D FG K

et acutangle, celui

droit C ; obtusangle, A C

celui DFE qui a un angle obtus F ; GHK dont les trois angles sont aigus.

(164) Déf. Dans un triangle rectangle, on appelle hypo ténuse le côté AB opposé à l'angle droit.

(165) Déf. Parmi les figures à quatre côtés ou quadrilatères, le carré ou tétragone est celle ABCD dont tous les côtés sont égaux et tous les angles droits. La ligne AC qui joint deux quelconques des angles opposés est appelée diagonale.

(166) Déf Le rectangle est celle EFGH E dont tous les angles sont droits ; mais dont les côtés ne sont pas tous égaux. H

(167) Sco. H suit de cette déf. et du par. (150) que les côtés opposés d'un carré et d'un rectangle sont parallèles deux à deux. De plus, les côtés opposés d'un rectangle sont égaux ; car (142) EF, HG sont les distances égales entre les parallèles EH, FG; et FG, EH sont les distances égales entre les parallèles EF, HG ; puisque les côtés du rectangle sont perpendiculaires l'un à l'autre.

GÉOMÉTKIE.

(168) Déf. Un rhombe ou losange N" 0 K L est un quadrilatère dout tous les côtés sont égaux, mais dont les angles ne sont pas droits,

(169) Déf. Un parallélogramme PQ-

RS est un quadrilatère dout les côtés opposés sont parallèles. î

(170) Cor. La somme de deux quelconques des angles adjacents d'un parallélogramme vaut deux angles droits ; puisque (152) deux lignes parallèles PQ, SR qui rencontrent une troisième ligne PS ou QR font les angles adjacents égaux ensemble à deux angles droits.

(171) Sco. Le carré et le rectangle sont aussi des parallélogrammes (167 et 169).

(172) Déf. On donne le nom de tra- A/ iH

pèze à un quadrilatère A.C dont 'deux /

côtés seulement AB, BC sont parallèles. D ^ ' G

(173) Déf En général, on appelle diagonale et quelquefois diamètre d'une figure quelconque, la ligne qui joint deux de ses angles non adjacents. Telle est dans le parallélogramme PR la ligne SQ, et dans le polygone DE, les lignes AB, AC.

(174) Déf. Parmi les polygones, on nomme pentagone, celui de cinq côtés ; hexagone, celui de six côtés ; heptagone, celui de sept côtés ; octogone, celui de huit côtés ; ennéagone ou nonagone, neuf côtés ; décagone, dix côtés ; quindéeagone ou pentédécagone, quinze côtés ; et ainsi de suite.

(175) Déf. Uu polygone éqmlatéral est celui dont tous les côtés sont égaux ; équiangle, celui dont tous les angles sont égaux ; et regiilier, celui ABCDEF dont tous les angles A, B, C, etc., sont égaux et tous les côtés AB, BC, etc., aussi égaux.

Dans les polygones réguliers, on appelle rayon droit, la perpendiculaire OG menée du centre O du polygone à l'un quelconque AB de ses côtés ; et rayon oblique, la ligne O A menée du même point O à l'un quelconque A des angles du polygone.

Le centre d'un polygone régulier, comme on le verra plus tard, est un point également éloigné des côtés et angles du polygone.

(176) Déf. Deux polygones sont mutuellement équilatéraux lorsqu'ils ont leurs côtés égaux l'un à l'autre et placés dans le même ordre, c.-à-d., lorsque en suivant leurs périmètres dans la même direction, le premier côté de l'un est égal au premier côté de l'autre ; le second côté du premier, au second côté de l'antre : et ainsi de suite. L'expression mutuellement équiangles a une signification correspondante, eu égard aux angles. Dans les deux cas les côtés ou BJigles égaux ou correspondants sont appelés homologues.

(177) Déf. Dans tout parallélogramme AC, on désigne sous le nom de gnomon, la figure AGK composée du parallélogr. LG et de ses compléments AF, FC, ou celle AKG composée du parallélogr. EK et des compléments AF, FC.

(178) Déf On dit que les parallélogrammes EK, LG sont autour du diamètre BD ; et l'on appelle compléments, les parties AF, FC qui manquent à EK, LG, pour compléter le parallélogr. AC.

(179) Déf. La hauteur d'un triangle ABC est la ligne CD menée perpendiculairement de son sommet C à sa base AB prolongée s'il le faut.

(180) Déf. La hauteur d'un parallélogramme ABCD est la ligne KL ou BE menée perpendiculairement entre deux de ses côtés parallèles ; ou la perpendiculaire CF comprise entre un A E côté BC et l'autre côté AD prolongé.

