CONSEQUENCES QUI EN RESULTENT
(106) Déf. Un point n'a aucune étendue, et doit être considéré seulement sous le rapport de sa position.
(107) Déf. Une ligne n'a d'étendue que dans le sens de la longueur ; elle n'a donc ni largeur ni épaisseur. Pour s'en former une idée, sa longueur peut être considérée comme composée d'un nombre infini de points posés les uns à la suite des autres ; et l'on entendra toujours par ce mot, longueur, le nombre d'unités de mesure linéaire qui composent cette longneur (24).
Cor. Les extrémités d'une ligne sont des points ; ces derniers n'ont par conséquent ni longueur, ni largeur, ni épaisseur. Deux lignes déterminent encore un point à l'endroit de leur intersection.
(108) Déf. Une ligne droite AB A B
est celle dont tous les points sont dans la même direction ; et est aussi, évidemment, la plus courte distance entre deux points quelconques. En d'autres termes, une ligue droite indique le plus court chemin pour aller d'un point à un autre. Un fil tendu en donne une bonne idée.
(109) Cor. 1. La direction de deux points quelconques est celle de la ligne droite qui les unit. Il suffit donc de connaître deux points dans une ligne droite pour déterminer sa direction.
(110) Cor. 2. Deux lignes droites ne peuvent renfermer un espace. Elles ne peuvent pas non plus coïncider en partie sans coincider entièrement.
(111) Cor. 3, D'un point à un autre on ne peut mener qu'une seule ligne droite.
(112) Déf. UneUgne courbe CFD est telle que la direction de deux points consécutifs quelconques C,E, est diiierente de celle de deux autres points consécutifs quelconques E, F, si éloignés ou rapproches que soient ces points. On peut encore la définir, celle dont tous les points s'éloignent de x">lus en plus, mais infiniment peu à chaque instant, d'une ligne droite.
(113) Déf. Une ligne brisée est celle ABCD, composée de lignes droites; et toute ligne qui n'est pas une ligne droite, ou composée de lignes droites, est une ligne courbe.
(114) Déf. Une superficie ou surface n'a d'étendue qu'en longeur et en largeur, et n'a point d'épaisseur. Les limites d'une surface sont évidemment des lignes. Les surfaces déterminent encore des lignes à l'endroit de leurs intersections.
Quoiqu'une ligne n'ait aucune largeur (107), rien n'empêche que pour se former l'idée d'une surface, on ne la suppose composée d'un nombre infini de lignes posées les unes à côté des autres ; tout de même qu'on peut considérer une ligne comme composée de points consécutifs.
(115) Déf. Un plan ou une surface plane est celle dans laquelle, prenant deux points quelconques, la ligne droite qui les unit est entièrement dans ce plan. Le dessus ou surface d'une table peut en donner une idée.
(116) Déf. Toute surface qui n'est pas plane ou composée de surfaces planes est une surface courbe.
(117) Déf. Une figure plane est un espace renfermé de
tous côtés par des lignes droites ou courbes situées dans un même plan ; et l'ensemble des lignes limitrophes s'appelle périmètre.
(118) Déf. Le mot aire, surface ou superficie indique la quantité d'espace superficiel, ou d'unités démesure de même espèce (24) (48) contenues dans une figure, sans égard à la nature de la figure ou des lignes qui en forment le périmètre.
(119) Déf. Un corps ou solide a de l'étendue tant en longueur qu'en largeur et hauteur ou épaisseur. Quoiqu'une surface n'ait aucune épaisseur (114), rien n'empêche pour se former l'idée d'un solide, de le considérer comme composé d'un nombre infini de surfaces superposées les unes aux autres. Les limites d'un solide sont des surfaces ; de même que celles des surfaces sont des lignes ; et les extrémités des lignes, des points.
(120) Déf. Le mot solidité indique la quantité d'espace cubique, ou d'unités de mesure (24) de même espèce contenues dans un solide; sans égard à la nature de la figure, ou des surfaces qui terminent ou contiennent le solide, ou qui en forment les côtés.
