EXPLICATION DES TERMES ET SIGNES

(Voyez la Note au bas de la Page).

(1) La Géométrie est une science qui a pour objet la mesure de l'étendue.

(2) L'Etendue peut se considérer séparément ou conjointement sous les trois rapports de longueur, largeur, et hauteur ou profondeur.

(3) Il y a en géométrie plusieurs termes généraux et principes; savoir: Définitions, Propositions, Axiomes, Demandes, Théorèmes, Problèmes, Lemmes, Scolies, Corollaires, Démonstrations directes ou indirectes, positives ou négatives,

N. B — En commençant l'Etude de ce traité, les seules connaissances que nous supposons au lecteur sont les quatre premières règles d'Aiithmétique : l'Addition, 5a Soustraction, la Multiplication et la Division, simples et composées, ainsi que les fractions ordinaires et décimales et l'extraction des racines carrée et cubique.

Solutions, Hypothèses, Méthodes, Analyse, Synthèse, Racines, Puissances, Produits, Quotients, Sommes, Difierences, etc.

(4) Procédons maintenant à indiquer le sens exact dans lequel on doit toujours employer et entendre chacune de ces expressions.

(5) Une Définition est l'explication d'un terme ou mot quelconque dans une science, indiquant le sens dans lequel ce mot ou terme est employé. L'on définit aussi une chose quelconque en énonçant tout ce qui est essentiel à l'existence de cette chose.

Toute définition doit être claire et exprimée en termes dont la signification soit parfaitement comprise.

(6) Proposition est le nom général sous lequel on désigne un problème, théorème, axiome, lemme, etc.

(7) Un Axiome est un théorème dont la vérité est évidente par elle-même, et qui n'exige par conséquent aucune démonstration particulière. C'est une proposition telle, que chacun l'admet ou est prêt à l'admettre dès qu'elle est émise ou énoncée.

Ainsi, il est tellement évident que " deux quantités qui sont chacune égale à une troisième quantité sont égales entre elles," que cet énoncé n'exige aucune démonstration et en conséquence on lui donne le nom d'axiome.

(8) Une Demande est un problème d'une solution si facile et évidente, que nul ne peut hésiter à l'admettre.

Ce terme vient de ce qu'en énonçant des problèmes de cette espèce, on " demande " au lecteur de les considérer comme étant d'une solution trop évidente pour nécessiter une démonstration.

(9) Un Théorème est une proposition dans laquelle on énonce une propriété dont il faut démontrer la vérité.

Ainsi, quand on dit que "la somme des trois angles d'un triangle rectiligne est égale à deux angles droits ;" cet

énoncé est un théorème dont on n'est pas prêt à admettre la vérité sans qu'elle soit d'abord prouvée ou démontrée.

(10) Un Lemme est une proposition préparatoire qui précède quelquefois une proposition principale, pour en faciliter la démonstration ou la rendre plus succinte.

(11) Une Scolie est une remarque, observation ou commentaire que l'on fait sur une ou plusieurs propositions précédentes.

(12) Un Corollaire est une conséquence ou vérité qui découle immédiatement d'une ou de plusieurs propositions que l'on vient de démontrer.

(13) On appelle Démonstration la réunion des divers arguments et preuves nécessaires pour rendre évidente la vérité d'une proposition.

Elle est Directe ou Positive lorsqu'elle finit par prouver d'une manière directe et certaine la proposition dont il s'agit, et en cela, plus satisfaisante à l'esprit que la démonstration Indirecte ou Négative qui établit la vérité d'une proposition en montrant qu'une absurdité s'en suivrait si la proposition était fausse.

On désigne quelquefois cette dernière sous le nom de Réduction à l'absurde, parce qu'elle démontre l'absurdité et la fausseté de toutes suppositions contraires à celles contenues dans la proposition.

(14) On peut aussi dire quelquefois d'une proposition que la démonstration ou preuve en est oculaire, c'est-à dire oculairement évidente ou évidente à l'œil, lorsque la vérité de ce qu'on énonce dans la proposition est évidente par la seule inspection de la figure.

