X -^ oB. • i

Ex. 1. L'une des parties composantes d'un cul-de- wV — lampe présente la forme d'un tronc latéral de fuseau. '(^^ Ses trois diamètres sont 24, 30 et 32 pouces et sa hauteur 21 pouces : quel en est le volume.

Rep. (24 +32 +4 fois 30* ) x .7854 x 21-f-6 = 14,294 pouces cubes ou 8.272 pouces cubes.

2. Une tonne placée debout et dont la hauteur est de 42 pouces et le diam. sup. 24 pouces, contient du vin jusqu'aux trois quarts de sa hauteur ; la capacité entière de la tonne est de 104 gallons impériaux (277.274 pouces cubes au gallon) combien reste-t-il de gallons dans la tonne ?

Rep. Ici, puisque le volume entier du tronc de fuseau à estimer est connue, alors, au lieu de faire séparément les volumes des 2 tranches composantes du tronc pour en prendre la somme, on n'aura qu'à cuber la partie vide de la tonne pour en soustraire ensuite le volume de celui de la tonne entière. Le diam. de la tonne à la hauteur ou se trouve le vin est de 30.2 pouces et le diain. intermédiaire entre ce dernier et la tête est de 27.6.

Donc le vol. du tronc à déduire est (24 -F 4 fois 27.6 + 40 ) x .7854 x ^2-^6 =6233 pouces cubes-f-277.274=22i gallons près, il reste donc dans la tonne 104-22^ = 81^ gallons.

PROBLÈME LIV

Déterminer le volume près, d'iin tronc de fuseau quelconque (Adc, aCb, Acb) à une seule base parallèle ou non à l'axe (AB) du fuseau ou à son diamètre (CD) ou le volume d'un tronc ( ABba, dcbe, AbBf) à bases parallèles inclinées ou non aux axes du solides.

(loTG) REGLE. A la somme des surfaces des bases parallèles ou opposées (s'il n'y a qu'une base, on œnsidère V autre=o) du tronc, ajoutez 4 fois la surface d'une section également éloignée de ces bases et multipliez le tout par un sixième de la hauteur du tronc ou segment.

RTIJI. Si le tronc donné contient le centre 0 du fuseau dont il fait partie, menez par le centre une section gOh parallèle aux bases et calculez séparément chacune des parties composantes du tronc pour en faire ensuite la somme ; mais si les bases parallèles A6, ^/B sont à distp.nces égales du centre 0, alors il est clair qu'on n'aura qu'une seule opération à faire, pour doubler ensuite le résultat.

PROBLÈME LV

Déterminer le volume près, d'un tronc de fuseau quelconque EFHG à bases non parallèles.

(lôTT) REGLE. Faites par le dernier problème les volumes respectifs des deux segments de fuseau à une seule base GHB, EFB dont le tronc donné fait partie ; la di£é- /yh/____ \D rence de ces volumes sera le volume demandé. "^f^^^^^^^^H

RBM. Une tonne ou futaille inclinée contenant de la liqueur et qu'on ne voudrait pas déranger pour, en faciliter le jaugeage présentera quelquefois à l'estimation du mesureur un volume de cette sorte.

TOISÉ PROBLÈM LVI.

Évaluer le contenu d'une tonne ou futaille couchée et qui n'est qu'en partie pleine.

(157S) REGLï:- Si la liqueur dans la tonne n^ atteint pas les têtes ou fonds EF, GH du vaisseau, comme en eg ou FH, on en estimera le contenu par la méthode de l'avant dernier problème, et de même si la liqueur dépasse ces fonds, comme en EG ou ab, on estimera de la même manière le segment ECG ou aCb pour diminuer d^autant le contenu de la tonne entière. Si la. surface de la liqueur est en AB, axe de la tonne, il est clair qu'on aura le contenu AFDHB=:CEFD=^ FG. Si au contraire la surface est en cd ou enfh, l'on estimera d'abord par la méthode de l'avant dernier problème, le tronc defaseau rsqVpr ou mnD {suivant le cas) dont le segment correspondant de la tonne fait pdrtie, pour en soustraire ensuite les onglets ou sortes de pyramides hnhH, fm/F ou les solides crpY, dsqB. composés des demi-conoïdes AFp, BHç et des troncs rcAp, sdV^q dont ou aura assez correctement les volumes par la règle générale de la somme des bases parallèles pA, rc + quatre fois la section interm. multipliée par un sixième de la hauteur.

PROBLÈME LVII

Déterminer le volume près, d'un conoïde convexe ou concave Aa'Cb'B, AaCbB terminé par une base convexe ou sphérique ADB,

(1519) Rf:C<L<E I. A la surface de la base convexe (ADB) ajoutez 4 fois celle d'une section convexe parallèle a'db', adb également éloignée de la base et du sommet et multipliez la somme par un sixième de la hauteur CD du solide.

I! suffit de ce que l'on a déjà dit (IO'Î'7, 1531; à l'endroit du secteur ppliériqueet du conoïde ordinaire, pour faire comprendre de suite que l'on doive arriver par cette règle à une détermination assez correcte du volume du solide proposé.

RE9i. Si la hauteur CD était inégale à AC ou BC; c'est-à-dire plus grande ou moindre que AC ou BC, il y aurait évidemment à augmenter le vol. du conoïde proposé, ou à le

fliinimier de !a différence des voliime.s des calottes respectives ADB ayant pour rayons CD=AC on BC et CD>oii< AC ou BC, suivant le cas.

De nicine. si la base du conoïde était concave, on ferait le vol. du conoïJe correspouilant à base plane, pour en .'■oustraire ensuite le vol. de la calotte évilée.

RF.GT^E lï. Faites d'abord (l^y:iQ) le volume du secteur sphérique composant ADB-C, puis (1532) le volume du tronc de prisme continu dord le segment générateur KoQa'A ou BoCô'B est la coupe ; la somme de ces volumes sera la solidité requise.

PROBLÈME LVIII

Déterminer le volume d'une voûte quelconque dont l'épaisseur n'est pas uniforme.

C15SO) RKGLiE. Faites séparément (page 4:^1) par les problèmes précédents, les volumes des solides (c'est-à dire des prismes ou cylindres, demisphères, demisphéroides, ou conoïdes, ou des calottes ou segments de ces solides) extérieur et intérieur composants, pour en prendre ensuite la différence, qui sera le contenu solide de la voûte proposée.