Il est évident que dans un rectangle BEFC, le côté BE ou CF peut être considéré comme sa hauteur, tout aussi bien qu'une perpendiculaire quelconque KL menée entre deux de ses côtés parallèles.

(181) Sco. Lorsqu'on dit que la hauteur du parallélogr. AC ou BF est KL ou BE ou CF, c'est que ces longueurs sont égales ; puisque par la déf. des lignes parallèles BC, AF, la distance entre ces lignes est égale à la perpendiculaire menée d'une de ces lignes à l'autre, et que cette distance est partout égale (142).

(182) Déf. On nomme ordinairement base d'un triangle ou d'un parallélogramme, le côté sur lequel la figure est censée reposer ; mais il est évident que rien n'empêche de considérer comme base d'une tig. l'un quelconque de ses côtés.

(183) Déf. Dans un triangle quelconque ç ABC, les angles Aet B sont dits adjacents au côté AB, et le côté AB adjacent aux angles B, A. L'angle C compris par les

côtés adjacents, AC, BC, est appelé inclus ; -^^ ^B

et AC, CB sont les côtés qui le comprennent. On donne aussi quelquefois le nom de vertic^ ou angle au sommet à l'angle C opposé à la base AB.

(184) Déf. Une figure rectiligne ABCD est dite inscrite dans une autre fig. rect. EF, lorsque tous les angles ou points angulaires de la première sont situés sur les côtés de la seconde ; et réciproquement, la fig. EF est circonscrite à celle BD, si les côtés de la première passent par les angles du second.

(185) Déf. Un cercle A est une fig.

plane terminée par une ligne courbe CDEF, qu'on appelle circonférence ; et telle que toutes lignes droites OC, OE, OF menées à la circonférence, d'un certain point intérieur O, qu'on appelle centre, sont égales l'une à l'autre.

(186) Sco. Il faut se garder de confondre le mot " cercle" qui est une fig. plane, avec celui " circonférence " qui n'est qu'une ligne.

(187) Déf. Le diamètre d'un cercle est une ligne FD menée par le centre O et terminée de part et d'autre à la circonférence.

(188) Cor. Le diamètre FD est la plus grande ligne droite que l'on puisse mener dans un cercle, étant égale à la somme des distances OF, OD du centre à la circonférence ; et il partage le cercle en deux parties égales appellées demi-cercles ; car si l'on suppose que la partie FCD du cercle tourne autour de la base commune FD jusqu'à ce qu'elle vienne s'appliquer sur la partie FED, les deux courbes DGF, DEF coincideront ; si non, il y aurait des points dans l'une plus ou moins éloignés du centre: ce qui est contre la déf. du cercle, puisque les lignes OC, OE, etc., qui mesurent les distances de ces points sont égales, et que par suite tous les points de la circonférence sont également éloignés du centre.

(189) Déf. Les lignes OD, OE, etc., menées du centre à la circonférence se nomment rayons ; et par la def. du cercle, tous rayons d'un même cercle sont égaux. De plus il est clair que le diamètre est double du rayon.

(190) Déf. Uu arc de cercle est une partie quelconque FBE do la circonférence, et la droite EF qui en joint les extrémités est appelée corde. Il est clair aussi, d'après cette déf. que EF peut encore être considérée comme corde de l'arc FCE, plus grand qu'une demi-circonférence.

(191) Déf. Un segment de cercle est la surface ou partie de cercle FEB comprise entre un arc et sa corde. La partie FEC est aussi, par la déf., un segment de cercle ; le premier étant plus petit et le second plus grand qu'un demi-cercle.

(192) Déf. Un secteur DOE est la surface comprise entre l'arc DE et les rayons DO, EO menés aux extrémités de l'arc. D'après la déf., la partie EDCFO du cercle est aussi un secteur ; le premier étant plus petit et l'autre plus grand qu'un demi-cercle.

(193) Déf Une ligne droite EF est dite inscrite dans un cercle, lorsque ses extrémités sont dans la circonférence.

(194) Déf. Un angle inscrit ou un angle à la circonférence, est celui qui a son sommet à la circonférence et qui est formé par deux cordes ; tel est l'angle ABC ou BCD. Comme CBA est un segment de cercle, on pourra aussi désigner l'angle B appuyé sur la base AC de ce segment, l'angle dans le segment CBA; et l'angle D, celui dans le segment CD A.

(195) Déf. Un triangle inscrit est celui qui, comme ACB ou ACD, a ses trois sommets ou points angulaires dans la circonférence ; et en général une figiire inscrite est celle, quelconque, ABCD qui a ses angles sur la conférence ; et la circonférence est dite circonscrite à la figure.

