IV PREFACE

solution, et de cette manière la 1ère. prop. d'Euclide s'est réduite (223) à une simple conséquence de la 22ème. Aidé des caroUaires tirés (122 et 123) de la définition (121) d'un angle, on a pu déduire des définitions qui y ont trait, les propositions 13, 14, 15, 20, 27, 28, etc. Pourquoi ne ferait on pas (143) He la 30ème. prop. un simple axiome ? Les axiomes Ç^^) et ('"'') nous en donnent bien le droit (144). Des SSème. et 34ème. d'Euclide nous n'avons f\ut qu'une prop. Nous en avons agi de même (284) à l'égard des prop. 35 et 3G ; car Euclide lui-même qui dans ses 4ème. et Sème., par exemple, superpose les figures les unes aux autres afin d'en démontrer l'égalité, aurait pu de même superposer l'une à l'autre les bases égales de ses parallélogrammes pour les regarder ensuite comme une seule et même base ; ce qui eût permis de faire de la seconde de ces deux prop. une conséquence directe de la première. On a réduit et pour cause (2S6) à un simple corollaire les deux propositions suivantes, les 37ème. et 38ème. ; et ainsi de suite.

Pour ce qui est du 2cme. livre d'Euclide qu'on a aussi quelque peu condensé, l'on y a ajouté (366) un lemme qui fera comprendre (369) toute l'importance de la cinquième prop. de ce livre dans la solution de plusieurs problèmes d'une très grande utilité pratique, savoir: (373), (375), (376), (591), etc. Des propositions 9 et 10 l'on a donné (385) (387) des démonstrations différentes, plus succinctes et parla môme plus faciles à retenir, quoique cependant l'on n'ait fait que peu ou point d'usage de ces théorèmes dans la suite de ce traité.

Passons au Sème, livre d'Euclide. Nous sommes bien de l'avis de Clairaut, que c'est parce que Euclide avait affaire de son temps à des sophistes obstinés qui se faisaient fort de refuser leur assentiment aux vérités les plus évidentes, qu'il trouva nécessaire de prouver, comme il le fait (prop. 2), que " la ligne droite qui relie deux points quelconques dans la circonférence d'un cercle est entièrement dans ce cercle " ; et de même il nous paraît qu'il n'est pas indispensable de démontrer la vérité des prop. 23 et 24, rendues évidentes par les propositions (399) (404). Pourquoi ne pas faire du problème 25 un simple cor. du prob. 1 ? L'on conçoit sans doute qu'il ait été possible de réduire les quatre prop. suivantes à de simples corollaires d'une prop. plus générale. Une solution différente (450) de la 33ème., en réduira les trois cas à un seul ; et il en sera de même (502) et (503) des prop. 35 et 36.

Au 4ème. livre d^Ettclide, on a fait de la première prop. une conséquence (255) de la première de ce traité ; on a réduit comme on peut le voir, (633) les quatre problèmes G, 7, 8, 9 ; et à l'aide d'uue proposition