LIVRE m

DEFINITIONS et CONSEQUENCES.

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(939) Déf. On nomme polyèdre solide ou simplement polyèdre, tout corps (119) terminé par des plans ou surfaces planes ; ces derniers étant évidemment (877) terminés à leur tour par des lignes droites qui sont les côtés ou arêtes du polyèdre.

(940) Déf. Le prisme AI est un solide borné par plusieurs parallélogrammes AG, BH, etc. terminés à chaque extrémité par des polygones égaux et parallèles AD, FI, qu'on nomme bases du prisme. L'ensemble des parallélogrammes composants constitue la surface latérale ou convexe du prisme. A la commune intersection AF, ou BG, etc. de deux faces adjacentes AK, AG- ou AG, BH, etc., du prisme, on donne le nom de côté!

(941) Sco. 1. Pour construire le prisme ; soit AD un polygone quelconque ; on mènera clans un plan FI parallèle à celui AD de la base, les droites FG, GH, etc., respectivement parallèles et égales à AB, BC, etc. ; ce qui donnera (151 et 203) le polygone FI en tout égal au pol. AD ; car, (918) les angles correspondants FGH, ABC, GHI, BGD, etc., sont égaux et les côtés AB, FG, BC, GH, etc. le sont par constr. Maintenant, on joindra par des droites AF, BG, etc., les sommets homologues ou angles correspondants A, F, B, G, etc., des deux polygones, formant ainsi (démonstr. du par. 918) les parallélogrammes AG, BH, etc. et par suite (940) le prisme AI : ce qui prouve l'exactitude de la déf. de ce solide.

(942) Sco. 2. On peut encore concevoir le prisme formé par le mouvement d'un plan AD parallèlement à lui-même le long d'une ligne BG, ou CH, etc.

(943) Cor. 1, Il suit directement de ce qui précède que dans un prisme, toute section parallèle à la base est en même temps égale à la base.

(944) Cor. 2. Dans tout prisme AI, les sections ad, f i formées par des plans parallèles, sont des polygones égaux; car il est clair que le solide ai est lui-même un prisme et les sections a d, fi, bases de ce prisme, sont égales par la déf.

2° D'ailleurs, on a (912) /^ et les autres côtés du pol./z parallèles à ab et aux côtés correspondants du pol. «(/et fg=a b, g h=b c, etc. (parallèles entre parallèles). Les côtés correspondants des pois, a d, fi, sont donc en même temps parallèles et égaux, et les angles correspondants de ces polygones en conséquence (918) égaux et par suite, les polygones eux-mêmes égaux.

3° De plus, les faces ag, b h, etc. du sol. a i sont, par la dém., des parallélogrammes, et les bases étant par le cor., des polygones égaux et par hyp., parallèles entre eux, le sol. ai est un prisme.

SOLIDES. DÉFS., ETC. 355

(945) Déf. La hauteur du prisme AI est la distance entre ses deux bases, ou (889) la perpendiculaire IP menée d'un point quelconque I de la base supérieure au plan (prolongé s'il le faut) AD de la base inférieure.

(946) Déf. Un prisme AI est droit quand un AF de ses côtés et par conséquent (940 et 908) tous les autres BG, CH, etc., sont perpendiculaires au plan générateur ou (914) aux plans des bases, et dans ce cas chacun de ces côtés est égal à la hauteur du prisme et chacune de ses faces est un rectangle. Dans tout autre cas, le prisme est oblique, et la hauteur IP moindre que le côté ID ou HC, etc.

(947) Déf. Un prisme est triangulaire, quadrangulaire, pentagonale, hexagonale, etc., suivant que sa base ou le plan générateur est un triangle, quadrilatère, pentagone, hexagone, etc.

(948) Déf. On nomme parallélipipède A ^ (pour abréger on écrira parallépipède) un />----/ -^F prisme AD dont la base AF est un parai- -g lélogramme et dont toutes les faces sont par conséquent (940) des parallélogram- A C

mes. Le parallépipède est dit rectangulaire quand toutes ses faces sont des rectangles ; et les faces ou les plans composants du parallépipède rectangulaire sont tous perpendiculaires entre eux ; car AE étant, à cause des rectangles EC, EB, perpendiculaire à chacune des deux lignes AB, AC, est (895) perpendiculaire au plan AF de ces lignes ; d'où il suit (924) que les plans EB, EC passant par cette perpendiculaire AE sont eux-mêmes perpendiculaires au plan AF ; et on démontrerait de même la perpendicularité de tous les autres plans entre eux.