Ainsi, lorsqu'on dit, comme au par. (215), que " le carré décrit sur une ligne est égal à neuf fois le carré décrit sur le tiers de cette ligne ;" c'est que, comme on le verra, la figure indique immédiatement cette propriété et qu'il suffit d'y jeter les yeux pour s'en convaincre.

(15) Un Problème est une proposition, ou une question proposée qui demande une solution, c.-à-d. la recherche d'une quantité inconnue, la construction d'une figure, etc.

Si l'on demande, par exemple, à diviser (*; un angle en deux parties égales, ou à mener une ligne perpendiculaire à une autre ligne, etc. ; voilà des problèmes ou questions à résoudre.

(16) La Solution d'un problème est la détermination ou l'accomplissement de ce qui est demandé par le problème. Elle est Numérique lorsque la réponse est donnée en chiffres ; Géométrique, si la réponse est donnée par les principes de la géométrie, et Mécanique lorsqu'on l'obtient par des essais.

(17) Une Hypothèse est une supposition que l'on fait dans le but de fonder sur cette supposition le raisonnement ou la démonstration d'une proposition.

Ainsi, lorsque dans un triangle, par exemple, les angles seulement sont donnés pour en déduire le rapport entre les côtés, ce rapport, comme on le verra, pourra s'obtenir en supposant à un des côtés une valeur quelconque afin d'en déduire par le calcul ou autrement la valeur correspondante des côtés inconnus, et de là le rapport entre eux.

De même, pour résoudre un problème, il est souvent nécessaire de supposer le problème tout ou en partie résolu, afin d'en obtenir par analyse ou décomposition les éléments nécessaires à sa solution.

(18) La Méthode est l'art de disposer une série d'arguments d'après un ordre particulier, pour découvrir la vérité ou la fausseté d'une proposition, ou pour la démontrer à d'autres après en avoir fait la découverte. Toute méthode régulière est ou analytique ou synthétique.

(19) L'Analyse ou la Méthode Analytique est l'art ou le mode de trouver la vérité d'une proposition, en supposant

(*) L'on fera usage dans la suite du verbe " bissecter " pour éviter le trop fréquent emploi des mots " diviser en deux pai'ties égales."

d'abord la chose faite, et on raisonnant ensuite pas à pas j usqu'à ce que l'on arrive à quelque vérité connue. Cette méthode s'appelle aussi celle de l'Invention ou de la Résolution.

(20) La Synthèse ou Méthode Synthétique est l'art de rechercher une vérité, en posant d'abord des principes et éléments connus, et eu poursuivant jusqu'à conclusion les conséquences découlant de ces principes. Cette méthode s'appelle aussi celle de la Composition et est celle dont on se sert ordinairement en géométrie.

(21) îT'oublions pas que le résultat de l'addition est une Somme ; celui de la soustraction, une Différence ; celui d'une multiplication, un Produit ; et celui d'une division, un Quotient ; et ne confondons jamais ces quatre expressions.

(22) Kappelons-nous que la soustraction est le contraire de l'addition, puisque si par la première de ces opérations l'on diminue une quantité, on l'augmente par la seconde, et réciproquement; mais rappelons-nous surtout que la division est le contraire de la multiplication, et qu'où défait par la première ce qu'on fait par la dernière.

Ainsi, il est évident que si, comme on le démontrera par la suite (333), la surface d'un rectangle, par exemple, s'obtient en multipliant sa base par sa hauteur ; cette même surface divisée par la base du rectangle donnera sa hauteur, et divisée par la hauteur, donnera sa base.

En effet, si la base était représentée par le nombre 10 et la hauteur par 5, on aurait pour surface du rectangle (d'après la dernière hypothèse) 10 multiplié par 5, ce qui fait 50 ; or il est clair que ce produit 50 divisé par 5, la hauteur, donne 10, la base, et que 50 divisé par 10, la base, donne 5, la hauteur.

(23) On désigne sous le nom de Facteurs les quantités séparées qui servent a former un produit : tels sont dans la multiplication le Multiplicateur et le Multiplicande.

Dans la division, l'on appelle Termes le Diviseur et le Di vidende.