(121) Déf Un angle rectiligne BAC est l'écartement de deux lignes droites AB, AC, qui se rencontrent en un point A qu'on appelle sommet de l'angle. J^ - — -^
(122) Cor. 1. La valeur ou grandeur d'un angle dépend donc du plus ou moins d'écartement des deux lignes droites qui forment cet angle ; c.-à-d., du plus ou moins d'inclinaison, l'un à l'autre, des deux côtés qui comprennent l'angle.
(123) Cor. 2. Deux angles sont égaux ou inégaux suivant que l'inclinaison des deux côtés de l'un est égale ou inégale à celle des deux côtés de l'autre ; et récijn'oquement, si deux angles sont égaux ou inégaux, l'inclinaison des deux côtés de l'un est égale ou inégale à celle des deux côtés de l'autre.
(124) Sco. La valeur ou grandeur d'iin angle ne dépend donc aucunement de la longueur de ses côtés ;
puisqu'on pourrait prolonger indéfiniment ces côtés sans altérer leur écartement; c.-à-d., sans dianger l'inclinaison relative de ces côtes.
(125) Rem. Un angle BAC, quand il est seul, peut s'énoncer par une seule lettre A placée à son sommet; mais dans le cas de deux ou plusieurs angles contig^s 711, n, il est évidemment néeespaire de désigner cliacun de ces angles par trois lettres B A D, D A C, dont l'une placée au sommet de l'angle, et les deux autres en un point quelconque des côtés qui comprennent ces angles; ayant soin toutefois en les exprimant, de placer entre les deux autres lettres celle qui est située au sommet de l'angle.
(126) Rem. En parlant d'un angle quelconque BAD, on ne considère aucunement la surface ou superficie partiellement renfermée par les côtés de l'angle; mais seulement le degré d'inclinaison des deux côtés de l'angle, l'un à l'autre.
(127) Déf. Une ligne AB est dite 5 ^ perpendiculaire à une autre ligne CD, lorsque la première rencontre la seconde sans penclier ou incliner plus d'un côté que de l'autre. Les deux angles BAC, BAD, ainsi formés, prennent le nom d'angles droits, et sont évidemment égaux l'un à l'autre (123).
(128) Cor. Comme AB, pour former avec CD des angles droits, ne doit pencher (127) ni d'un côté ni de l'autre ; et que toute autre ligne EA, BF diflêrente de celle AB, et n'ayant avec cette ligne qu'un point commun A, B, est évidemment inclinée à CD; il s'en suit que par un point donné A sur une ligne droite CD ou par un point B hors de cette ligne, on ne peut mener qu'une seule ligne BA qui soit perpendiculaire à la première.
(129) Déf. Deux angles sont appelés de même aflfeetion,
lorsqu'ils sont tous deux plus grands ou plus petits qu'un angle droit.
(130) Déf. IJn angle EBA, plus grand qu'un angle droit, est dit obtus ; et celui EBC, plus petit qu'un angle droit, est dit aigu. L'angle EBC qui manque à celui EBA, pour former deux angles droits, se nomme supplément de cet angle ; et celui EBD qui manque à EBC, pour former un angle droit, se nomme complément de ce dernier.
(131) Déf. On nomme angles de suite ou angles supplémentaires, les angles contigus EBC, EBA formés du même côté d'une ligne AC par une autre ligne EB qui rencontre la première.
(132) Cor. I. Les angles supplémentaires sont, ou deux angles droits, ou égaux, pris ensemble, à deux angles droits.
(133) Seo. I. Si la ligne qui rencontre l'autre lui est perpendiculaire comme BD, les deux angles sont droits (127) j mais si elle est oblique comme EB, il est évident e^u'un EBA, des deux angles est d'autant plus grand qu'un angle droit, que l'autre, EBC, est plus petit qu'un angle droit ; et que la somme des deux vaut deux angles droits.
(134) Cor. 2. La somme de tous les angles ABD, DBE, EBC formés autour d'un même point B et du même côté d'iuie ligne droite AC, vaut deux angles droits ; puisque cette somme est égale à celle des angles supplémentaires ABE, CBE (132).