(949) Déf Parmi les parallépipèdes rectangulaires, on distingue le cube ou hexaèdre régulier, terminé par six •carrés ésraux.

(950) Déf. Le cylindre AK est un solide qu'on peut concevoir engendré par le mouvement d'un cercle ACE parallèlement à lui-même le long d'une ligne AF ou BG, etc. perpendiculaire au plan de la base.

(951) Seo. 1. Le cylindre n'est donc autre chose qu'un prisme droit aj'unt pour base ou pour plan générateur un polygone régulier ABCD etc. d'un nombre indéfini de côtés, c.-à-d. (430 et 665) un cercle ; pour surface latérale ou convexe un nombre de parallélogrammes AG, BH, etc. égal à celui des côtés du polygone et par conséquent (665) d'une largeur AB, BC, etc. indéfiniment petite, et pour hauteur une droite AF, BG, OP, etc. menée perpendiculairement d'un point quelconque d'une de ses bases au plan de l'autre base.

(952) Seo. 2. On peut encore concevoir le cylindre formé par la révolution d'un rectangle BPOG autour de la ligne immobile OP qu'on appelle axe du cylindre. Dans ce mouvement, les côtés PB, OG demeurant toujours perpendiculaires à OP, décrivent les cercles égaux ou bases ACE, FHL, le côté BG décrivant eu mênie temps la surfiice convexe du cylindre.

(953) Cor. Toute section ac e du. cylindre par un plan perpendiculaire à l'axe ou (915) parallèle à la base est (943) un cercle, et toute section AFKD par un plan passant par l'axe du cylindre, est un rectangle AK double du rectangle générateur AO ou BO.

(954) Seo. 3. Les côtés ou arêtes AF, BG, etc. du prisme droit étant perpendiculaires au plan de la base, sont évidemment compris dans la surface convexe du cylindre ; de là, le prisme et le cylindre se touchent le long de ces" côtés et le prisme est dit inscrit au cylindre ou le cylindre circonscrit au prisme.

SOLIDES. DÉFS., ETC. 357

De même, si les polygones servant de bases au prisme étaient circonscrits aux cercles servant de bases an cylindre, et les angles correspondants reliés par des droites, il est clair qu'on aurait un prisme circon,>crit au cylindre ou un cylindre inscrit dans le prisme.

(955) Déf. La pyramide ABCDE-S est un solide formé par plusieurs plans triangulaires procédant d'un raême point S qui en est le sommet et terminés par les côtés d'un même polygone AD qui en est la base ; l'ensemble des plans triangulaires composants étant ce qui constitue la surface latérale ou convexe de la pyramide.

(956) Déf. Si de la pyramide AD-S B C on retranche la pyramide ad-8 par un plan a d parallèle au plan AD de la base, on donne au solide qui reste KD-d le nom de pyramide tronquée ou tronc de pyramide.

(957) Déf. La hauteur d'une pyramide est la perpendiculaire SP abaissée du sommet S sur le plan AD de la base, prolongé s'il le faut.

(958) Déf L"ne pyramide, comme un prisme, est triangulaire, quadrangulaire, etc., suivant que sa base est un triangle, un quadrilatère, etc.

(959) Déf Une pyramide est régulière quand sa base est un polygone régulier et qu'en même temps la perpendiculaire tombant du sommet sur le plan de la base, passe par le centre (175) de la base. Cette perpendiculaire est appelée axe de la pyramide.

(960) Déf. La droite SF menée du sommet S d'une pyramide régulière, perpendiculaire à l'un quelconque AD des côtés du polygone AD qui en constitue la base, est l'apothème ou la hauteur inclinée de la pyramide.

(961) Déf. Le cône ACE-S n'est antre chose qu'une pyramide régulière ABCDE-S ayant pour iDase un cercle ACE ou (430 et 655) un polygone régulier ABCDE etc. d'un nombre indéfini de côtés et ces côtés en conséquence indéfiniment petits.

(962) Sco. 1. Quand le côté, l'arc ou l'unité (430) AB du périmètre de la base est indéfiniment petit, le rayon droit (175) FP du pol. devient égal (667) au rayon oblique (555, 2°) AP, et il est clair que la hauteur inclinée SF de la pyramide devient en même temps la hauteur inclinée ou apothème SA du cône, dont ou peut en conséquence regarder la surface latérale ou convexe comme composée d'un nombre de triangles égal à celui des côtés du polygone qui lui sert de base et ayant chacun pour hauteur la hauteur inclinée SA ou le côté du cône et pour bases les côtés indéfiniment petits du polygone.

