où AD=aD, sera l'axe voulu.

PROBLÈME XLIX

Trouver le volume d'un hyperboloïde droit ou oblique,

ou d'un tronc quelconque d'hyperboloide, compris

entre des bases parallèles, perpendiculaires,

ou non, à l'axe de révolution.

(Î566) BlEGliE. A la somme des surfaces des bases opposées du solide, ajoutez ifois la surface d'une section à demi-distances entre elles, multipliez le tout par ,1 de la hauteur et le produit sera le' volume voulu.

Dans le cas de l'iiyperboldïde droit ABC ou du tronc AB ba d'hjperboloïde droit à ba^es parallèles, cette règle est, en d'autres termes, celle même qu'enseigne le "calcul dif. et int." et puisque le diam. intermédiaire est ici essentiel au calcul à faire, il est à démontrer comment on peut l'obtenir quand il ne se trouve pas au nombre des données nécessaires. L'hyperbole est telle que son centre est en 0 en dehors de l'enceinte de la courbe, et comme dans le cercle, l'ellipse et la parabole, de même dans l'hyperbole tout diamètre OG, OC prolongé bis. secte la corde ou double ordonnée AB, ab, EF, e/" parallèle à la tangente tg, t'g' menée j^ar le point C ou G où tel diamètre rencontre la courbe. Il suit de là que pour déterminer le centre de l'hyperbole, il n'y a qu'à mener et à bissecter en T)d, HA, deux paires de parallèles quelconques AB, ab, EF, ef, et à prolonger en dehors de la figure les droites Dd, H7i reliant les points de section, jusqu'à leur rencontre en 0 qui sera le centre voulu, ou, si la direction OD de l'axe est connue, l'intersection de cet axe par la droite HA prolongée déterminera le centre voulu. Mamtenant, par la nature de l'hyperbole, l'on démontre en " sections coniques " que 20C.CD +

CD:20C.Cd-fCrf : : DB : dZ»" , ou que 20G.GHT Gh': 20G.G/i-F GA*: :

HE : he ; voilà donc conmient on obtient le diam. intermédiaire ab ou ef en prenant Cd=dD ou G/i=/iH suivant le cas.

Ex. 1. La hauteur CD d'un bj-perboloïde droit ABC est 10 pouces, et AD le rayon de sa base est 12 pouces, le diamètre intermédiaire ab est 15.8745 pouces: quel est le-volume ?

Rep. (24% 4 fois 15.8745*) X 10^6=2073.45461)1 pouces cubes.

fi. Un vaisseau qui paraît être un conoïde hyperbolique droit, a pour hauteur ou profondeur 50 pouces, pour diam. sup. 104 pouces et pour diara. intermédiaire 68 pouces : quelle en est la capacité en gallons à vin ?

Rep. 104* X. 7854= 8494.8864= éurf. de la base supérieure, 4 fois 68^

X. 7854=68 X. 3. 1416= 14526. 7584, la somme de ces surfaces est 23021. 6448, cette somme x ^ 50 ou, ce qui est la même chose x 50 et le produit — 6=191847.04 pouces cubes,-^231=830^ gallons.

3. Combien y a-t-il de mètres cubes d'espace sous une voûte qui a l'air «l'être hyperbolique et dont la hauteur est de 15 mètres, le diamètre de la base 32 mètres et le diam. intermédiaire 20 mètres ?

fiSep. 5152.224 uiètres cubes.

4. Une chaudière en forme d'hyperboloïde, contient une certaine quantité de liqueur; l'on demande combien il faudra encore de gallons pour la remplir, la partie du vaisseau à combler ayant par conséquent la forme d'un tronc d'hyperboloïde à bases parallèles ; les diamètres de ces bases sont 24 et 32 pouces, le diam. inter. 28.1708 et la hauteur du tronc 20 pouces ?

Rep. (24 +32* + 4 fois 28.1708 )x.7S54 x 20-^6= 12499^ pouces cubes ou 54.108 gallons, ou 7.2334 pieds cubes.

