TT/ZZ

(1014) La solidité (120) ou le volume d'un parallépipède rectangulaire AF est égale au produit de sa base DE par sa hauteur AC.

Pour comprendre la nature de ce mesurement, il est nécessaire de se rappeler (333) que le nombre d'unités linéaires Ce dans une dimension CE de la base, multiplié par le nombre d'unités linéaires C d dans l'autre dimension CD de la base, donnera le nombre d'unités de surface dans la base DE du parallépipède. Pour chaque unité en hauteur C a, il est clair qu'il y aura autant d'unités solides ou cubiques (24) d h que d'unités de surface dans la base; d'où il suit que le nombre d'unités superficielles dans la base multiplié par le nombre d'unités linéaires dans la hauteur, donne le nombre d'unités de volume dans le parallépipède.

2° En d'autres termes, la solidité du parallépipède rectangulaire est égale au produit continu (41) de ses trois dimensions EC, DC, AC.

(1015) Sco. 1. Cette mesure du parallépipède n'est absolue qu'autant que l'on suppose à l'unité de mesure c^ è ou à sa racine (40) ah certaine valeur définie comme celle d'un mètre, pied, pouce, ligne, etc. (334) ; dans ce cas l'unité de volume d h vaudra un mètre, pied, pouce, ligne, etc. cubique

SOLIDES.— PROPS., ETC. 375

et le produit ECxDCx AC donnera évidemment le nombre de mètres, pieds, pouces, lignes, etc., cubiques contenus dans le parallépipipède, c.-à-d. la solidité ou le volume du corps dont il s'agit,

(1016) Sco. 2. Si l'on ne suppose pas à l'unité de mesure une valeur définie, le produit de la multiplication ne signifiera rien par lui même, puisque, etc. par. (335).

(1017) Sco. 3. Si les trois dimensions d'un autre parallépipède sont divisées en unités linéaires égales à celle du solide dont il s'agit et multipliées ensemble de la même manière, les deux produits seront entre eux (336) comme les solides et serviront à exprimer leur volume, étendue, grandeur ou solidité relative.

(1018) Sco. 4. Le cube, ayant toutes ses dimensions égales, si le côté est 1, la solidité sera 1x1X1=1 : si le côté est 2, la solidité sera 2x2x2=8 : si le côté est 3,1a solidité sera 3x3x3=27 et ainsi de suite ; de là, si les côtés d'une série de cubes sont entre eux comme les nombres 1, 2, 3, etc. les cubes eux-mêmes ou leurs solidités ou volumes seront entre eux comme les nombres 1, 8, 27, etc. C'est de là qu'en arithmétique, le cube d'un nombre est le nom qu'on donne à un produit résultant de trois facteurs (23) chacun égal à ce nombre.

(1019) Sco. 5. S'il s'agissait de trouver un cube qui fût double d'un cube donné, le côté du cube requis devrait être à celui du cube donné comme la racine cubique de 2 est à l'unité. Il est facile par construction géométrique de trouver la racine carrée de 2 (310) ; mais on ne peut de même en trouver la racine cubique, au moins on ne peut le faire par les opérations de la géométrie élémentaire, qui consistent à u'employer que des lignes droites dans les quelles on connaît deux points, et des cercles dont les rayons et les centres sont déterminés.

Par suite de cette difficulté, le problème de la duplication du cube devint fameux parmi les anciens géomètres, ainsi

que celui de la trisection d'un angle (note, page 330) qui est à peu près de la même nature. On a cependant depuis longtemps découvert les solutions dont ces problèmes sont susceptibles, et quoique moins simples que les constructions de la géométrie élémentaire, elles n'en sont pas pour cela moins rigoureuses ou moins satisfaisantes.

(1020) Cor. 1. La solidité d'un parallépipède et généraralement d'un prisme quelconque est égale au produit de sa base par sa hauteur.

Car, en premier lieu, tout parallépipède est (1008) équivalent à un parallépipède rectangulaire ayant la même hauteur et une base équivalente. Or la solidité de ce dernier est, par la prop., égale à sa base multipliée par sa hauteur ; de la, la solidité du premier est de même égale au produit de sa base par sa hauteur.

(1021) En second lieu, tout prisme triangulaire est (1011) moitié du parallépipède de même hauteur et de base double de celle du prisme ; mais la solidité du parallépipède est (1020) égale à sa base multipliée par sa hauteur; delà, celle du prisme triangulaire est aussi égale au produit de sa base, qui est moitié de celle du parallépipède, par sa hauteur.

(1022) En troisième lieu, il est clair (207 et 894) que tout prisme peut se diviser eu autant de prismes triangulaires de même hauteur qu'on peut former de triangles dans le polygone qui lui sert de base. Mais la solidité de chaque prisme triangulaire est (1021) égale au produit de sa base par sa hauteur ; et cette hauteur étant la même pour tous les prismes composants, il suit que la somme de tous les prismes partiels doit être égale à celle de tous les triangles composants de la base, multipliée par la hauteur commune.

Donc la solidité d'un prisme polygone quelconque est égale au produit de sa base par sa hauteur.