FEOBLÈME LîX.

Déterminer le volume d'un prismoïde ou d'un cylindroïde quelconque.

fl5Sl) R.E Q BvK. A la somme des surfaces des deux bases parallèles, ajoutez quatre fois la surface d'une section ou coupe également éloignée de ces bases, et multipliez le tout par un sixième de la hauteur du corps ; le résultat sera le volume demandé.

KEJl. 1. On dit (il02) que *' le prismoïde est un solide ayant pour bases parallèles, des figures planes quelconques à côtés parallèles." Cette définition n'exclut pas l'égalité des côtés parallèles ; donc, tout prisme ou cylindre (prisme injinitaire) est en même temps un prismdide.

La définition n'exclut pas la proportionnalité des côtés parallèles ; donc, tout tronc de pyramide ou de cône (tronc de pyramide infinitaire,) à bases parallèles, est un prismoïde.

La définition n'assigne pas non plus des limites à l'inégalité des côtés parallèles ; donc, chacun des côtés de Tune des bases parallèles peut diminuer indéfinitivement et jusqu'à devenir enfin = 0 ; cette base se réduira donc aussi à zéro ou à un seul point, comme dans le cas de la pyramide ; donc, la pyramide ou le cône (pyramide infinitaire) est aussi un prismoïde.

Si ]a somme de tous les côtés, moins un, de l'une des bases, devient égale au côté ainsi excepté, cette base ne sera plus qu'une ligne ou arête parallèle au plan de l'autre base, comme dans le cas du coin ; donc, tout coin ou autre solide ayant pour l'une de ses hases une Jîgure plane quelconque et par l'autre base une ligne parallèle à la première, est encore un prismmde.

C15S2) Il semblerait que dans cette manière de réduire à une simple ligne une figure plane quelconque, l'on ait négligé le parallélisme nécessaire des côtés opposés ; mais il n'en est pas ainsi, car si la base à réduire est un rectan'gle par exemple, les deux côtés perpendiculaires au côté excepté deviennent chacun -- 0 ; la somme des côtés moins un, est le cô.té du rectangle parallèle au côté excepté, et qui, lorsque les côtés perpendiculaires deviennent nuls, finit par s'approcher du côté excepté de manière à ne former avec ce dernier qu'une seule et même ligne ou arête. Si la base à réduire e.~t un polj'gone quelconque, il y aura, ou non, dans le périmètre de cette base, un côté parallèle au côté excepté ; si il y a un côté qui lui soit parallèle, ce côté pourra diminuer ou augmenter de manière à devenir de longueur égale à celle du côté excepté, et tous les autres côtés devenant chacun = 0, les deux côtés parallèles se réuniront pour n'en faire qu'un seul : s'il n"y a pas dans la base sur la quelle on opère un côté parallèle au côté excepté, l'on interposera entre deux des côtés de cette base, un côté qui soit la parallèle voulue, car de même qu'un côté du prismoïie peut, sans affecter la définition, devenir égal à 0, de même un côté d'abord égal à zéro peut prendre du développement, et cela dans une proportion quelconque comme dans une direction quelconque.

ri^SS) Il est clair que si l'une des deux bases peut de figure quelconque devenir ligne, il en est de même de l'autre base qui peut aussi de figure quelconque devenir ligne. Si les deux lignes qui forment maintenant les bases opposées sont parallèles l'une à l'autre, il est clair que le solide aura cessé d'exister ou seradevenu égal à zéro ou à une simple surface; mais si les lignes ou arêtes qui servent de bases opposées au corps dont il s'agit ne sont pas parallèles entre elles, quoique cependant dans des plans parallèles l'un à l'autre, le solide n'aura pas cessé d'exister ; donc, un prismmde peut être tel que ses bases opposées soient toutes deux de simples lignes ou arêtes.

(I5§4^ Disons pour résumer qu'wn prismoïde peut avoir pour bases parallèles: deuxjîgures quelconques égales ou semblables^ deux Jigures quelconques inégales ou non semblables, une figure quelconque et une ligne parallèle au plan de cette figure, une figure quelconque et un point, deux lignes quelconques non parallèles, mais situées dans des plans parallèles lun à l'autre ; savoir, par exemple : deux carrés égaux ou inégaux; un carré et un rectangle quelconque; deux rectangles ou parallélogrammes quelconques ; deux polygones quelconques égaux ou semblables, inégaux ou dissemblables, dont les côtés de l'un correspondent soit à des côtés parallèles ou à des points angulaires de l'autre ; un carré, rectangle

ou autre iX'lygone et un cercle ou ellip-e (polygone infinitaire) ; un cercle et une ellipse quelconque ou deux ellipses quelconques (ce dernier prismoïde à bases parallèles curvilignes se distingue quelquefois sous le nom de cyLindroïde) ; un carré, rectangle, paraliélogranime, polygone, cercle, ellipse et une ligne; un carré, rectangle, parai lélograuinjCj polygone, cercle, ellipse et. un 13 liiit ; deux lignes de longueurs quelconques non parallèles. (*)

(B5§5) REM lï. Il y a à considérer maintenant l'espèce ou la nature de la figure servant de section ou de coupe intermédiaire entre les bases opposées du prisnioïde <i estimer. Ainsi, il est clair que si les bases opposées suiit des rectangles à cô:és parallèles, la section parallèle intermédiaire sera aussi un rectangle ou un carré; !-i les deux bases Sun t des parallélogrammes à côtés parallèles, la section sera aussi un parallélogramme ; si les bases sont un carré, rectangle, parallélogramme et une ligne parallèle à l'un des côtés de tel rectangle, etc., la section sera encore, dans le 1er cas un rectangle, dans le second cas un rectangle ou un carré, dans le troisième cas un parallélogramme ; si les bases sont une figure quelconque et un point, la section sera une figure semblable à la base et égale (1525) en surface au quart de la base ; si les deux bases sont des lignes perpendiculaires (OOT) Tune à la direction de l'autre, la section sera un carré ou un rectangle ; si les ba>es sont des lignes non perpendiculaires l'une à la direction de l'autre, la section sera un losange ou parallélogramme.