5. L'une des parties composantes d'un cul-de-lampe ou autre objet à estimer, présente l'apparence d'un tronc d'hyperboloïde dont la hauteur est 12 pouces, le petit diam. 6 pouces, le grand diam. 10 pouces et le diam. interra. 8^ pouces : quel en est le volume ? Rep. 667.59 pouces cubes.

REm. Pour l'hyperboloïde oblique ou le segment d'un hyperboloïde droit par un plan non perpendiculaire à l'axe, le " calcul " enseigne à obtenir le volume en faisant la proportion suivante : GH + 2G0 : : "1 GH + 2G0 : : ^ cylindroïde de même base et hauteur: volume requis.

6. Soit à cuber un hyperboloïde EFG dont le grand axe EF de la base elliptique mesure 78 unités et son diamètre conjugé 69.2, soit 0G= 41.7, GE[=19.8, Gp=15.8 ; l'on a vu que pour trouver e/il y a à faire 2G0.GH

+ GH : 2G0.GA + Gh:: HE :he , on (ce qui (73, Ax.) est la même chose)

: : EF*: ef , c'est-à-dire, en chiffres, 2043.36 : 923.67 : : 6084 : 2750.18= e/ d'où c/"= 52.44217 ; maintenant la section parallèle ef étant une ellipse sem-

t * blable à EF, on aura surf, efen faisant EF : ef : : surf. EF : surf, ef ou

6084 : 2750.18:: 4239.275: 1916. 3=6urf. e/; enfin (eurf. EF -f éeurf. ef)

X ^ G;)= volume EFG, ou (4239.275 + 4 fois 1916.3; x 15.8 et-^6=31,348. 4508 unités de volume dans le solide à estimer. Pour preuve, la règle donnée dans la remarque qui précède cet exemple donne 103.2 : 96.G : : 33490.2723 : 31,348.4525, la diflérence jtsîV'^iîîî ou .00000005 étant due aux décimales négligées.

PROBLÈME L

Déterminer le volume d'un tronc quelconque ABEF d'hyperboloïde à bases AB, EF non paralièies.

(156?^) REGliE. Faites séparément les volumes respectifs deVhy. perboloïde entier ABG et de Vhyperholdide partiel EFG, et prenez la différence de ces volumes qui sera la solidité voulue.

Menez B6 parallèle à EF, Ee parallèle à AB, bissectez ces deux paires de parallèles et par les points de bissection menez les droites HO, H'O dont l'intersection en 0 sera le centre de la courbe génératrice. Par les points d'intersection G, G' menez les perpendiculaires GP, G'p aux bases AB, EF et le volume demandé sera (surf. AB + 4 surf, section intermédiaire entre AB et G) x ^ GP, moins (surf. EF 4- 4 surf. sect. iuter. entre EF et G') x ^ G'p.

RE!^I. I. Pour iîxer la direction de l'axe CD de révolution : du centre O avec un rayon quelconque, intersectez les côtés opposés de la courbe, joignez ces intersections par une ligne droite, et OD menée perpendiculaire du centre 0 sur cette dernière sera la direction voulue.

RE;3I. II. Pour trouver les pointe G et G', c.-à-d. les facteurs GP, G'p et

les autres éléments nécessaires au calcul des surf, des sections intermédiaires

et des volumes des solides entier et partiel, on a vu (1566) que 20G.GH +

GH : 20G.GA. + GA : : AB : eE, ce qui donne (96. div.) (20G.GH + GH )

-{20G.Gh-^Gh): 20G.Gh + Gh : : AB - eE%E.* Dans cette proportion,

on connaît (20G.GH + GH*)-(20G.G/t + G7i') = 2H;i.AO + H^*(comme

une simple esquisse de 20G.G^ + G^ superposée à 20G.GH + GH' le fait

yoir de suite) ; on connaît aussi AB - eE et eE ; c'est-à dire, 3 termes

pour trouver le 4ième 20G.GA. + G^. ; maintenant CSoB) AO — (20G.GA

+ Gh)=GO ,^G0* =G0, HO-GO=GH et à l'aide de GH et de l'angle GHB on détermine GP, etc., etc.