(24) Le mot Quantité, dont on fait un fréquent usage dans ce traité, voudra toujours dire quantité d'une espèce quelconque, soit nunaérique, linéaire, superficielle, cubique ou angulaire; car il s'agira, ou d'un nombre, ou d'une ligne, ou d'une surface, ou d'un solide, ou enfin d'un angle ; et quand on parlera d'ajouter, de soustraire, de multiplier et de diviser ces quantités ou d'en extraire les racines, ces diverses opérations devront toujours s'entendre du nombre d'unité de mesure (48) de ces quantités, lesquelles seront invariablement de la même espèce que les quantités ellesmêmes.

Ainsi, quand la quantité dont il s'agit sera un nombre son unité de mesure sera évidemment numérique ; cette unité sera linéaire, s'il s'agit d'une ligne ; superficielle, s'il s'agit d'une surface ; cubique, s'il s'agit d'un solide ; et angulaire, s'il s'agit d'un angle.

(25) Deux Quantités sont dites de même espèce lorsque la plus petite peut être multipliée de manière à excéder la plus grande. Une ligne, par exemple, qui d'après la définition qu'on en donne (107), n'a d'étendue que dans le sens de la longueur, n'est pas de même espèce qu'une surface (114), qui a, en même temps, de l'étendue dans le sens de la largeur ; car on ne saurait multiplier une ligne de manière à en obtenir ou former une surface.

Pour une raison analogue, les surfaces ne sont pas de même espèce que les solides (119) qui ont de l'étendue tant en épaisseur qu'en longueur et largeur; et pour ce qui est des quantités angulaires, elles diffèrent évidemment de toutes les autres.

(26) Le signe = (ou deux lignes parallèles) est celui de l'égalité, et placé entre deux quantités quelconques, il indique que ces quantités sont égales ; ainsi, A^B indique que la quantité représentée par la lettre A est égale à celle représentée par la lettre B, et on lit A égale B ou A égal à B.

On donne le nom d'équation à l'expression A=B et à toute autre expression de cette forme, où certaines quantités d'un côté sont reliées par le signe = à certaines autres quantités de l'autre côté. Ainsi A+B=C — D est une écpiation dont les quantités A+B et C — D sont les côtés ou membres, et A, B, C, T>, les termes.

(27) Ou se sert de l'expression A>B pour signifier que A est plus grand que B. Dans le cas contraire l'ouverture du signe est tournée en sens opposé ; ainsi, A<B indique que A est plus petit que B.

(28) Le signe de l'addition est une croix perpendiculaire ou à plomb ; ainsi, A+B ou A plus B indique la somme de A et de B.

(29) La soustraction s'indique par iirys simple ligne, comme A — B, qui s'énonce A moins B et indique la diliëreuce qui reste après avoir soustrait B de A.

De même, A— B+C ou A+C— B indique qu'il faut ajouter ensemble A et C et de leur somme retrancher B.

(30) La multiplication s'indique par une croix oblique, par l'interposition d'un point, ou simplement par la juxtaposition des quantités ou facteurs; ainsi, AxB, A.B ou AB veut dire que la quantité A doit être multipliée par celle B. On doit se garder d'employer l'expression AB pour indiquer le produit de ces deux quantités, lorsqu'il y a danger de confondre cette expression avec celle de la ligne AB.

On ne peut indiquer la multiplication de nombres ou de quantités représentées par des chifires, par la simple juxtaposition de ces nombres ; ce qui est évident, puisque s'il s'agissait des nombres 2 et 5, par exemple, on aurait en les écrivant l'un à côté de l'autre, 25 ; tandis que leur produit ne donnerait que 10. Il faut de toute nécessité dans ce cas employer la croix oblique ou le point entre les facteurs, et éviter même l'emploi de ce dernier, lorsqu'il y a dano-er de confondre cette expression avec celle indiquant un nombre

entier et une décimale, pour séparer lesquels, ou se sert souvent du point.

(31) L'expression A-^B ou —, dans laquelle l'une des deux

quantités est placée au-dessus de l'autre en forme de fraction, indique la division de A par B ou le rapport (58) de A à B, et s'énonce A divisée par B ou A sur B. Si A^4, par

A4 exemple, et B=2, l'on aura évidemment —=-=2 ; or 2 est

le quotient, et comme ce quotient indique le nombre de fois que B est contenue en A, il indique de même le rapport entre ces quantités, qui est celui de 1 à 2 ou de 2 à 4. Il est à peine nécessaire de dire que toutes autres valeurs numériques que l'on assignerait aux quantités A et B, donneraient (59) des résultats analogues.