(15S6) Rien de plus facile dans tous ces cas que ^

de déterminer la surface de la section intermédiaire A

dont les multiplicateurs ou facteurs sont chacun / \

/ T)\ moven arithmétique entre les côtés parallèles des J/ i \

bases opposées ou entre les cotes ou arêtes et pomts /; / \ A

ou sommets opposés suivant le cas. Par exemple, 1 j^ -VV

dans le prismoïde AB-CD où chacune des bases est 1/ >\

une simple ligne ou arête AB, CD et dont la surface jj^ ^^

(*) Toutes ces formes se rencontrent dans la pratique, et cela surtout à l'endroit des toitures diversifiées d'édifices de toutes sortes. Une tour ou tuurellr- carrée par exemple, sera assez souvent terminée par un toit couronné d'une plate-forme octogone ou circulaire, ou ce sera la tour qui aura pour plan par terre un cercle, et pour plate-lorme du toit un carré ou autre pi dygone, ou encore ce sera deux carrés dont les côtés de l'un sont parallèles aux diagonales de l'autre : voilà pour le prismo'ide dont les bases parallèles sunt des figures quelconques. Si un édifice dont la coupe horizontale e>t un carré, rectangle Ou polygone, est recouvert d'un toit terminé par un faîte plus ou moins long, on aura le prisnioïde dont l'une des bases est une figure quelconque et l'autre base une ligne. Il n'est pas rare non plus de trouver parmi les parties composantes d'un toit ou autre objet à évaluer des prismuïdes de l'espèce de celui du par. (1586) c.-à d. dont les bases AB, CD soient toutes deux de simples lignes, sans que la surface de la coupe ou section intermédiaire abcd en ait moins pour cela une valeur très réelle et facile à déterminer. Dans ce dernier cas le facteur "4 surf, abcd "=AB X CD, (15S6), d'où, le vol. = AB x CD x hauteur -^ 6.

est en conséquence nulle, on a pour section intermédiaire le carré, rectangle ou parallélogramme a6c3 dans lequel A6=^ AB + D ou = | AI], puisque D — 0, de même dc—^AB — ab,et od - ^ CD = hcj (^'où, surface section a6crf=a6xarf ou ^ ABx ^ CD si c'est un rectangle, ou (14'21)=-abxud X sin. nat. angle bab si c'est un parallélogramme.

(1581) Si l'une des bases est un polygone quelconque et que l'autre base soit aussi un polygone quelconque, et si toutes les faces latérales duprismoïde sont des triangles, c'està-dire si chacun des côtés dans l'une des bases correspond à un point dans l'autre base, le nomtire de côtés dans la coupe intermédiaire sera égal à la somme des nombres de côtés dans les deux bases.

(15SS) Si l'une des bases est une figure rectiligne quelconque, et que l'autre base .soit une ligne non parallèle aux côtés de cette première, le nombre de côtés dans la coupe interm. sera égal au nombre des côtés de la base plus 2 ; et si la ligne ou l'un des côté-, ou plus d'un, de la figure qui forme l'une des bases, est parallèle à l'un ou à plus d'un des côtés de l'autre base, le nombre de côtés de la section interm. pourra varier indéfiniment suivant le cas, mais sera néanmoins tmijours aisé à déterminer à l'aide d'une simple esquisse de la fig.

Le résumé qu'on vient de faire peut encore se simplifier, s'abréger ou se traduire comme suit, savoir: Le prismoïde ou cylindroide (prismoïde injînitaire) est un solide à bases parallèles dont les plans {faces latérales) passant par les côtés ou arêtes de l'une des bases, sont terminés par des points ou par des côtés ou arêtes parallèles dans l'autre buse.

En d'autres termes : Le prismoïde ou cylindroide est tel que toutes ses faces latérales sont des, ou que sa surface latérale peut se décomposer en triangles ou trapèzes reciilignes, c.-d-d. à surfaces planes, ou en parties capables de se développer en surfaces planes.

Ajoutons que tout prismoïde peut se décomposer, si l'une de ses bases est (fig. du par. 1590) une figure quelconque et l'autre base une ligne, en deux pyramides et un prismo'ide élémentaire ayant gour bases des lignes, (figidu par. 1586) ; si ses deux ba.ses sont des figures quelconques, en quatre pyramides ayant leurs bases deux à deux dans les bases opposées du solide, et un prismo'ide ayant pour bases des lignes ; ou, à volonté, en pyramides, coins, etc., et prismoïdes à bases linéaires, suivant la manière d'opérer la division du solide par des plans dont on peut varier le nombre et la position.

(15S9) Si l'une des base? est par exemple un cercle ou ellipse et l'autre base une ellipse, la base interni. sera aussi une ellipse dont on aura le iliain. ef= ^ (AB + ab) et le diam. ghz=^ (CD + cd).

(1590) Si l'une des bases est un cercle ou ellipse AB et l'autre base une ligne EF, la base interm. abfcde sera une figure niixtiligne dont les parties ab et cd seront des droites parallèles à EF, et les parties aed, bfc des figures semblables (1033) à CAD, CBD. Pour calculer la surface de la section interm., on a C1033, 520J ab et de cbacun = ^ EF, ad et bc chacun=5 CD, et comme les parties composantes ACD-E, BCD-F du prismoïde sont évidemment des pyramides à bases

mixtilignes, on aura (15'25j la surface aed= 5 surf. -^ -y,

ADC, surf bfc=\ surf BCD ; c'est-à-dire qu'on aura surf section ef= ab ou de ou 5 EF x ad ou bc ou 5 CD ^^ surf AB, et si EF n'est pas parallèle à AB ou perpendiculaire à la direction de DC on multipliera de plus (1421) le proiluit ab. bc par le sin. nat. de l'angle bad, ou l'on substituera au facteur ad ou bc la largeur perpendiculaire du parallélogramme ab cd.

(1501) Si l'une des bases est un cercle ou ellipse AB et l'autre un carré ou rectangle EG, le prismoïde donné se décomposera en : 1°, un prismoïieEFGH-CD (ayant pour bases (15S5) un carré ou rectangle et une ligne, et pour section interm. un rectangle efgh où ef=^ gk= i EF ou GH, et eg=fh= ^ EH + ^ CD) ; 2°, deux prismoïdes AO-BH et BO-FG (ayant chacun pour bases des lignes AO, EH et BO, FG et (15S5) pour base interm. un rectangle ablk où ab=kl=^ EH et ak ou bl= h, AO, et nrcd où nr ou. cd= ^ FG et nd ou rc= è OB); 3°, quatre pyramides AOC-H, AOD-E, BOC-G et BOD-F (ayant chacune pour coupe interm. une figure blg, aek, rch etndf respectivement égale en surface au quart de la base correspondante AOC,. AOD, BOC et BOD, ou leur somme égale en surface au quart de la base AB.