(963) Sco. 2. On peut encore concevoir le cône engendré par la révolution d'un triangle rectangle APS autour du côté immobile SP qu'on nomme axe du cône. Dans ce mouvement, le côté AP décrit le cercle ACE, base du cône, et l'hypoténuse AS en décrit la surfiice latérale.

(964) Déf. Comme pour la pyramide, S est le sommet du cône et la perpendiculaire SP eu est la hauteur.

(965) Déf. Si dn cône ACE-S on retranche le cône a c es par un plan b e parallèle à celui BE de la base, on donne au solide BE-eè qui reste le nom de cône tronqué ou tronc du cône.

(966) Sco. On peut le concevoir engendré par la révolution d'un trapèze rectangulaire AP ;?« autour de l'axe Pp qui est en même temps la hauteur du tronc ; les cercles ACE, ace étant ses bases et A a ou (962) SA— S«, son côté ou sa hauteur inclinée.

SOLIDES. DÉFS., ETC. 359

(967) Cor. Il suit de ces définitions que toute section d'un cône ou d'un cône tronqué par un plan b c perpendiculaire à l'axe, c.-à-d. (915) parallèle à la base ou aux bases, est un cercle, car, pendant que le triangle rectangle APS tourne autour de PS, la ligne a-p perpendiculaire à PS, décrit un cercle, et ce cercle n'est autre chose que la section faite par un plan b e perpendiculaire à l'axe au point p. Toute section passant par l'axe PS ou P p, est un triangle isocèle ASD double du triangle générateur APS ou un trapèze AD cl a double du trapèze décrivant AP j) a.

(968) Sco. Il est clair, comme pour le prisme et cylindre (954) que les côtés AS, BS, etc. de la pyramide sont dans la surface latérale du cône, la pyramide étant inscrite dans le cône, ou le cône inscrit àla pyramide ; et si le polygone servant de base à la pyramide était circonscrit au cercle servant de base au cône, la pyramide serait circonscrite au cône ou le cône inscrit dans la pyramide.

2° De même, pour le tronc de cône, les côtés Aa, B 6 du tronc de pyramide sont dans la surface latérale du premier et le tronc de pyramide peut être regardé comme inscrit au tronc de cône ou le tronc de cône circonscrit au tronc de pyramide, et si les bases polygones du tronc de pyramide étaient circonscrites aux cercles servant de bases au tronc de cône, on aurait un tronc de pyramide circonscrit au tronc de cône ou tronc de cône inscrit au tronc de pyramide. Il est donc clair que le tronc de cône n'est autre chose qu'un tronc de pyram.ide régulière ayant pour bases parallèles des cercles (967).

(969) Déf. Deux cylindres ou deux cônes sont dits semblables, quand leurs axes sont entre eux comme les diamètres de leurs bases.

(970) Déf. Deux prismes droits ou pyramides régulières sont semblables quand leurs bases sont des polygones semblables et leurs hauteurs respectivement proportionelles aux côtés homologues de ces bases.

GÉOMÉTEIE

(971) Déf. Deux prismes ou pyramides quelconques sont sem.blables quand leurs bases sont des polygones semblables, leurs hauteurs proportionnelles aux côtés homologues des bases et les inclinaisons des divers plans composants égales dans chaque ligure ; ou, en général :

(972) Déf. Deux polyèdres sont semblables lorsqu'il sont contenus par un même nombre de plans semblables, disposés de la même manière et ayant en conséquence entre eux (PROP. XIII, LIVRE II.) des inclinaisons égales, à cause des angles plans correspondants des faces ou plans semblables de ces polyèdres.

(973) Déf. La diagonale d'un polyèdre est une droite reliant les sommets de deux angles solides non adjacents.

(974) Déf. La sphère est un solide terminé par une surface courbe dont tous les points sont également éloignés d'un point intérieur appelé centre.

On peut la concevoir engendrée par la révolution d'un demi-cercle DAM autour de son diamètre DM ; car la su rface décrite dans ce mouvement par la courbe DAM aura tous ses points H, F, etc. également éloignés du centre C.