Il est évident que la division des quantités représentées par des lettres ne pouvant s'eôectuer qu'en réduisant ces quantités à leurs valeurs numériques ou en chiffres, il faut

regarder l'expression — comme le quotient de la division in- B

diquée ; de même que AxB, A.B ou AB représente le produit ou résultat de la multiplication indiquée.

(32) Lorsque des quantités sont renfermées dans une parenthèse ou surmontées d'une ligne, on doit regarder la somme de ces quantités comme n'en formant qu'une eu égard à d'autres termes ; ainsi, l'expression AX (B+C — D) ou A.B+0 — 1) représente le produit de A par la quantité B+C — D, après qu'on a fait l'opération indiquée par l'ensemble de ces trois dernières lettres. De même A+B-;- A — B-f-C indique que la quantité A+B doit être divisée par la quantité A — B+C.

(33) Le Coefficient d'une quantité est le nombre qui le précède immédiatement; ainsi, 2AB signifie que l'on prend deux fois la ligne AB ou le produit AB ; de même que JAB indique la moitié de cette ligne ou de ce produit.

Ce coefficient s'exprime aussi quelquefois par une petite

PEINCIPES, ETC. 9

lettre placée près de celle qui indique la quantité ; ainsi, 7iAB indique qu'on doit prendre la ligne AB un nombre de fois désigné par la lettre n. De même m (A+B) indique m fois la somme de A et B, et n (A — B), n fois leur différence. Il est clair, d'après ce qui a déjà été dit, que (m-i-n) A, (m — n)

A, mn A, et A, signifient qu'il faut premièrement prendre A

un nombre de fois égal à la somme de m et n, puis égal à la différence entre m et n, ensuite égal au produit de ces deux lettres et enfin égal à leur quotient.

Lorsqu'une quantité n'est précédée d'aucun coefficient ce dernier est toujours considéré égal à l'unité.

(34) La Première Puissance d'une quantité est cette quantité elle-même ; ainsi la première puissance de A est A ou A', le petit chiflre 1 placé à droite de la quantité et un peu au-dessus étant appelé l'Exposant de la quantité.

(35) Le Carré ou la. Seconde Puissance d'une quantité est le résultat de la multiplication de cette quantité par ellemême ; ainsi le carré de 10 est 100, parce que 10X10=100 et s'écrit 10', comme celui de A s'écrit A^. L'expression A+B* désigne la somme de A et de B^, tandis que celle (A+B)* indique le carré de la quantité A+B, ce qui est bien difiérent, et montre l'importance de faire attention à la parenthèse qui réunit les deux quantités A et B et n'en forme qu'une, eu égard à l'exposant 2.

(36) Le Cube ou la Troisième Puissance d'une quantité est le résultat de la multiplication de cette quantité par ellemême, et de ce premier produit de nouveau sar cette quantité. Ainsi 1000 est le cube de 10, car 10x10=100 et 100 Xl0=1000. Le cube de 10 s'écrit 10^ comme celui de A s'écrit A' et celui de A.B, A.Bs ou (A.B)3.

(37) La Racine Carrée ou simplement la Racine d'une quantité est celle qui multipliée par elle-même produit cette quantité ; ainsi 10 est la racine carrée de 100, parce que 10X10=100. Cette racine s'indique par le signe radical ]/, avec ou sans le chiffre 2 placé entre les branches du radical ;

ainsi, y'5 ou simplement i/5 indique la racine carrée de 5 ou le nombre qui multiplié par lui-même donne 5 pour produit. De même |/a+B ^^ i/AxB indiquent, la première la racine carrée de la somme de A et B, la seconde celle du produit de ces deux quantités,

(38) La Racine Cubique d'une quantité est celle qui étant multipliée par elle-même, et le résultat de nouveau par cette racine, produit cette quantité ; ainsi, 10 est la racine cubique de 1000, puisque 1000 est le résultat de la multiplication de la racine 10 d'abord par elle-même, et du premier produit 100 encore par 10. Cette racine s'indique f^ïÔÔÔ, comme celle de A s'écrit f^^ et celle de A+B, f/A+B ; tandis que i^Â+^ indique au contraire la somme de B et de la racine cubique de A. De même f/AxBxC désigne la racine cubique du produit continu (41) des trois quantités A, B, C.