(1592) Il est clair d'après les quelques prismoïdes ou cylindroïdes dont on vient de traiter que ces corps peuvent varier indéfiniment leurs formes mais il suflâra des considérations précédentes pour indiquer la manière de procéder dans chaque cas à la détermination de la surface intermédiaire à entrer comme élément dans le calcul du volume à établir; ou si c'est nécessaire, pour déterminer tout d'abord si le solide proposé est, ou non, un prismoïde ou cylindroïde tel qu'on en puisse estimer le volume par la rè^le générale ici donnée.

Ex. 1. Une tenture ou ciel-de-lit dont la base sup. est un cercle ou une ellii^se de la surface d'un mètre, et la base inf. un rectangle de la surface de 3 mètres, a pour section intcrniédiau'e une figure mixtiligne dont la surface est de deux mètres, la hauteur ou distance perpendiculaire entre les bases parallèles est de 2^ mètres ; on demande le volume de l'espace ou de l'air compris entre les rideaux ?

Rc'p- (1 -F 3 + 4 fois 2) x 2.5-^6 = 5 mètres cubes.

2. Une tente à camper dont le sommet ou la base sup. est un faîte, c'està-dire une simple ligne ou arête ayant 2 verges en longueur, et dont la base inf. est composée d'un rectangle de 2 x 3 verges et de deux demi-cercles de i' verges de diam., a 2 verges de hauteur; quel en est le volume ?

l£ep. Dans cet exemple il est clair que le prismoïde à cuber est composé d'un coin à arêtes égales (c'est-à-dire (llOO) d'un prisme triangulaire) et de deux demi-cônes. La surface de la base de la tente est composée de celle du rectangle = 3x2 = 6 verges carrées, et de celle de deux demi-cercles, c.-à-d. d'un cercle de 3 verges de diam., =3 x 3 x .7854 = 7.0686 verges carrées, en tout 13.0686 verges carrées: la surface de la coupe intermédiaire est égale à la moitié du rectangle à la base plus le quart (1590) des deux demi-cercles, et vaut en conséquence 3 + 1.76715=4.76715. La surface de la base sup. étant nulle dans le cas actuel, le vul. = (stirf. base + 4 surf, interm.) x hauteurH-6, = (13.0686 -f 4 fois 4.767 1 5) x ' hauteur=32.1372 x 2-^6 = 10.7124 verges cubes.

KBii.^S. Si la surface ext. du ciel-de-Iit ou de la tente des deux derniers exemples, au lieu d'être tendue, c.-à-d. plane ou capable de se développer (îî-i€J) en surface plane, était concave ou non tendue, on n'en aurait pas moins le vol. voulu, au moins à très près (1533-1) par la même règle (15S1).

Ex. 3. Un observatoire dont le plan par terre est un octogone de 100 mètres eu surface, est couronné d'un toit ayant pour sommet une plate-forme circulaire dont la surface est de 25 mètres, la surface de la section intermédiaire est de 56 mètres ; quel est le volume de l'espace qu'occupe le toit dont la hauteur est de 6 mètres ?

Kci». 100 4- 25 -[- 4 fois 56 = 349 mètres cubes.

PROBLÈME LX

Déterminer le volume exact d'un corps irrégulier quelconque de petites dimensions ou d'un corps composé de plusieurs parties élémentaires de dimensions et formes différentes.

(1593; REGLE. Si ««'est la capacité d'un vase ou vaisseau queîcouque que l'on V€ut estimer, Vidée nous vient assez généralement d'arriver au résultat désiré en déterminant le nombre de

fcns que tel vaisseau peut donner place au contenu de tel autre vaisseau de forme élémentaire dont on connaît le volume.

(l.'i»!) Mais si c'est le volume de la substance même du vai»iscau etc., que l'on désire évaluer, ^a manière tle s'y prendre ne ?e suggère pas tout d'abord à l'e.-prit de quiconque veut opérer cette évaluation.

RFGilLE §i le volume a eslinïer est celui d'une substance non absorbante, on le plongera dans un vaisseau rempli d'eau ou de tout autre liquide dont on mesurera le déplacement au moyen d'un autre vaisseau de capacité connue ; ou si le premier vaisseau est assez grand et que la forme en soit rectangulaire ou cylindrique et de facile jaugeage, l'on y mettra d'abord assez de liquide pour couvrir l'objet à mesurer ; ayant alors remarqué la hauteur du niveau de l'eau dans le vase, on y plongera V objet dont il s'agit et l'on remarquera de nouveau le niveau du liquide ; si l'on suppose maintenant que chaque fraction de mètre, pouce, ligne ou autre unité de la hauteur du vase contenant corresponde à un mètre, pied, pouce ou ligne, etc., cubique, on n'aura qu'à compter le nombre de telles unités dans la hauteur du niveau déplacé de l'eau pour avoir de suite le volume de l'objet proposé.

Si le corps est absorbant, l'on se servira par exemple de sable ou de tout autre substance Jiuide de cette sorte, dont on pourra niveler la surface au moyen d'une tige ou tringle à arête rectiligne.

L'on arriverait de cette manière au volume des corps les plus diversifiés du règne aminal, végétal ou minéral et des mille et un objets bruts ou manufacturés qu'on a tous les jours sous les yeux et dont il serait souvent impossible d'estimer les volumes par les règles ordinaires de la géométrie.

Il est bon de rappeler aussi que l'on peut arriver par une simple proportion au volume d'un corps en en comparant le poids avec celui d'un autre corps de même substance et de volume déterminé, c'està-dire par le système des poids spécifiques qui enseigne en même temps à revenir du volume d'un corps à son poids : ce qui fera le sujet du problème suivant.

Ex. 1. Le poids d'u.n bloc irrégulier de pierre est de 13 livres 7 onces ; on demande à déterminer à l'aide du morceau donné le poids près d'un pied cube de cette pierre ?