(975) Déf Le solide décrit dans le même mouvement par le secteur (192) DCF ou FCH, etc. est appelé secteur sphérique. Celui que décrit le demi-segment (191) FOD ou AND et la demi-zone (202) ANOF est la calotte sphérique FDG, ADK et le segment sphérique AG, et la surface décrite par la circonférence AF, AD ou FD est la zone sphérique AG, ADK ou FDG.

SOLIDES. — DÉFS., ETC. 361

(976) Déf. Le rayon d'une sphère est une droite CD, CF, etc. menée du centre à un point quelconque D, F, de -la surface ; le diamètre ou axe DM est une ligne passant par le centre et terminée de part et d'autre par la surface.

Tous les rayons d'une sphère sont égaux, et tous les diamètres égaux, étant chacun double du rayon.

(977) Déf. Un plan RS est tangent à une sphère quand leurs surfaces respectives n'ont qu'un seul point commun D ; ce qui a lieu quand le plan est perpendiculaire à un rayon CD de la sphère à l'extrémité D de ce rayon, car (882) CD perpendiculaire au plan liS est perpendiculaire à toute ligne DB qu'il rencontre dans ce plan et tout autre point B du plan touchant, RS, donne CB, hypoténuse du triangle rectangle CDB,>CD, côté de ce dernier ; et par conséquent >CI et hors de la sphère.

Il est de même évident (476. 2) que deux sphères n'ont qu'un point commun et par conséquent se touchent, quand la distance entre leurs centres est égale à la somme ou différence de leurs rayons.

(978) Sco. 1. Le segment sphérique (975) est donc une partie de la sphère solide comprise entre deux plans parallèles et, de même, la zone (975) sphérique est une partie de la surface de la sphère comprise entre deux plans parallèles ; car les demi-cordes génératrices FO, AN sont (410) perpendiculaires au diamètre ou à l'axe DM, et par suite (882) les plans FPE, AQL sont perpendiculaires à ce même diamètre et en conséquence (915) parallèles l'un à l'autre.

(979) Sco. 2. Les plans parallèles qui terminent les segment et zone qu'on vient de définir en sont les bases et quand la corde génératrice FO devient la tangente BD, et le plan PE, le plan RS, le segment et la zone n'ont dans ce cas qu'une seule hase.

(980) Déf. La hauteur d'une zone ou d'un segment est la distance (889) entre les deux plans parallèles qui en forment les bases.

(981) Cor. 1. Il suit du mouvement générateur (974) d'une -sphère que toute section d'une sphère par un plan est un cercle ; car, il est clair qu'on peut supposer l'axe DM dans une direction quelconque dans la sphère et la demi-corde génératrice FO ou AN en un point quelconque de cet axe ; or la demi-corde perpendiculaire à l'axe dans toute sa révolution autour de ce dernier, engendre un plan (882) FPE, AQL et le point F, A, extrémité du rayon FO, AN", décrit dans ce plan la circonférence FPE, AQL.

(982) D'ailleurs, soit PE une section faite par un plan dans une sphère dont C est le centre. Du point C ayant mené (902) CO perpendiculaire à ce plan et les rayons CP, CE, CF, etc. à divers points de la courbe qui termine cette section ; les lignes obliques CP, CE, etc. sont égales, étant rayons de la sphère ; elles sont donc (902) également éloignées de la perpendiculaire CO ; donc les droites OP, OE, O etc., sont égales et la section PE est un cercle dont le centre est 0.

(983) Cor. 2. Un grand cercle est une section qui passe par le centre de la sphère et son rayon étant égal à celui de la sphère, il suit que tous les grands cercles sont égaux.

(984) Cor. 3. Deux grands cercles se bissecteut toujours mutuellement, car leur commune intersection passe par le centre et est en conséquence (976) un diamètre.

(985) Cor. 4. Il est clair que tout grand cercle divise la sphère et sa surface en deux parties égales ; car si on

séparait les deux hémisphères pour les placer ensuite sur la base commune avec leurs convexités tournées dans le même sens, les deux surfaces coïncideraient entièrement, nul point de l'une étant plus près du centre qu'un point quelconque de l'autre.

(986) Cor. 5. Un petit cercle de la sphère est une section qui ne passe pas par le centre ; et il suit de la démonstration du par. (981) ou (982) que le centre d'un petit cercle et

SOLIDES. — DÉFS., ETC. 363

celui de la sphère sont dans une même ligne perpendiculaire au plan du petit cercle.

(987) Cor. 6. Les petits cercles sont d'autant plus petits qu'ils sont plus éloignés du centre de la sphère ; car, plus CO est grand, plus la corde FG, diamètre du petit cercle FPE, est petite (461).