(196. Déf. Une ligne AB qui touche un cercle sans le pénétrer ou le couper est appelée tangente ; et l'on appelle point de contact le point D où la ligne touche le cercle. Deux cercles se touchent ou sont tangents soit intérieurement en E, soit extérieurement en F, lorsqu'ils se rencontrent sans se pénétrer; E etF étant appelés comme auparavant points de contact.

(197) Déf. On nomme sécante une ligne BC située partie au dedans et partie au dehors d'un cercle.

(198) Déf Un triangle ABC, ou un autre polygone quelconque DEFGHK est dit circonscrit à un cercle, lorsque chaque côté de la fig. touche le cercle ; et réciproquement, un cercle est inscrit dans une figure rectiligne quelconque, lorsque la circonférence du cercle est tangente à chaque côté de la fig.

(199) Déf. Un angle au centre est celui B formé par deux rayons AB, BO.

On dit aussi l'angle appuyé sur l'arc AC, ou sous-tendu par la corde ou l'arc AC, que cet angle soit au centre B ou à la circonférence D. A'

(200) Déf. La distance d'une <5orde CD au centre d'un cercle, est la perpendiculaire EG menée du centre sur cette corde.

(201) Cor. Deux cordes CD, AB sont également éloignées du centre, lorsque les perpendiculaires EG, EP sont égales ; et la corde AB sur laquelle tombe la plus petite perpendiculaire EF, est moins éloignée du centre que la corde CD.

(202 j Déf. Une zone de cercle est la partie ABFD ou DGHP d'un cercle comprise entre deux cordes parallèles AB, DF ou GH, DF. On la dit centrale, AP, lorsqu'elle comprend le centre C du cercle ; et latérale, DH, lorsque les cordes qui la comprennent sont toutes deux du même côté du centre. La surface AEBL comprise entre deux arcs de cercle AEB, ALB, est appelée lunule.

(203) Déf. Il faut entendre par figures égales, celles qui sont égales en toutes choses ; ainsi, deux figures seront éo-ales si tous les angles et côtés de l'une sont égaux aux angles et côtés correspondants de l'autre ; car si l'on superposait ces figures l'une à l'autre, il est clair que les côtés et angles de l'une tomberaient sur les côtés et angles correspondants de l'autre, et que ces figures se confondraient ; c.-à-d., couvriraient ou rempliraient exactement le même espace, et seraient en conséquence égales (85 Ax).

Pour que deux cercles soient égaux, il suffit évidemment que leurs rayons soient égaux ; car, par superposition, il est clair que faisant coïncider les centres des deux cercles, leurs circonférences tomberaient l'une sur l'autre, à cause des distances égales du centre commun aux circonférences de chacun des cercles.

(204) Déf. Les figures équivalentes sont celles de même aire ou superficie; un triangle, par exemple, sera équivalent à un parallélogramme, si le contenu superficiel de l'un est égal à celui de l'autre, ou s'ils contiennent tous deux un même nombre d'unités de mesure.

De même, parmi les solides, une pyramide, par exemple, sera équivalente à un prisme ou autre solide, si le contenu cubique de l'un est égal à celui de l'autre, ou s'ils contiennent chacun un nombre égal d'unités de mesure ; ces unités de mesure étant toujours de même espèce que les quantités à mesurer ou à estimer, comme nous l'avons déjà, vu au par. (24) ; c.-à-d., superficielles, quand il s'agit de surfaces, et cubiques quand il s'agit de solides.

Remarquons ici que lorsque dans la suite il s'agira de figures équivalentes, et que dans les démonstrations ou solutions des propositions, l'on fera usage du mot égal ou du signe =^, ce sera dans le double but d'éviter le trop fréquent emploi du mot équivalent, et de tirer plus directement des axiomes les conclusions dont on aura besoin. Il est clair alors que le mot égal et le signe = ainsi employés signifieront chacun, égal en surface.

(205) Déf. Les triangles C semblables sont ceux qui ont les trois angles de l'un égaux aux trois angles de l'autre.

Ainsi le triangle aie est sembla- ^ B a h

ble à celui ABC parce qu'ils ont les angles a=A, è=B, c=C.

On appelle homologues les angles égaux A, a; B, b ; C, c et les côtés AB, ab ; AC, ae ; BC, bc opposés aux angles égaux, ou qui comprennent les angles égaux.