Rep. Il y a tout d'abord à cuber le bloc de pierre : à cet eôet soit un vase rectangulaire de 10 pouces carrés ou de 100 pouces en superficie horizontale, et dont la hauteur est divisée en pouces et centièmes de pouces ; ayant mis assez d'eau dans le vase pour couvrir la pierre à cuber, je note la hauteur de l'eau que je trouve de 8.53 pouces, je plonge ensuite la pierre dans le vaisseau et je note de nouveau la hauteur de l'eau qui est maintenant de 9.89 pouces; la différence de ces hauteurs est de 1.36 pouces. Puisque le vase est de 10 x 10 pouces, il est clair que chaque pouce de sa

liauteur corre.^pond à 100 pouces ouïtes et par conséquent, chaque centième (Je pouce de telle hauteur, à un pouce cube; donc la hauteur observée 1.36 pouces du niveau déplacé de l'eau correspond à 136 pouces cubes ; donc le volume de la pierre est de 13G, et on aura maintenant le poids du pied cube en faisant 136 : 215 onces f poids de la pierre) :: 1728 pouces cubes (c.-à-d. un pied cube) : 2732 onces, ou, divisant par 16, 170| livres, le poids demandé.

2. Dans un vase cylindrique tel que chaque pouce de sa hauteur correspond à 1 pouce cube d'espace ou de volume, on a plongé un lingot d'argent qui a déplacé de 73 centièmes de pouce le niveau du liquide dans le vase ; on demande le volume du lingot ? Kep. .73 d'un pouce cube.

3. Ayant rempli d'eau un vaisseau quelconque, on y a plongé un objet dont on désire connaître le volume; on a recueilli dans un autre vaisseau, l'eau renversée dont la quantité est de 3 gallons 1 pot et 1 septier; quel est le volume de l'objet proposé, le gallon dont on s'est servi étant de 231 pouces cubes ?

Hep. 1 gallon + 1 pot + 1 septier=231 + 115^ + 14j\ = 360{§ pouces cubes.

4. On demande le volume d'une substance absorbante placée dans un vaisseau de un pied carré qu'on a rempli de sable ; après en avoir enlevé l'objet à évaluer, on trouve que la hauteur uniforme du sable dans le vaisseau qu'on a d'abofd nivelé à cet etfet, est de .3 d'un pied, la hauteur du vaisseau étant de 1.5 pieds ?

Hep. 1.5— .3 = 1.2 pieds = hauteur du niveau déplacé du sable, et comme le vaisseau est Je 1 pied carré en coupe horizontale, il suit que le volume de l'objet proposé est de 1.2 pieds cubes.

5. Dans un vaisseau en forme de tronc de cône se trouve une quantité de liquide dont le diam. à la surface est de 10 pouces; on y plonge un objet qui augmente de 9 pouces la hauteur ou profondeur du liquide dans le vaisseau et qui donne à sa surface déplacée un diamètre de 14 pouces ; on demande le volume du corps proposé ?

Rep. Le volume d'eau déplacée, qui est en même temps celui de l'objet, est celui d'un tronc de cône dont les bases parallèles mesurent respectivement 10 et 14 pouces et dont la hauteur est de 9 pouces; ce vol. = (1516)

(10 +14 +4 fois 12 )x. 7854x9-1-6 = 872 X .7854 X 1.5=684.8688 X 1.5 = 1027.3032 pouces cubes.

PROBLÈME LXI

Déterminer le volume ou le poids d'un corps ou d'une

substance quelconque, par comparaison du volume

ou poids de tel corps, avec celui d'un corps ou

substance de même nature dont on connaît

à l'avance le poids et le volume.

(1595) REOT. Le poids d'un pied cube d'eau à la température de 40^* Fahrenheit (à laquelle à peu près l'eau atteint sa plus grande densité) est de 1000 onces avoir-du-poids, près, ou de 62^ livres Cpoids Anglais) et l'on appelle poids ou gravité spécifique d'un corps ou d'une substance quelconque, le poids d'un volume de tel corps ou de telle substance égal à celui de l'eau prise pour point de départ ; d'où il résulte que si Ton connaît d'avance le poids d'un pied cube par exemple de chacune des différentes substances qu'on peut être appelé à estimer ou à mesurer, tel que consigné dans la table qui va suivre, l'on déterminera de suite par une simple proportion le volume de tout autre poids ou quantité de la mêtne substance ou le poids de tout autre volume de telle substance, par les règles suivantes.

(1596) ItEGLE. Pour déterminer le volume d'un corps d'après son poids ; faites la proportion : le poids spécifique du corps proposé est à (:) son poids en onces ou en livres, etc., comme ( : : ) 1 pied cube ou 1728 pouces cubes, est au{) volume du corps en pieds (m en pouces^ suivant le cas.

Ex. 1. Le poids d'une bombe ou d'un boulet en fonte de fer ou d'un fragment quelconque de tel solide pèse 45 livres : on demande le volume du corps proposé ?

Rep. On voit par la table des poids spécifîques (page 102 des tables) que

le poids du fer coulé ou de la fonte est de 450 livres près, au pied cube ; on aura donc le volume demandé en faisant 450 livres; 1728 pouces cubes :; 45 livres: 172.8 pouces cubes.

2. On demande le volume d'une statue de marbre dont le poids est de 1000 livres, la gravité spécifique du marbre dont la statue est tirée étant de 170 livres près au pied cube ?

Rep. 170 livresil pied cube :: 1000 livre3:5.9 pieds cubes près.

3. Une quantité de sable pèse 13 livres : quel en est le volume ?

Rep. D'après la table, la gravité spécifique du sable est de 1.520, c'està-dire 1.520 fois le poids d'un volume égal d'eau ou de 1520 onces au pied cube (puisque le poids d'un pied cube d'«au est de 1000 onces) ; on fera donc 1520 onces : 1728 pouces cubes :: (13 x 16 = ) 208 oncea : x = 1728x208=236^ près pouces cubes.

4. Le poids d'une défense ou dent d'éléphant est de 25 livres ; quel en est le volume ?

Rep. L'ivoire est de 1825 onces au pied cube; on aura donc le volume de la dent en faisant 1825:1 :: (25 livres ou) 400 onces:. 22 près d'un pied cube ou 1825 onces : 1728 pouces cubes :; 400 onces : 378.74 pouces cubes.