(1023) Cor. 2. La solidité du cylindre est égale au produit de sa base par sa hauteur ; car, on a vu (951) que

SOLIDES. — PROPS., ETC. 377

le cylindre n'est autre chose qu'un prisme droit ayant pour base un cercle et pour hauteur le côté du cylindre ou la perpendiculaire menée entre ses bases parallèles.

(1024) Sco. 6. Soit AB- ou R le rayon de la base du cylindre, H sa hauteur ; la surface de la base sera ;:. R^ ou r: AB'" ; car, si l'on représente (671) par tî la circonférence du cercle dont le diamètre est 1, alors, parce que les circonférences sont entre elles (559) comme les rayons ou diamètres, on aura le diamètre 1 à sa circonférence - comme le diamètre 2AB est à la circonférence dont le rayon est AB, c.-à-d. 1 : - :: 2AB : cire. AB ; donc cire. AB=;rx2AB. Multipliant de part et d'autre par |AB, on a |ABxcirc. AB=-x AJB"^ ou surface AB=;rX AB""^ : de là, la surface du cercle est égale au produit du carré du rayon par le nombre constant - (3. 14159 etc.) qui représente la circonférence dont le diamètre est 1 ou le rapport de la circonférence au diamètre.

On aura donc pour base du cylindre l'expression ttxR^, ;r.R^ ou (30) - R"^ et pour sa solidité, ;r.R^XH ou ;rR^H.

(1025) Sco. 7. La solidité du prisme AI est encore égale au produit de sa hauteur inclinée ou côté AF ou BG ou etc. par la surface d'une section a cl ou / i perpendiculaire à ce côté.

En effet, ayant mené par les points B, G, les plans a d, fi, tous deux perpendiculaires àBG, le nouveau solide ai sera (944, 3°) un prisme droit (946), et ce prisme a i sera équivalent à AI ; car les points B, G servent chacun de sommet à autant de pyramides que le prisme a de faces latérales, moins deux, et ces pyramides sont respectivement égales deux à deux (Dém. du par. 1013) savoir : a E-B à /K-G, e D-B à A-I-G et d C-B à i H-G (et ainsi de suite

si les bases AD, FI des prismes étaient des polygones d'un plus grand nombre de côtés); donc le solide /K z G qu'on retranche du prisme AI d'une part est égal en tout au solide a E 6? B qu'on lui ajoute d'autre part, étant composé d'un même nombre de pyramides égales disposées de la même manière dans chaque solide; donc le prisme a i est équivalent au prisme AI ; or le prisme droit ai a pour mesure sa base a ci multipliée par sa hauteur perpendiculaire BG ; donc aussi le prisme oblique AI qui est équivalent à ai a pour mesure sa hauteur inclinée ou son côté BG multiplié par la surface d'une section a d on fi perpendiculaire à ce côté.

(1026) Sco. 8. Le cylindre oblique (997) n'étant autre chose (951) qu'un prisme à base curviligne, on aura (1020) sa solidité en faisant le produit de sa base par sa hauteur ou (1025) le produit de son côté par la surface d'une section perpendiculaire à ce côté ; cette section étant, par la déf. du cylindre, un cercle.

(1027) Sco. 9. Et si le solide était celui du par. (998) on en obtiendrait tout de même la solidité par la méthode du dernier par., ce solide n'étant encore autre chose qu'un prisme.

(1028) Cor. 3. Comparant deux prismes ou deux cylindres, ou un prisme avec un cylindre, droits ou obliques et de même hauteur ; les produits des bases par les hauteurs ou les produits des côtés par des sections perpendiculaires à ces côtés, sont entre eux comme ces bases ou sections, et si les bases ou sections sont égales, les prismes et cylindres seront entre eux comme leurs hauteurs ; et si les bases ni les hauteurs ne sont égales, les solidités de ces corps seront entre elles comme les< produits de ces bases ou sections par les hauteurs ou côtés de ces solides.

(1029) Cor. 4. Les prismes et cylindres droits et obliques dont les bases et hauteurs ou sections perpendiculaires et côtés sont réciproquement proportionnels, sont

SOLIDES. —PROPS., ETC. 379

équivalents, et s'ils sont équivalents, leurs bases et hauteurs ou côtés et sections sont réciproquement proportionnels.

PROP. VII. THÉOR.

(1030) Les prismes triangulaires semblables CPB, cph ont l'un à l'autre le rapport composé (81) des rapports BC : 6 c, BD : 6 â(, BA : 6 a, de leurs côtés ou. autres lignes homologues ; c'est-à-dire sont entre eux comme les produits continus (41)BAxBCxBD, baxbcxbd, de ces côtés.

