PRÉFACE. V

plus générale, on a fait (641) (642) des problèmes 11, 12, 13 et 14, de simples corollaires ou scolies. Les trois angles ou sommets d'un triangle ne sont que des points, considération qui nous a permis de fondre (417) (430) laprop. V de ce livre avec la prop. B. du dernier.

Dans le 5ème. livre cVEuclide, dont on trouvera comme on l'a déjà dit, les conclusions parmi les principes de ce traité, on a fait usage du mot quantité, avec la signification générale qu'on lui donne à l'endroit de l'article (24), afin de pouvoir, à l'aide des propositions ayant trait aux rapports et proportions entre deux ou plusieurs quantités quelconques de même espèce, raisonner sur les nombres aussi bien que sur les lignes, les angles, les surfaces et les solides, et en déduire comme on l'a fait dans beaucoup de C|as (et par analogie, dans tous les cas) la manière d'arriver à la solution numérique aussi bien que géométrique des divers problèmes de cet ouvrage.

On a réduit à de simples axiomes, plusieurs des propositions de ce livre; savoir, les prop. 7, 9, 11, 15 et F qui ont leurs équivalents respectifs dans les paragraphes (82 et 83) (72) (75) (73) et (SI) et pour cause (71) (74) (80). En efiet, nous tenons que pour se rendre compte de la vérité d'un axiome, il se fait dans l'esprit un raisonnement plus au moins long. On n'est pas prêt à admettre instantanément que si deux choses, par exemple, sont égales à une troisième, elles sont égales entre elles. Avouons que dans le cas de cet axiome, le premier et le plus évident de tous, le raisonnement mental n'est que de quelques secondes ; mais tout court que soit ce raisonnement, il a lieu. Prenons les axiomes suivants d'Euclide. '' Si à des quantités égales, on ajoute des quantités égales, les touts seront égaux ; et si de quantités égales l'on retranche des quantités égales, les restes seront égaux. Ici le raisonnement est un peu plus long que dans le dernier cas, et si Ion passe aux axiomes suivants où l'on ajoute et retranche des quantités égales et inégales, il faut un procédé de l'esprit encore plus long pour se rendre compte tout d'abord de la proposition, c'est-à-dire pour bien en apprécier l'énoncé, puis, en saisir la vérité. Cela posé, il sufiira de pousser l'opération mentale un peu plus loin, mais toujours dans d'étroires limites, pour déduire comme nous l'avons fait, des axiomes ordinaires, les axiomes additionnels de ce traité.

A part les quelques théorèmes dont on a, comme on vient de le dire, fait des axiomes, on en a éliminé un bon nombre, condensé quelques-uns et déduit les autres comme conséquences de ceux qui les précèdent, et d'ailleurs.

VI PKEFACE.

Disons enfin, à l'dgard du 6ème. livre d'Eudide, qu'on ne voit pas trop la ndcessité de faire des propositions 14 et 15 des théorèmes séparés, puisque comme on le fait voir (547)^ chaque triangle est moitié de son parallélogramme correspondant et que les moitiés sont comme les touts.

Il est clair aussi que la définition qu'on a donnée (24) du mot quantité permet de démontrer (8<i à 89) les théorèmes 16 et 17 qu'on a d'ailleurs déduits aussi des propositions L V et LVII de ce traité ; et pour ce qui est par exemple de la prop. 21 de ce livre, il suffira des remarques précédentes pour faire comprendre de suite qu'on a dû en faire un simple axiome ou (209) le corollaire d'une définition.

En général l'on s'est attaché à mettre les divers problèmes qui dépendent des éléments, immédiatement en regard, pour ainsi dire, des théorèmes sur lesquels reposent leur solution, et on en a fait de simples scolies ou consé<|uences découlant de ces propositions ; cette mise en regard et juxtaposition ayant l'avantage de rendre la solution d'autant plus facile qu'on a plus frais dans la mémoire les principes applicables à cette solution.

Les démonstrations sont dans un grand nombre de cas diiférentes de celles d'Euclide; elles sont la plupart plus concises, plus succinctes et plus variées. On a souvent expliqué les problèmes et théorèmes de deux ou plusieurs manières différentes, comme à l'article (37-1) par exemple et à l'endroit des articles («81) (SS2) (-189) (553) etc., afin de se mettre autant que possible à la portée des intelligences diverses.

L'on verra d'ailleurs dans le tableau qui va suivre, la mise en regard des propositions qui se correspondent dans ce traité et dans les éléments d'Euclide.

Du théorème additionnel (589) on a déduit une règle pour la solution d'un problème (591) d'une haute importance pratique dans le partage des terres, et de même on a tiré du cor. (008) le moyen de résoudre le problème du par. (609).

On a souvent mis en regard de la solution ou construction géométrique d'un problème, sa solution numérique (5TO) (571) (599 sco. 4) et le Lemme, page 177, permet de comparer dans tous les cas et de traduire les données pour les rendre propres aux opérations auxquelles on désire les soumettre.

De plus, ce qui d'ailleurs était de stricte nécessité pour rendre logiques toutes les conclusions de ce traité, l'ouvrage est suivi et raisonné du commencement à la fin ; chaque proposition, comme dans Euclide, ne