5. On demande à déterminer par avance le poids probable d'une grille en fonte de fer qui doit être coulée d'après un modèle sculptée en bois de pin dont le poids est de 7 livres ?

Rep. On aura d'abord le volume du modèle en pin en faisant d'après la règle (le pin étant censé dans ce cas de 25 livres au pied cube) 25 livres : 1 pied cube :: 7 livres : .28 d'un pied cube. Maintenant, comme le volume de la fonte sera aussi = .28 d'un pied cube et que le poids de la fonte est de 450 livres au pied cube, on aura le poids de la grille proposée = 450 x .28 = 126 livres.

^597) REGLE!. Pour deteruiiner le poids d'un corps d'après son volume ; faites la proportion : un pied cube est au ( : ) volume du corps proposé^ comme ( : : ) sa gravité spécifique est d{:) son poids.

Ex. 1. Le volume d'utt monceau de neige sur le toit d'un édifice e.>t de 7000 pieds cubes, le poids d'un pied cube de cette neige, refoulée qu'elle est et rendue lourde par la pluie, etc., est de 30 livres : on demande le poids total dont le toit est affecté ? Rep. 7000 x 30=210,000 livres.

2. Quel est le poids d'un lingot d'or pur coulé dont les dimensions sont de 3 pouces par | x ^ pouces ?

Rep. Le volume=3 X I X ^ = 24 pouces cubes; la gravité spécifique de l'or pur est de 19.258; la règle donne, 1 pied cube ou 1728 pouces cubes: 21 pouces cubes :: 19.258 : x= 19.258 x 2.25 = 25.07552 onces.

3. On désire connaître le poids d'une tinette de beurre dont le volume, obtenu d'après la règle de l'article (1516), est de 1830 pouces cubes ?

Rep. Le poids spécifique du beurre est de .940 de celle de l'eau, e' est-à-dire de 940 onces au pied cube, on aura donc le poids voulu = 1830 x 940 = 995^ onces,H-16 = 62 livres 3^ onces.

4' Quel est le poids près d'un plançon de chêne anglais demi-sec dont le volume est de 150 pieds cubes ?

Rep. Le chêne demi-sec, d'après la table, est de 66 livres près au pied cube, d'où le poids voulu, est de 150 x 66 = 9900 livres.

5. Quel est le poids près d'une caisse de livres reliés dont le volume est de 15 pieds eubes ?

Rep. 15 pieds cubes x 43 livres prè8=645 livres.

PROBLÈME LXII

Déterminer le poids spécifique d'un corps ou substance quelconque.

(159S) REGLE I. cubez et pesez le corps proposé, pour faire ensuite la proportion : le volume du corps est à {: ) son poids en onces, comme ( :: ) un pied cube de tel corps, est au {:) poids d'un pied en onces, c'est-à-dire, en séparant trois chiffres pour décimales, à sa gravité spécifique.

Ex. 1. Quelle est le poids spécifique du noyer noir sec, si un échantillon de ce bois dont les dimensions sont de 11 x 7 x .9 pouces, pèse 24 onces?

Rep. 11 X 7 X .9=60.3 pouces cubes^vol. du corps proposé; maintenant, d'après la règle (59.3 jwuces : 2-1 onces :: 1728 pouces : 598 onces ou

37.4 livres ; la gravité spécifique voulue est donc de .598 de celle de l'eau dont le poids est de 1000 onces au pied cube.

2. Un morceau irrégulier de craie dont on a pu obtenir le volume, 432 pouces cubes, par la méthode de l'exemple 4 de l'avant dernier problème, pèse 43^ livres: on demande la gravité spécifique de cette substance?

Rep. 432 pouces: 1728 pouces :: 43^ livres : 174 livres; d'où la gravité spécifique voulue est de 174 x 16=2784 onces ou 2.784 fois le poids d'un égal volume d'eau.

3. Un bateau ou ponton de 100 pieds par 20 x 10 pieds et dont le volume total est en conséquence de 20,000 pieds cubes, a requis pour le construire 5000 pieds cubes de pin blanc demi-sec dont on estime le poids à 40 livres au pied cube, 500 pieds cubes d'orme estimé à 50 livres au pied cube, et 6000 livres pesant de chevilles en fer : on demande quel sera le tirant d'eau du bateau proposé ?

Rep. Le poids du pin=5000 X 40=200,000 livres, le poids de I'orme= 500 X 50=25,000, le fer 5000 livres; le poids total du bateau est en conséquence de 230,000; le poids moyen ou la gravité spécifique du ponton est de 230,000 livres-^20,000 pieds cubes=11.5 livres au pied cube, c-à-d. de

11.5 X 16 = 184 onces au pied cube, soit .184 du poids d'un même volume d'eau. La hauteur du ponton est de 10 pieds; donc le tirant d'eau sera .184 de la hauteur du ponton ou 1.84 pieds, c.-à-d. 1 pied 10 pouces et .96 de pouce =1 pied 11 pouces près.

4. De combien pourra-t-on charger le ponton ou bateau du dernier exemple, sans le faire sombrer ou caler au-delà de sa surface supérieure ?

Rep. Puisque l'eau pèse 62.5 livres au pied cube et que le volume total du ponton est de 20,000 pieds cubes, le poids total de l'eau que devra déplacer le ponton avant que de caler à l'affleurement de l'eau est de 20,000 x

62.5 = 1,250,000 livres, or le poids du bateau n'est que de 230,000 livres ; d'oii il suit qu'on pourra encore sans faire sombrer le bateau le charger d'un poids égal ou presque égal à la ditiërence entre 1250,000 livres et 230,000, c.-à-d. 1020,000 livres.

(1599) REGLE II. §i le corps a esllmer est plus pesant qae l'eau ^ pesez d^ abord le corps dans l'air puis dans l'eau, au moyen d'une balance hydrostatique ; la différence entre les résultats sera le poids perdu dans Veau, ou le poids d'une quantité d'eau égal en volume au corps. Faites alors la proportion : comme le poids perdu dans l'eau (:) est au poids du corps dans Vair, (.:) de même la gravité spécifique de Veau, (:) est à la gravité spécifique du corps.

Ex. 1. Un morceau d'étain pèse 183 livres, son poids dans l'eau n'est que de 158 livres : quelle est la gravité spécifique de l'étain ?