(988) Cor. 7. On peut toujours faire passer un arc de grand cercle par deux points quelconques de la surface de la sphère ; car ces deux points, avec le centre de la sphère, fout trois points qui déterminent (892) la position d'un plan ; mais si les deux points donnés étaient à l'extrémité d'un diamètre, ces deux points et le centre seraient alors dans une seule et même ligne droite, et cette ligne pourrait servir de commune intersection à un nombre indé- Uni de grands cercles.

(989) Déf. La lune sphérique DAMBD est cette partie de la surface d'une sphère qui est comprise entre deux demi-grands cercles se rencontrant en un diamètre commua et sert de base à

(990) Déf L'onglet sphérique DAMBD

qui est cette partie de la sphère solide comprise entre les mêmes demi-grands cercles.

(991) Rem. Le cylindre, le cône et la 3(f~" — sphère sont les trois corps ronds dont traitent les éléments de la géométrie.

PROPOSITION I. THÉORÈME

(992) La surface convexe ou latérale AG-fBH + etc. (940) d'un prisme droit AI est égale au périmètre AB-f BC-fetc. de sa base AD ou FI multiplié par sa hauteur

AF; c.-à-d. qu'on aura la surface du prisme=(AB+BC + CD+etc)XAF.

Car, les hauteurs AF, BG, etc. des faces composantes sont toutes égales à la hauteur AF du prisme et toutes ces faces sont (946) des rectangles ; d'où il suit que ABx AF+BCxBG+CDxCH +etc=(AB+BC+CD+etc)XAF. Ajoutant à cette surface latérale, la double surface de la base AD, on aura la surface totale du prisme.

Rem. 11 est a peine nécessaire de dire que la surface du cube (949) est sextuple de celle d'une de ses faces.

(993) Cor. 1. On a vu que (951) le cylindre n'est autre chose qu'un prisme droit ayant pour base un polygone d'un nombre indéfini de côtés, c.-à-d. (665) un cercle ; donc, la surface latérale d'un cylindre est égale au périmètre ou à la circonférence de sa base multipliée par sa hauteur ; et si à cette surface on ajoute celles de ses bases parallèles, on aura la surface totale du cylindre.

(994) Cor. 2. Si deux prismes droits ou deux cylindres ont même hauteur, leurs surfaces convexes seront entre elles comme les périmètres ou circonférences de leurs bases, et réciproquement si les périmètres ou circonférences des bases sont égales, les surfaces seront entre elles comme les hauteurs.

(995) Cor. 3. Les surfaces latérales de deux prismes droits quelconques ou de deux cylindres, sont entre elles comme les périmètres de leurs bases multipliés par leurs hauteurs respectives, c.-à-d. comme les produits de ces périmètres et hauteurs.

(996) Sco. 1. La surface latérale d'un prisme quelconque Al est égale au produit de son côté AF par le périmètre d'une section LMNKS faite par un plan LR

PEOPS., ETC

perpendiculaire à l'un des, et par conséquent (908) à tous les côtés àxi prisme.

Car, LM, ligne dans le plan LR, est perpendiculaire (882) à AF et égale par conséquent (180) à la hauteur ou largeur du parallélogramme AG ; ou a de même MIST perpendiculaire à BG, hauteur du parallélogramme BH, NR largeur du parai lélogr. CI et ainsi de suite, et puisque AF=BG=CH=etc., il est clair que la surface latérale du prisme=(LM+M:N'+iS'R+etc.) X AF.

(997) Sco. 2. S'il s'agissait d'un cylindre oblique, c.-à-d. d'une partie de cylindre comprise entre deux plans parallèles AD, FI non perpendiculaires à l'axe OP, il est clair que comme dans le cas du prisme oblique (996) on en obtiendrait la surface latérale en multipliant la longueur de son côté AF ou sa hauteur inclinée par le périmètre ou la circonférence d'une section LR perpendiculaire au côte ou à l'axe, cette section étant par la déf. (950) du cylindre, un cercle.

Rem. La méthode du par. (437) servira à trouver au besoin les surfaces AD, FI, des bases parallèles.

(998) Sco. 3. Et si la section LR n'était pas un cercle ; c.-à-d., si le solide AI ne formait pas partie d'un cylindre régulier, mais avait au contraire pour bases parallèles des figures curvilignes ou mixtilignes semblables quelconques et pour coupe perpendiculaire LR une figure analogue à celles des bases ; il est évident qu'on en obtiendrait tout de môme la surface latérale en faisant le produit de son côté AF par

le périmètre de la section LTÎ faite par un plan perpendiculaire à ce côté, le solide dont il s'agit n'étant autre chose qu'un prisme.

