ou enfin, ce qui est la même cbose, comme 20 à

33, et l'approximation se trouve portée à sÔîj près ; car J est

évidemment égala j-Q^ ; or le tiers de un centième qu'on

néglige équivaut à ^o^ ; donc le rapport des deux quantités données, tel qu'exprimé par 20 à 33 est encore fautif, mais d'une quantité dix fois moindre que le rapport indiqué par 2 à 3. Ajoutant aux décimales un troisième chiffre, on obtient i à à comme AVii à AVo ou comme 200 à 333, et cette troisième expression ne diff'ère du rapport réel que de la fraction uo'ôo, c.-à.d. de la trois millième partie de l'unité de mesure contenue dans les nombres 200 et 333, termes du rapport.

Il est clair qu'en continuant ainsi à ajouter des chiffres à la droite des deux décimales, (ce qui se fait, ne l'oublions pas, en ajoutant aux numérateurs des fractions ordinaires, des zéros, et en continuant à diviser par les dénominateurs) on porterait l'approximation à 3„ ^^^ près, puis à s^rùv^, enfin à 3m,„ p^„ près, et ainsi de suite ; l'erreur ou la différence entre le rapport réel et le rapport approximatif diminuant toujours dans une proportion décuple pour chaque chiffre additionnel des deux nombres décimaux.

(52) Pour le cas cité dans l'avant dernier par., c.-à-d. celui du côté et de la diagonale d'un carré, cette diagonale, comme

ou aura occasion de le démontrer plus tard (310), est égale à la racine carrée du nombre d'unités de mesure contenues dans la somme des carrés de deux des côtés de la figure, ou ce qui est la même chose, de deux fois le carré d'un de ses côtés. Cela posé, il n'y aura qu'à extraire cette racine à 2, 3, 4, 5, 6 ou à un plus grand nombre de décimales près, pour obtenir le rapport voulu à toU, ^Vïï» iri^» rïïWï ou enfin à i.uol.ooo Pï"^^ ^* même au-delà si c'est requis ; ce rapport étant approximativement celui de 1.4142136 à jo.ouVouo près. (53) !N"ous trouverons (672) un autre cas d'incommensurabilité dans le diamètre et la circonférence d'un cercle, dont nous traiterons ci-après ; mais qu'il suiS.se ici d'observer que la quadrature du cercle ou ce qui revient au même, le rapport du diamètre à la circonférence est déjà connu à un degré d'approximation ou d'exactitude bien au-delà de tout ce qui peut jamais être nécessaire à l'homme non seulement dans le calcul des dimensions du globe qu'il habite ou des distances planétaires ; mais encore de celles des astres les plus éloignés que peut découvrir l'astronome à l'aide des dIus puissants télescopes, ou de ceux même qu'il pourrait découvrir avec des instruments d'optique mille fois plus puissants que ceux qu'il possède déjà.

Cette approximatton du rapport du diamètre à la circonférence a déjà été portée à plus de six cents chiffres décimaux ; et l'on verra de combien ce rapport doit se rapprocher du rapport réel et comme il importe peu d'arriver à ce rapport, par le fait que des 600 chiffres décimaux dont nous venons de parler, il snfBt d'en faire entrer 10 en compte, pour, du diamètre de la terre supposé connu, déduire la circonférence à un pouce près.

Treize décimales donneraient cette même circonférence à l'épaisseur d'un cheveu près, en supposant que cette épaisseur soit la millième partie d'un pouce ; et il suffirait de 17 décimales pour éviter une erreur de la millième partie d'un pouce dans les 200 millions de lieues contenues dans la Ion-

gucur de la circonférence ou orbite de la terre autour du soleil.

Remarque. — Ce que nous venons de dire dans les trois derniers paragraphes, ne peut manquer de convaincre le lecteur de la possibilité d'obtenir et d'exprimer en nombres, dans tous les cas possibles et avec toute l'exactitude désirable, le rapport entre deux ou plusieurs quantités quelconques de même espèce.

(54) On rendra quelquefois par le signe .-. (trois points disposés en forme de triangle) l'expression c'est pourquoi, donc, de là il suit, et d'autres expressions analogues qui sont d'un fréquent usage dans les démonstrations géométriques.

(55) Les nombres entre parenthèses renvoient aux paragraphes qui contiennent l'explication ou la preuve de l'énoncé qu'on fait.

(56) Par les mots point, ligne, triangle, etc., employés sans qualification, il faudra toujours entendre un point quelconque, une ligue quelconque, un triangle quelconque, etc.

Ainsi, quand on demandera à partager une figure par une ligne passant par un point intérieur, il s'agira d'un point situé à un entroit quelconque dans cette figure ; et quand on aura démontré que la somme des trois angles d'nn triangle rectiligne vaut deux angles droits, cette propriété s'entendra également de tous les triangles rectilignes qu'il soit possible de concevoir.

(57) Enfin, pour abréger, on écrira souvent hjp. pour hypothèse, SCO. pour scolie, cor. pour corollaire, prob. pour problème, théor. pour théorème, ext. pour extérieur, int. pour intérieur, ait. pour alterne, ax. pour axiome, prop. pour proposition, ligne ou droite ponr ligne droite, courbe pour ligne courbe, fig. pour figure, rect. pour rectiligne, constr. pour construction, parallélogr. pour parallélogramme, etc.

L'expression donc, etc., se rencontre souvent après la démonstration d'un théorème ou d'un énoncé quelconque, la répétition de renonciation faite étant toujours sous-entendue.

Par exemple, il est énoncé (322) que deux angles A, B sont égaux si les côtés de l'un sont perpendiculaires à ceux de l'autre. L'on procède ensuite à la preuve de cet énoncé, montrant qu'en réalité A=B comme on l'a dit. Puis on ajoute "donc, etc.," ce qui équivaut à dire "donc deux angles sont égaux si les côtés de l'un sont perpendiculaires à ceux de l'autre."