Rep. 183 - 158 = 25 : 183 : : 1000 : 7320 = gravité spécifique demandée.

2. Un bloc de granit pèse 21 onces dans l'air et seulement 13 onces dans l'eau : quelle est la gravité spécifique du granit ? Rep. 2625.

(1600) REGLE III. Si le corps a estimer est uioîns pesant que l'ean ^ attachez au corps proposé par un fil dont le poids soit relativement nul, un autre corps plus lourd ou pesant que l'eau, de manière que les deux pris ensemble puissent pénétrer ou s'enfoncer dans l'eau ; ayant préalablement pesé chaque corps dans Vair, et le plus pesant dans Veau, pesez alors dans Veau le corps composé, et du poids perdu par le corps composé, soustrayez le poids perdu par le corps plus lourd tel que pesé seul ; le reste est le poids perdu par le corps léger. Alors : le poids perdiL. par le corps léger dans Veau, {: ) est au poids de ce corps dans Vair, ( : : ) comme la gravité spéciffque de Veau ; {:) est à la gravité spécifique du corps.

Ex. 1. A un morceau d'orme qui dans Z'a?Vpèse 15 grains, on a attaché un morceau de cuivre dont le poids est de 18 grains c?ans Z' air et de 16 grains dans Veau, et le composé dans Veau ne pèse que 6 grains : quelle est la gravité spécifique de l'orme ?

Rep. 18 — 16 = 2 = le nombre de grains perdus par le cuivre dans Veau.

18 + 15 — 6 = 27 = le nombre de grains perdus par le composé

dans Veau. 27—2 — 25 = le nombre de grains perdus par l'orme dans Veau.

25 : 15 :; 1000 : 600 = la gravité spécifique de l'orme. 52. Un morceau de cuivre, pesant dans l'air 27 onces et dans l'eau 24 onces, est attaché à un morceau de liège qui pèse dans l'air 6 onces, et le composé ne pèse dans l'eau que 5 onces : quelle est la gravité spécifique du liège? Rep. 0.2-10.

PROBLÈME LXIII

Déterminer la quantité de chaque ingrédient ou élément dans un composé de deux substances ou éléments.

(1601) REGLiU. Trouvez d'abord le poids spécifique du composé, mélange ou alliage, et de chacun des éléments composants, et muUipliez la différence de chaque deux de ces trois poids spécifiques par le troisième. Faites alors : le plus grand produit, ( : ) est à chacun des autres produits, ( : : ) œmme le poids de l' alliage, (: ) est au jwids de chaque ingrédient.

ïîx. 1. Une masse d'or et argent pèse 63 onces, et sa gravité spécifique est 16126 : quelle est la quantité de chaque ingrédient, la gravité spécifique de l'or étant 19640, et celle de l'argent 11091 ? Rep. (19640- 11091) X 16126 = 137,861,174. Alliage. (19640-16126) X 11091= 38,973,774. Argent. (16126- 11091) X 19640= 98,887,400. Or. 137,861,174 : 98,887,400 :: 63 : 45 onces 3 gros 19 grains d'or. 137,861,174 : 38,973,774 :: 63 : 17 onces 16 gros 5 grains d'argent.

2. Une masse de cuivre et or pèse 48 onces, et sa gravité spécifique est 17150, la gravité spécifique de l'or est 19640 et celle du cuivre 9000 : quelle est la quantité de chaque élément du mélange ?

Rep. lj'or=42 onces 2 gros 2 |§^r§ grains, le cuivre = 5 onces 17 gros 21 Um grains.

3. Un alliage d'argent et cuivre pèse 60 onces, sa gravité spécifique étant de 10535 : on demande le poids de chaque ingrédient, leurs gravités spécifiques respectives étant 11091 et 9000 ?

Rep. 46 onces 7 gros 9 }ff|f?| grains d'argent, 13 onces 12 gros 1^ iltslf 5 grains de cuivre.

4. Un alliage de cuivre et étain pèse 112 livres et sa gravité spécifique est 8784 : quelle est la quantité de chacun des ingrédients du mélange, leurs gravités spécifiques respectives étant 9000 et 7320 ?

Rep. 100 livres de cuivre, 12 livres d'étain.

5. On demande le poids de l'or, dans un composé de quartz et or dont la gravité spécifique est 3500, celle de l'or étant 19640 et celle du quartz 3000 ?

Rep. 19640-3000 = 16640, 16640 x 3500=58,240,000 =

Facteur pour le corps composé.

Facteur pour le quartz.

Facteur pour l'or.

58240000 : 9820000:: 100 : 16.8612638 — onces d'or; si ce résultat est correct, le poids du quartz doit être égal à la difïërence entre le poids de l'or et celui du mélange, et en effet 58240000 : 48420000 :: 100 : 83.1387362 + onces de quartz ; la somme de ces nombres = 100 ; donc, etc.

PROBLÈME LXIV

Déterminer le volume du plus grand plançon, ou morceau

de bois écarri qu'on puisse tirer d'un billot rond ou

d'im arbre abattu ou sur -pied.

(1602) REGL.E. Multipliez le diamètre de Varhre ou billot par le demi-diamètre, et ce produit par la longueur : ce résultat sera le volume demandé.

En effet, il est clair que le diam. AB multiplié par le ^

demi-diam. OC (ou 3 AB) donne pour produit la surface du carré inscrit ABCD, c.-à-d. la surface d'une coupe, du jjlançon à évaluer, par un plan perpendiculaire à sa longueur, et cette surface multipliée par la longueur du billot donne (1490) la solidité requise.

REM- Cette règle suppose que le diam. de l'arbre est partout le même ou que l'on se sert d'un diam. moyen, tel que pris au milieu de la longueur, et c'est ce qui se fait d'ordinaire lorsqu'il n'y a pas trop de différence entre les diamètres des extrémités opposées; mais pour être précis (1542) il faut comme on l'a déjà dit (149S) ajouter à la somme des surfaces des extrémités du plauçon ou de l'arbre à évaluer quatre fois la surface d'une section prise au centre et multiplier le tout par la sixième partie de la longueur, ou, ce qui est la même chose, multiplier la somme des surfaces par la longueur entière et prendre la sixième partie du résultat.

Ex. 1. La circonférence d'un billot, dont la longueur est de 12 pieds, est de 6.28 pieds, déduction faite de l'écorce s'ily a lieu : combien y aura-t-il de pieds cubes de bois dans le plançon écarri qu'on pourra en tirer ?