(135) Cor. 3. Si en un point B dans une ligne droite BD deux autres lignes AB, CB, font les angles con- /^^.-^E tigus ABD, CBD droits, ou égaux À 1^^Z~"^ pris ensemble à deux angles droits ; ^ ces deux lignes AB, CB ne forment qu'une seule et jçnême ligne droite AC,
En effet, si ABC n'est pas une ligne droite, elle sera brisée comme celle ABE ou ABF, et formera avec BD deux angles ABD, EBD ou ABD, FBD qui pris ensemble seront plus petits ou plus grands que deux angles droits ; puisque dans le premier cas il manque aux angles ABD, EBD, celui EBC pour former deux augles droits, et que dans l'autre cas, la somme ABD, FBB des deux angles est plus grande que deux angles droits, de la quantité FBC ; la ligne ABC n'est donc pas brisée ; c.-à-d. qu'elle est droite.
(136) Sec. 2. On tire encore du dernier cor. comme de la troisième déf. (HO), que deux lignes droites ne peuvent coïncider en partie sans coïncider entièrement.
(137) Déf. On nomme opposés au sommet ou simplement opposés les angles ABC, DBE ou ABD, CBE, formés par deux lignes droites AE, CD, qui s'intersectent en un point B.
(138) Cor. I. Les angles opposés au sommet sont égaux, puisque les lignes droites CD, AE font que l'inclinaison de DB sur BE est la même que celle de BC sur BA (123).
(139) Cor. 2. Il suit du dernier cor. et du par. (132) que si deux lignes droites se coupent, les angles qu'elles forment au point de leur intersection valent ensemble quatre angles droits.
(140) Cor. 3. Il est clair aussi (134) que tous les angles faits par un nombre quelconque de lignes droites se rencontrant en un seul point valent ensemble quatre angles droits.
(141) Déf On doit entendre par ^J^ i'^-g
lignes parallèles, deux ou plusieurs q
lignes AB, CD, EF situées dans un J
même plan, partout à la même dis- o r
tance l'une de l'autre, et qui par conséquent étant prolongées à l'infini ne se rencontreraient jamais.
(142) Sco. I. On appelle distance entre deux parallèles AB, CD ou AB, EF, la perpendiculaire mn ou m o, menée d'une de ces lignes à l'autre.
(143) Cor. I. Si AB est parallèle à CD, la distance m n =pq par la déf., et si EF est parallèle à CD, no-=qr ; mais, si (76 Ax.) à des quantités égales on ajoute des quantités égales les sommes seront égales ; donc mo=pr ; c.-à-d. que deux lignes parallèles à une troisième sont parallèles entre elles.
(144) Sco. 2. D'ailleurs, la vérité de cette conséquence, comme de toutes celles tirées des défs. contenues dans ce traité, résulte d'une manière tellement évidente de ces défs. mêmes, qu'on peut les regarder comme autant d'axiomes.
En effet, nous définissons lignes parallèles celles qui sont partout à distances égales l'une de l'autre ; et dire que deux lio-nes parallèles à une troisième sont parallèles entre elles, n'est autre chose qu'avouer que si à des quantités égales on ajoute des quantités égales les touts sont égaux; vérité que chacun est prêt à admettre sans démonstration, et que nous avons en conséquence mise au nombre des axiomes.
(145) Cor. 2. Deux lignes qui s'intersectent ou ne sont pas parallèles l'une à l'autre ne peuvent être toutes deux parallèles à la même ligne droite.
(146) Sco. 3. Bien n'empêche de B Ç p considérer les parties AB, BD ou
AC BD d'une seule et même ligne droite AD comme autant de parallèles situées à ime distance infiniment petite l'une de l'autre ; ou ce qui revient au même, on peut considérer comme parallèles deux ou plusieurs lignes disposées de manière à former partie d'une seule et même ligne droite.
(147) Déf. Ou appelle correspondants les angles EFB, EGD, ou HFB, HGD tournés dans le même
sens, et formés par deux lignes parai- v— __,^___^____ ^ lèles AB, CD intersectées par une '^
troisième ligne EH.
(148) Cor. I. Les angles correspondants sont égaux ; car, les ligues AB, CD étant parallèles, la direction de chacune d'elles est la même par rapport à la ligne EH. En d'autres mots, EH est également inclinée sur AB et CD et fait par conséquent avec eliacune de ces lignes des angles égaux (123).