(206) Sco. Si deux triangles semblables sont disposés de manière à ce que leurs angles homologues soient tournés du même côté de l'espace, et qu'un côté de l'un

soit parallèle à un côté de l'autre ; les autres côtés du premier seront parallèles aux autres côtés du second.

La même chose est vraie si un côté d'uD des triangles est sur la même ligne droite que le côté correspondant de l'autre (146).

La vérité de ces énoncés résulte directement des définitions de lignes parallèles et angles correspondants; puisque tout ce qu'on pourrait supposer contraire à ce qui est énoncé dans cette sco. serait contraire à ces défs.

(207) Déf. Les figures semblales de plus de trois côtés sont celles BD, bd on FH,/Aqui sont composés d'un même nombre de triangles semblables ABC, abc ou FOG, fog situés d'une manière correspondante dans chaque figure.

Rem. L'on verra plus tard ce qu'il faut entendre par solides semblables.

(208) Sco. 1. En général, on appellera lignes homologiies toutes celles qui se correspondent dans les figures semblables. Ainsi, dans deux triangles semblables KOH, koh, les hauteurs (179) OJST, on, et bases (182) KH, kh seront regardées comme lignes homologues, tout aussi bien que les côtés de ces figures (205); et dans les figures semblables BD, bd, de plus de trois côtés, les diagonales ou diamètres correspondants AC, ac et EC, ee porteront aussi le nom d'homologues, de même que les côtés correspondants AB, ab et BC, bc, etc., de ces figures.

Dans les cercles, les lignes homologues seront évidem-

nient les diamètres, les rayons, et les cordes qui sous-tendent des angles égaux ou des arcs égaux.

Dans les polygones réguliers et semblables FH, //i, on appellera lignes homologues, les rayons droits ON, on, et obliques OK, ok ; les diamètres ISTR, nr des cercles inscrits et ceux PF, 'pf des cercles circonscrits, ainsi que les rayons de ces mêmes cercles.

(209) Sco. 2. Il est clair que deux figures semblables aune troisième sont semblables entre elles ; puisque c'est l'égalité des angles qui, d'après la déf. les rend semblables; et que (68 Ax.) deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles.

(210) Sco. 3. D'après la déf. des figures égales (203), ces figures sont toujours semblables ; tandis que les figures semblables peuvent être très inégales.

(211) Déf. Dans deux cercles différents, on appelle arcs, secteurs et segments semblables, ceux qui correspondent à des angles égaux au centre.

Par exemple, si l'angle cod=COJ), l'arc cd est semblable à l'arc CD : le secteur dco à celui DCO ; et si l'angle aob^=^ AOB, le segment eha sera semblable à celui EBA.

(212) Déf. Deux côtés d'une figure sont dites réciproquement proportionnels à deux côtés d'une autre figure lorsque un des ^ côtés de la première est à un des côtés de la seconde, comme l'autre côté de la seconde A l'autre côte de la première; c.-à-d., AC, CE sont réciproquement proportionnels à DF, FE, si AC : DF : :"EF ; BC ou si DF:BC:: AC:EF.

(213) Déf. On dit qu'une ligne droite est coupée en moyenne et extrême raison, lorsque le fout est au plus grand segment, comme le plus grand segment au plus petit.

(214) Déf. En géométrie, le produit de deux lignes veut dire la même chose que leur rectangle ; et l'on fait usage de cette expression en arithmétique et en algèbre, où elle sert à désigner le produit de deux quantités ou nombres inégaux ; le mot carré servant à désigner le produit d'une quantité multipliée par elle-même (35 et 40).

(215) Sco. Les carrés arith- i 1 i i H

raétiques de 1, 2, 3, etc., sont 1, 4, 9, etc. De même aussi il est clair que le carré AC décrit sur le double AB d'une ligne AE est égal à quatre fois le carré AF décrit sur cette ligne AE ; et que celui GH, décrit sur le triple d'une ligne, est égal à neuf fois le carré décrit sur cette ligne. Il n'est pas moins évident que le carré décrit sur la moitié d'une ligne est égal au quart du carré décrit sur cette ligne ; et celui décrit sur le tiers d'une ligne, à la neuvième partie du carré décrit sur cette ligne.

(216) Déf. Tout parallélogramme rectangulaire ou rectangle est dit contenu par deux quelconques des lignes on côtés qui comprennent l'un des angles droits. Ainsi le parallélogr. rectangulaire AC est appelé le rectangle contenu par AD, DC ou par AD, AB, etc. Pour abréger, au lieu de dire le rectangle contenu par AD et DC, on dira simplement le rectangle AD.DC, mettant un point entre les deux côtés du rectangle.