On aurait encore la surface totale du solide en ajoutant à sa surface latérale, la double surface d'une de ses bases que l'on obtiendrait par le procédé du par. (437).

(999) Cor. 4. Les surfaces latérales de deux prismes quelconques ou de deux cylindres obliques quelconques soit réguliers (997) ou irréguliers (998) sont entre elles comme les produits des côtés ou hauteurs inclinées de ces solides par les périmètres des sections faites dans ces corps par des plans perpendiculaires aux dits côtés.

PROP. II. THÉOR.

(1000) Si les trois plans hf, h h, ad qui constituent un des angles solides b d'un prisme a i sont respectivement égaux aux trois, BF, BH, AD qui forment l'angle solide B d'un autre prisme AI, et sont situés d'une manière correspondante dans chaque figure ; les deux prismes seront égaux l'un à l'autre.

Car, ayant superposé la base ad à son égale AD, ces deux bases coïncideront ; mais les trois angles plans abg, cbg, abc qui forment l'angle solide b sont égaux aux trois ABG-, CBG, ABC qui forment l'angle solide B, et ils sont disposés de la même manière ; donc (935) les ano-les solides è et B sont égaux; donc le côté bg tombera sur son égal BG. Il est de plus évident, à cause des

SOLIDES. — PROPS., ETC. 367

parallélogrammes égaux bf, BF, h h, BH, que le côté gf tombera sur GF et g h sur GH; donc (893) le plan fi de la base supérieure coïncidera avec le plan FI de la base inférieure. Maintenant les deux bases supérieures étant, par la déf. du prisme, égales à leurs bases inférieures, sont égales entre elles ; donc hi coïncidera avec HI, ik avec IK, etc. ; donc les faces latérales des deux prismes coïncideront, et les deux prismes coïncideront en entier et seront en couséquence (85 Ax.) égaux.

(1001) Cor. 1. Si les trois plans a b g, cb g, ad qui constituent un des angles solides 6 d'une pyramide abcdc-q sont respectivement égaux aux trois ABG, CBG, AD qui contiennent l'angle solide B d'une autre pyramide ABCDE-G, et sont situés d'une mianière correspondante dans chaque figure ; les deux pyramides seront égales l'une à l'autre.

Car, par la démonstr. du théor., on aura l'angle solide è=B et comme le sommet g tombera en G, les deux pyramides coïncideront entièrement et seront (85 Ax.) égales.

(1002) Cor. 2. Deux prismes droits ayant leurs bases et hauteurs respectivement égales, sont égaux. Car, le côté ab étant=AB et la hauteur 6^=BG, le rectangle hf 8era=BF ; de même, on aura le rectangle b A=BH ; et de cette manière les trois plans qui forment l'angle solide b seront égaux aux trois qui forment l'angle solide B. De là, les deux prismes sont égaux.

PROP. III. THÉOR.

(1003) Les faces opposées AH, BG de tout parallépipède AG sont égales et parallèles.

Par la déf. de ce solide (948), les bases BD, FH sont des parallélogrammes égaux et les côtés en sont parallèles. Il reste donc à démontrer qu'il en est ainsi des faces latérales opposées AH, BG et AF, BG. Or, AB étant égal et parallèle à BC et AE à BF, ou a (918) l'angle CBF B C

éo-al à l'angle BAE et le plan CF parallèle au plan BE ; donc le parallélogramme BG est égal et parallèle au parallélogr. AH ; et on démontrerait tout de même l'égalité et le parallélisme des faces opposées AF, BG.

(1004) Sco. 1. Puisque le parallépipède est un solide borné par six plans, dont ceux qui sont opposés entre eux sont éo-aux et parallèles, il suit qu'on peut prendre pour bases du parallépipède, l'une quelconque de ses faces avec celle qui lui est opposée.

(1005) Cor. Les diagonales d'un parallépipède se bissectent mutuellement. Car, soient menées les diagonales AG EC reliant les sommets opposés A, G, E, C. Puisque AE est égale et parallèle (911) à CG, la figure AEGC est un parallélogramme ; donc les diagonales AG, EC se bissectent (283) mutuellement. On démontrerait ainsi que les diao:onales EC, BF se bissectent ; donc les quatre diagonales se bissectent mutuellement en un même point qu'on peut regarder comme centre du parallépipède.