(39) On indique encore les racines par des exposants fractionnaires ; ainsi A^ est la même chose que if Â? chacune de ces expressions signifiant la racine cubique de la quantité A, et (AXB)^ indique, comme v^AxB, la racine carrée du produit de A par B.

(40) Rien n'empêchera, comme on le verra par la suite, de considérer le carré ou le cube fait sur une ligne comme le carré ou le cube de cette ligne ; et semblablement, on pourra considérer comme racine d'un carré ou d'un cube géométrique la ligne sur laquelle ce carré ou ce èube est fait, c.-à-d. le coté de ce carré ou de ce cube.

(41) On entend par Produit Continu d'une ou de plusieurs quantités, le résultat provenant de la multiplication de cette quantité par elle-même, s'il n'y en a qu'une, et du produit de nouveau par cette même quantité, et ainsi de suite ; ou, des deux premières quantités l'une par l'autre, quand il y en a plusieurs, et de leur produit par la troisième quantité, et ainsi de suite.

Le cube d'un nombre est donc un produit continu de ce nombre ; et si l'on prouve, comme on le fera par la suite

que la solidité d'un prisme, par exemple, s'obtient en multipliant sa largeur par sa longueur pour obtenir d'abord la surface de la base, et cette surface ensuite par la hauteur ou épaisseur du prisme pour en déduire le nombre d'unités de mesure cubique qu'il contient ; il sera vrai de dire de ce prisme que sa solidité est égale au produit continu de sa largeur, longueur et hauteur.

(42) S'il s'agissait d'un Quotient Continu, l'on prendrait ces mots dans un sens analogue. En effet, prenant encore le cas du prisme, il est clair que si, d'après l'hypothèse faite dans le dernier par., on divisait sa solidité jyâv sa hauteur, on reviendrait à la surface de sa base ou au produit de sa largeur et longueur. Ce premier résultat ou quotient divisé par la longueur du prisme donnerait enfin pour quotient continu sa largeur, ou si l'on divisait ce premier résultat par la largeur du prisme on aurait sa longeur.

Tout ceci est clair, car s'il est vrai qu'on arrive à la solidité du prisme par le produit continu de ses trois dimensions ou éléments, l'on reviendra de même à ces éléments par la division qui décompose ou défait ce que fait la multiplication (22).

(43) On entend par Multiple d'une quantité le produit de cette quantité par un nombre quelconque plus grand que l'unité ; ainsi, 10 est un multiple de la quantité 5 par un nombre 2 ou de 2 par 5. Le double, le triple, etc., d'une quantité sont donc autant de multiples différents de cette quantité ; tels sont 2A, 3A, ?iA, etc., ou ?>iB, nB, rB, etc.

(44) Sous-multiple, Fraction ou Partie d'une quantité

est le résultat de la multiplication de cette quantité par un

nombre quelconque plus petit que l'unité, ou ce qui revient

au même, c'est le résultat de la division de cette quantité par

un nombre quelconque plus grand que l'unité. Ainsi, 10

multiplié par J ou divisé par 2 donne pour sous-multiple le

nombre 5, et |A, JA, ^A, etc., ou — B, — -B, — B, etc., sont

autant de parties, fractions ou sous-multiples différents des quantités A et B.

(45) Les Multiples ou Sous-multiples Egaux d'une ou de plusieurs quantités sont évidemment les produits ou quotients de ces quantités par un même nombre ; par exemple, 2A, 2B sont des multiples égaux de quantités A et B, et si les quantités elles-mêmes sont égales, leurs multiples égaux le sont aussi ; de même JA, JB sont des parties égales ou sous-multiples égaux des quantités A, B et sont évidemment égaux ou inégaux suivant que les quantités A, B dont ils font partie sont égales ou inégales.