(149) Cor. 2. SiEFB est un angle droit, EGD sera aussi un angle droit ; donc toute ligne perpendiculaire à l'une de deux parallèles est aussi perpendiculaire à l'autre, et toute ligne faisant avec l'une de deux parallèles im angle quelconque fera avec l'autre parallèle un angle égal au premier.
(150) Cor. 3. Deux lignes perpendiculaires à une troisième ligne sont parallèles l'une à l'autre. Elles sont encore parallèles si elles font avec la troisième ligne des angles égaux quelconques.
(151) Cor. 4. Si LK est parallèle à EH, on aura l'angle LKD égal à son correspondant EGD (148) ; mais EGD est égal à son correspondant EFB ; donc deux angles sont égaux si leurs côtés sont parallèles et si ces angles sont tournés, soit du même côté de l'espace, comme ceux EFL, LKD, ou dans une direction opposée au sommet, comme ceux FLK, EFL ou CGH, EFL.
(152) Cor. 5. Deux angles valent ensemble deux angles droits, si leurs côtés sont parallèles l'un à l'autre et que ces angles soient adjacents, comme ceux DGF, BFG ou encore comme ceux LKG, FGK ; ce qui est clair, puisque LKD=FGK, son correspondant, et que les angles de suite LKD, LKG valent ensemble deux «angles droits (132). On donne à ces angles le nom d'intérieurs ou internes.
(153) Cor. 6. Les angles AFG, DGF formés de chaque côté de la ligne EH, par les parallèles AB, CD, et auxquels ou donne le nom d'alternes, sont égaux.
Ceci est évident, car AB et CD étant parallèles ; l'incli-
naison de la droite FG qui les rencontre est la même pour chacune d'elles.
(154) Cor. 7. Réciproquement, si une ligne EH qui coupe ou qui rencontre deux autres lignes droites, fait avec ces lignes, les angles correspondants ou alternes égaux, ou les angles internes supplémentaires ; c.-à-d. égaux pris ensemble à deux angles droits ; ces deux autres lignes seront parallèles.
Tout ceci est clair et suit immédiatement des défs. ; car si les deux lignes n'étaient pas parallèles, leur inclinaison sur la droite EH serait inégale, et les angles qui par hyp. sont égaux, seraient en même temps inégaux, ce qui est absurde ; donc, etc.
(155) Cor. 8. Par un même point F on ne peut mener qu'une seule ligne droite AB qui soit parallèle à une autre ligne CD.
(156) Déf. Les figures rectilignes sont celles qui sont terminées par des lignes droites.
(157) Déf. Les figures trilatérales ou les trilatères sont celles qui sont terminées par trois lignes droites ; on les désigne sous le nom de triangles ou trigones.
(158) Déf. Les quadrilatères sont celles qui sont terminées par quatres lignes droites ; tel est le carré ou tétragone.
(159) Déf. On donne eu général le nom de polygones aux figures rectilignes terminées par plus de quatre côtés ; tels sont le pentagone, l'hexagone, etc; mais rien n'empêche de désigner sous le même nom les triangles qui sont des polygones de trois côtés et les quadrilatères qui en ont quatre.
(160) Déf "tarmi les triangles, on nomme équilatéral, celui ABC dont les trois côtés sont égaux ; isocèle, celui DEF qui n'a que  ~C D F G K deux côtés égaux ; et scalène, celui GHK dont les trois côtés sont inégaux.
(161) Sco. Dans tout triangle la somme de deux côtés quelconques IIG, GK est plus grande que le troisième côté HK ; car (108) la ligne droite HK est la plus courte distance entre les points H, K; et toute autre distance HG+GK est évidemment plus grande que HK.
(162) Cor. Il suit de là que la différence entre deux côtés quelconques d'un triangle est moindre que le troisième côté ; car, puisque IIG+GK > HK, si de HK on retranche GK, il restera une quantité moindre que HG ; c.-à-d., HK-GK < HG, ou HK— HG < GK.
(163) Déf. Considérant les B triangles par rapport à leurs angles ; on appelle rectangle, celui AOB qui a un angle