(1006) Sco. 2. L'intersection O des diagonales est évidemment le sommet de six pyramides ayant pour bases les six faces du parallépipède et si le parallépipède était un cube il est clair (311) que ses quatre diagonales seraient égales, et les six pyramides seraient égales et régulières, ayant pour bases des carrés égaux et pour côtés on arêtes les demi-

SOLIDES. — PROPS., ETC

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diagonales égales (1005) du solide ; car, soit ABCD-S une de ces pyramides, les plans composants ABS, CBS, ABCD d'un des angles solides B de cette pyramide sont égau«: aux plans composants homologues de l'angle solide correspondant de toutes les autres, les bases étant toutes des carrés égaux, comme il a été dit, et les faces latérales des triangles isocèles égaux, à cause de AB=BC et de AS=BS=CS. De plus, ayant mené SP perpendiculaire au plan de la base, le pied P de la perpendiculaire sera (Dém. de 901) à cause de AS==BS=etc, également éloigné des points angulaires A, B,

C, D du pol. rég. ABCD et la pyramide sera eu conséquence régulière par la déf. (959) et aura pour hauteur la demihauteur SP du cube.

(1007) Sco. 3. Si on a trois lignes droites AB, AE, AD, passant par un même point A, et faisant l'une avec l'autre des angles donnés, on peut former sur ces lignes un parallépipède. A cet effet, ou mènera par l'extrémité de chaque ligne un plan parallèle au plan des deux autres lignes ; savoir : par le point B, un plan parallèle à DAE, par le poiut

D, un plan parallèle à BAE et par le point E, un plan parallèle à BAD. Les intersections mutuelles de ces plans formeront le parallépipède demandé.

PROP. IV. THÉOR.

(1008) Tout parallépipède AG est réduisible, c.-à-d. équivalent ou égal en solidité à un parallépipède rectangulaire de même hauteur et de base équivalente.

Tous les plans composants d'un parallépipède rectangulaire étant (948) perpendiculaires entre eux, il est à démontrer que le parallépipède oblique est réduisible à un parallépipède rectangulaire de même base et de hauteur équivalente.

A cet eiFet, ayant mené par les droites parallèles AB, DC les plans A/, D^ perpendiculaires au plan AC de la base et en conséquence évidemment parallèles entre eux, le nouveau solide kg sera (944 3°) un parallépipède et on aura (912 ou 948) e/, h g respectivement parallèles à AB, DC et par conséquent (911) parallèles à EF, HG ; on aura de même (912) A e parallèle et égale à D A et comme AE est aussi parallèle et égale à DH, les deux triangles EAe, HD h seront (151 et 237) égaux, et donneront E e^H /i; les parallélogrammes E/, H^ seront donc égaux, et comme les parallélogrs. EB, HC sont aussi égaux (1003) et les triangles EAe, Hi) h égaux, les deux prismes triangulaires EB/, HC<7 seront (1000) égaux et les parallépipèdes AG-, A g en conséquence égaux l'un à l'autre; les faces composantes A/, D^ étant en même temps, perpendiculaires, par constr. au plan AC de la base.

Maintenant, Si les autres faces du parallépipède A^ étaient toutes perpendiculaires entre elles, le parallépipède serait rectangulaire ; mais si elles ne l'étaient pas, on procéderait comme on vient de le faire, à la réduction du parallépipède A^ en un parallépipède équivalent a g, en lui retranchant d'un côté le prisme triangulaire Ade pour lui ajouter de l'autre le prisme triangulaire égal Bc/.

SOLIDES. —PROPS., ETC.

Enfin si les bases parallèles ac, eg n'étaient pas des rectangles ou ce qui (948) revient au même, si les deux dernières faces a/, dg n'étaient pas perpendiculaires aux faces parallèles a h, b g, on réduirait encore le solide a g en un parallépipède équivalent a G, en lui retranchant d'un côté le prisme triangulaire rfc G pour le remplacer du côté opposé par le prisme triangulaire égal « 6 F ; ce qui se ferait en menant par les droites a e, d h les plans aF, dG perpendiculaires au plan ah ou b g.