(46) Il suit clairement du dernier par. que si deux quantités quelconques A, B sont ensemble égales à une troisième quantité C, la somme des multiples ou sous-multiples égaux des deux premières est égale au multiple ou au sous-multiple ou partie correspondante de la troisième. Si, par exemple, la somme de A et B est égale à C, il est évident que la somme des doubles, triples, ou multiples quelconques des deux premières quantités est égale au double, triple, ou au multiplô correspondant de la troisième ; et que la somme des moitiés, tiers, ou parties quelconques de A et de B est égale à la moitié, tiers, ou partie correspondante de C.

(47) Le rapport (31), ou (58) la relation entre deux ou plusieurs quantités de même espèce peut s'exprimer en nombres soit exactement soit approximativement ; et dans ce dernier cas on peut porter l'approximation à un degré tel qu'elle diffère du rapport exact d'une quantité moindre que la plus petite quantité assignable.

(48) Par exemple, de deux quantités de même espèce, on peut en concevoir une divisée en un nombre quelconque de parties égales, et prenant pour unité de mesure une de ces parties, on peut exprimer cette quantité ou son étendue par le nombre d'unités qu'elle contient. Si maintenant l'autre quantité contient un nombre exact quelconque de ces unités, les deux Quantités sont appelées Commensurables, c.-à-d. ayant une mesure commune.

Ainsi, 10 et 15 sont commensurables, soit que l'on prenne 5 ou 1 pour unité de mesure; chacune de ces quantités divisant exactement les deux nombres. D'ailleurs tout nombre entier est divisible par l'unité, et sous ce point de vue, deux ou plusieurs nombres entiers quelconques peuvent toujours être réputés commensurables.

(49) S'il s'agissait des fractions h et } dont on n'aperçoit pas au premier abord la commensurabilité, l'on aurait en les réduisant au même dénominateur h et j% ; ce qui prouve que chacune de ces fractions est divisible par iV et que leur rapport est celui de 5 à 3, c.-à-d. § (31). De même, si la base d'un rectangle (166) était 4^ et sa hauteur 3J, il est clair que prenant pour unité de mesure A, on obtiendrait en nombres entiers le rapport exact de ces deux dimensions ; or 4^= ff et 3^=îl, ce qui donne pour rapport entre ces quantités 52 à 39.

Dans le cas d'un solide (119) dont la longueur serait |, la largeur ^ et la hauteur 2îV, réduisant le tout en IGièmes, on aurait le rapport des côtés de ce solide l'un à l'autre comme 24 à 14 à 33. L'unité de mesure dans ce dernier cas serait donc is, et si les côtés du solide étaient exprimés en pieds, leur unité de mesure commune serait évidemment iV de pied. Si au contraire les côtés étaient exprimés en pouces ou en lignes, l'unité de mesure contenue un nombre exact de fois dans chacun de ces côtés serait tV de pouce ou iV de ligne et ainsi de suite.

(50) Il est donc évident que si l'on ne peut d'abord trouver une unité de mesure qui puisse diviser exactement deux ou plusieurs quantités quelconques de même esj^èce, on parviendra néanmoins le plus souvent à opérer cette division au moyen d'une unité de mesure de plus en plus petite ; mais s'il n'y a aucune unité de mesure assignable qui soit contenue un nombre exact de fois dans chacune des quantités à diviser, ces Quantités sont alors appelées Incommensurables.

Le côté et la diagonale d'un carré oifrent un exemple de

cette incommensurabilité, puisque, comme on le verra (398), il n'est pas possible de trouver une unité de mesure, si petite qu'elle soit, capable de diviser exactement ces deux quantités.

(51) Cependant, comme nous l'avons déjà dit (47), on peut porter l'approximation à un degré tel que le rapport trouvé diifère du rapport exact d'une quantité moindre qu'aucune quantité assignable. En effet, si l'on demandait à exprimer en décimales le rapport de i à i, on écrirait y'o- à A ou 0.2 à 0.3 ; mais è=i^(r+5V ; donc le rapport tel que ci-dessus exprimé diffère du rapport réel, de la trentième partie de l'unité prise pour mesure.

Maintenant posons i k h comme 1%% à tVô ou comme 0.20 à