Rep. La cire. 6.28 correspond à un diam. 2, la coupe du plançon sera donc de 2 X 1 = 2 pieds carrés en surface, et comme la longueur est 12, le volume sera 24 pieds cubes.

3. Un arbre dont la hauteur est de 50 pieds, a pour diam. sup. 30 pouces, et pour diam. inf. 36 pouces; pour diam. interm. 33 pouces : quel est le volume du morceau de bois carré qu'on pourra en tirer.

Rep. Surf, petit bout = 22X I5 pieds = 3.1 25 pds. sup., surf, gros bout= 3 X 1^=4.5 pde. eup., surf. intermédiaire = 2.75 x 1,375=3.78125, 4 surf.

înterm. = 15.125, la somme des surf. = 22.75 et cette somme x 50-f-6 = 189.6 pieds cubes.

3. On a mesuré en 5 endroits à peu près équidistants au moyen d'un compas d'épaisseur, le diam. d'un arbre irrégulier qu'on vient d'abattre ; ces diamètres sont respectivement 39, 39^, 38, 37^ et 36 pouces, et la longueur de l'arbre 40 pieds : quel sera son volume après qu'on l'aura écarri ?

Rep. La somme des diamètres 190 pouces-=-5 = 38 pouces = diam. moyen = 3^ pieds, 3.166 x 1.583 — 5.012 près=surf. de la section, multipliant cette dernière par la longueur 40, on a 200^ pieds cubes.

PEOBLÈME LXV.

Cuber un plançon AB qui n'est qu'en partie écarri, ou dont les arêtes ou angles sont à faux bois.

CI603) REGliE Faites le carré du diam. AB du plançon et de ce carré, retranchez celui du diam. ah de V aubier, la di-fférence de ces carrés multipliée par la longueur du plançon, sera la solidité requise.

En effet, il est clair que la surface qui ^

manque à cbacun des quatre angles, coins ou r /\\Â arêtes du plançon, pour compléter le carré AB, \^'''/^\'^^lJ^^JK est le triangle abo, ou un triangle égal à aho, ^ltyS<v^V''~/v\N^

lorsque, comme on le suppose, ef=g?i=kl= /Ji/SQ^^^AVl^»^

ab ; or le carré sur ab vaut 4 abo ; donc, etc. H^('n''^"^^SQ'7Wl--^

REM. I. Si les côtés ah, ef etc. ne sont / x\ >C]ri^îX//9'

pas égaux entre eux, on pourra prendre le ^? ' — yf

quart de la somme de ces quatre côtés pour un "'

diam. moyen ab, ou pour plus grande précision, on fera séparément les carrés de ab, ef, etc. et le quart de la somme de ces carrés sera, ou la somme des quarts de ces carrés sera la quantité près à distraire du carré AB pour avoir la superficie nette de la coupe du plançon.

REM. II. Observons ici comme dans le dernier problème que si le plançon n'est pas dans toute sa longueur d'égal calibre, il y aura à en prendre la coupe vers le milieu de sa longueur, et c'est d'ordinaire ce que l'dn fait ("1542) ou, l'on déterminera plusieurs coupes ou sections du plançon pour en prendre la moyenne, ou enfin l'on fera la somme des surfaces des extrémités opposées plus quatre fois celle de la section intermédiaire pour multiplier ensuite le tout par la longueur et prendre la sixième partie du résultat.

REM. III. n y a lieu aussi d'observer qu'on peut arriver à la surface de tout octogone régulier ou de l'espèce de celui de la fig. de cet article, en soustrayant du carré de la distance perpendiculaire AB qui sépare deux

quelconques de ses côtés parallèles, le carré de l'un ah des côtés adjacents à ces premiers.

Ex. 1. Un pilier à huit pans a 3 pieds de largeur ou épaisseur AB, le côté ah du cliamfrein rabattu ao6 est de 6 pouces : quel est le volume du pilier, sa longueur ou hauteur étant de 10 pieds ?

Rep. (3 X 3) - (.5 x .5)=8.75 pieds superficiels, et 8.75 x 10 = 87.5 pieds cubes = vol. demandé.

2. Un plançon dont les arêtes sont à faux bois, mesure 30 pouces en carré et 30 pieds en longueur, la moyenne des côtés ah, e/, etc. du faux bois est de 9 pouces ; quel est le volume du plançon ?

Rep. (30 X 30) moins (9 x 9) = 919 pouces carrés = surface de la coupe du plançon = 6.382 pieds à très près, et 6.382x30 = 191.46 pieds cubes.

3. On a réduit à 30 pouces en carré au gros bout un arbre dont le diam. était à cet endroit de 36 pouces, au petit bout le diam. 30 pouces a été réduit à 25 pouces, le faux bois, aubier ou défaut d'équarissage ah est de 7 et 6 pouces respectivement aux deux extrémités, tel qu'obtenu par un mesurage direct du morceau de bois à cuber, ou au moyen d'une esquisse faite d'après une échelle de parties égales: quel est le volume du plançon, sa longueur étant de 60 pieds.

Rep. Surf, au gros bout - (30 x 30) — (7x7) = 851 pouces carrés, surfau petit bout=(25 x 25) -(6x6 = 589 p. c, la surface intermédiaire

-6.5^ = 756.25-42.25=714; 851 + 589 + 4 fois 714=4296 pouces carrés, divisant par 144 on a 29.833 pieds carrés, multipliant par | longueur ou par 10 on a 298.33 pieds cubes.

Rep- Surf.- section au centre=714 pouces carrés, 714-f-144 = 4.4983 pieds carrés, 4.9583x60 = 297.498 pieds cubes, c.-à-d. égal au vol. exact à moins d'un pied près, ou- à moins d'un 300ème près, ou à moins du tiers près de 1 pour cent, exactitude suffisante (1542) dans la pratique.

REM. IV. Une comparaison des deux réponses du dernier problème, indique suffisamment que la pratique ordinaire des mesureurs de bois, qui prennent les dimensions d'un plançon au milieu de sa longueur, pour multiplier ensuite la surface de la coupe en cet endroit par la longueur du plançon, afin d'en obtenir ainsi le volume, est, à tout considérer (1542), sanctionnée par les circonstances.

TABLE

DE