(1009) Autrement. On peut encore concevoir le parallépipède oblique AB réduit en un paralépipède rectangulaire, en se rappelant ce qui a été dit au par. (119) ; c.-à-d., en le supposant composé d'une série de surfaces ou de tranches infiniment minces superposées les unes aux autres et en faisant glisser (*) ces tranches l'une sur l'autre parallèlement à elles-mêmes jusqu'à ce qu'elles rencontrent une droite OP perpendiculaire

(*) L'étudiant se fera une excellente idée de ce mouvement de tranches minces l'une sur l'autre en considérant les feuilles superposées d'un livre ouvert AB que l'action de fermer le livre fera glisser sur elles-mêmes jusqu'à ce que Jila face oblique AB devienne la face perpendiculaire AC.

au plan AE ou PE de la base. Il est clair que de cette manière le parallépipède oblique AB deviendra le parallépipède droit AC, et si les bases parallèles PD, OF de ce dernier n'étaient pas des rectangles, on répéterait l'opération en prenant pour base une des faces rectangulaires AO ou AF du solide et en supposant encore le sol. composé detrancbes parallèles à cette base.

(1010) Cor, Deux parallépipèdes ayant une base commune ou des bases égales ou équivalentes situées dans Tin même plan et leurs bases opposées (parallèles) aussi situées dans un inême plan, c'est-à-dire, (888) ayant même hauteur, sont équivalents.

PROP. V. THÉOR.

(lOllj Tout prisme tringulaire ABC-EFG est moitié d'un parallépipède correspondant BH, c.-à-d. d'un parallépipède décrit avec le même angle solide B et les mêmes côtés BA, BC, BF (1007).

Les côtés AE, CG tous deux parallèles (948) à DH, sont en conséquence (911) parallèles entre eux et le plan EC de ces parallèles divise le parallépipède BH en deux prismes triangulaires équivalents ACF, ACH ; car AC, EG, diagonales des parallélogrammes BD, FH, partagent (270 et B 0 281) ces bases égales (1003) en triangles égaux ABC, ACD, EGF, EGH ; de plus, les faces opposées BG, AH sont égales et les faces AF, DG aussi égales ; donc les plans qui contiennent les angles solides B, H des deux prismes sont respectivement égaux, et les angles plans correspondants de ces angles solides sont en conséquence égaux, savoir : ABC à GHE, ABF à GHD et CBF à EHD; mais les plans composants

Vy

^^Vr*

7 iiu

/ANs^

SOLIDES. — PROPS., ETC.

des deux angles solides sont situés dans un ordre inverse dans les deux prismes et ces angles ne peuvent en conséquence être superposés l'un à l'autre, mais n'en sont pas moins égaux par symétrie (936) ; on prouverait de même l'égalité des angles solides D, F ainsi que de ceux en C, E, et en A, G ; les deux solides sont donc sous tous* les rapports symétriques et équivalents l'un à l'autre, et par conséquent équivalents chacun à la moitié du parallépipède correspondant BH,

(1012) D'ailleurs, regardant le parallépipède comme composé de tranches infiniment minces ou (119) de surfaces superposées ; il est clair que le plan coupant AG intersectera chacune de ces surfaces BD, bd, FH, etc. dans sa diagonale respective AC, ac, EG, etc., partageant ainsi toutes les surfaces ou tranches composantes en deux parties égales ABC, ADC, abc, a de, EFG, EHG, etc. et par suite le parallépipède lui-même aussi en deux parties égales.

(1013) Autrement encore, ayant fait passer par les sommets B, F, les plans ac, eg perpendiculaires au côté BF et par conséquent (915) parallèles entre eux, le solide B h sera (944. 3°) un parallépipède droit (946) équivalent à BH ; car on aura (-912) a B, ad respectivement parallèles et égales à eF, eh, ce qui donnera a e=BF= AE et par conséquent rt A=e E ; on aura aussi c?A=BF=DH et par suite dJ)=hllQt comme AD=EH et ad=eh, les plans composants a BA, ABD, A d, e FE, EFH, E h des angles solides correspondants A, E des deux pyramides A d-B, E A-F seront respectivement égaux et disposés dans le même ordre ; ces pyramides seront donc (1001) égales et le demi-parallépipède Bc^e=BDE; on prouverait de même

■ l'égalité (de volume) des demi-parallépipèdes B^^^, BDG;

mais les derai-prirallépipèdes droits B d e, B d g mnt égaux (1002) leurs bases Bda,Bdc étant égales (270) et leurs hauteurs aussi égales ; donc (68 Ax.) les deux prismes triangulaires composants du parallépipède BH soit égaux.

PROP. VI. THÉOR.

fit'