En eflet, puisque les prismes sout semblables, les plans qui contiennent les angles solides homologues B, b sont (972, Déf.) semblables, etsemblable-

meut situés. Les angles solides w 1/ -J:::^! \-' ~-::^l/ B, b sont donc (935) égaux et c^ ^ *^]B <? étant appliqués l'un à l'autre, l'angle c 6 6? coïncidera avec CBD, le côté b a avec B A et le prisme cpb prendra la position cpB. Du point A menez AH perpendiculaire à la base commune des prismes ; le plan ABH sera alors (924) perpendiculaire au plan de la base commune. Par le point a, menez dans le plan ABH la droite a h, perpendiculaire à BH ou parallèle à AH et par conséquent (926 ou 908) perpendiculaire à la base BDC, et AH, ah seront (945) les hauteurs des deux prismes.

Maintenant, à cause des triangles semblables ABH, «B h et CBD, c B d, et des parallélogrammes semblables AC, a c, on a AH:aA::AB:aB::BC:Bc::BD:B(;; or les bases équiangles CBD, cBd sont entre eux (586) comme BCxBD à B cxB (i et les prismes CPB, cpB sont entre eux (1028) comme CBD x AU: cB dXa h; donc, CPB:cpB::BCx BDxAB:BcxBi/XaB.

(1031) Cor. 1. Les prismes triangulaires semblables sont entre eux comme les cubes (SQ) de leurs hauteurs, côtés ou autres lignes homologues ; car, les bases semblables des deux prismes douneut (552) base CBD : base cBd:: BC^ : B c^ ; donc base CBD : base cBd:: Alf : a 1?, et multipliant les antécédents par AH et les conséquents par a A, on obtient (105) base BCD X AH : base bcdxah:: AH"^ : a h ::BC" : bc'^ :: etc. ; mais la solidité du prisme est égale a sa base multipliée par sa hauteur (1020) ; donc, prisme CPB : prisme c'pb: : AH^ : ah^ ::BG^ : b c^ :: AJf :ab^:: etc.

(1032) Cor. 2. En général, les prismes et les cylindres semblables quelconques, (le cylindre n'étant autre chose qu'un prisme) sont entre eux comme les cubes ou produits continus (41) de leurs hauteurs, côtés rayons ou autres lignes homologues ; car, les prismes ou cylindres étant semblables, leurs bases sont (971) des polygones semblables composés (207) d'un même nombre de triangles semblables, semblablement situés ; les deux prismes ou les deux cylindres pourront donc se diviser en un nombre égal de prismes triangulaires, dont les faces seront semblables et disposées de même dans les deux solides ; donc les prismes triangulaires seront semblables ; mais ces prismes triangulaires sont entre eux comme les cubes ou comme les produits continus de leurs côtés homologues, et ces côtés étant proportionnels, les sommes des prismes triangulaires, c.-à-d. les prismes polygones eux mêmes et les cylindres seront entre eux comme les produits continus ou cubes de leurs côtés homologues.

PROP. VIII. THÉOR.

(1033) Si une pyramide AC-S est coupée par un plan a c parallèle à sa base AC ; sa hauteur SO et ses côtés ou arêtes SA, SB, S etc. seront divisés proportionnellement ; et la section a c sera un polygone semblable à la base.

PROPS., ETC.

En premier lieu, on aura S a : SA :: S 6 : S13 :: S 0 : SO :: etc. ; car les plans parallèles AC, a c coupés par un troisième plan ASB donnent (912) a b parallèle à AB ; les triangles SAB, S ab sont donc semblables et donnent (520) S a : SA :: S 6 : SB ; on a de même S b : SB :: S e : SO :: S 6 : SE :: et ainsi de suite. De là les côtés SA, SB, S etc. sont coupés proportionnellement en «, b, c, etc. La hauteur SO est aussi coupée dans la même proportion en o ; car BO et B o sont (912) parallèles et donnentSO:So::SB:S6.

(1034) En second lieu, concevons la pyramide divisée par les plans ESB, DSB ; on aura (912) e b parallèle àEBetdb parallèle DB et comme on a déjà a b parallèle à AB, les triangles semblables ASB, a S 6, ESB, e S b, donnent a b : AB :: S 6 : SB et eè : EB :: S 6 : SB ; d'où on obtient (75. Ax.) ai: AB::e6:EB et ait. (94) a^ : eè:: AB:EB. Ou prouverait de même que aè : a e:: AB : AE ; les triangles « e 6, AEB sont donc équiangles et semblables, leurs côtés étant, comme on vient de le voir, respectivement proportionnels l'un à l'autre. Un raisonnement analogue ferait voir que les autres triangles composants eb d, EBD, c b d, CBD sont respectivement semblables; les polygones ac, AC sont donc composés d'un même nombre de triangles semblables disposés de la même manière dans chaque fîg. ; donc (207) ces polygones sont semblables ; donc, etc.

(1035) Cor. 1. Si deux pyramides AC-S, XYZ-S de même hauteur, ou dont les bases AC, XYZ sont situées dans im même plan et les sommets S, S aussi dans un même plan parallèle au premier, sont coupées par un troisième plan parallèle aux deux autres, les sections ac,xyz faites par ce plan seront entre

elles comme les bases ; c.-à-d., les surfaces de ces sections seront proportiouuelles à celles des bases ou ac -.xy z::A.G: XYZ. En effet, les polygones ac, AC étant par la prop., semblables, leurs surfaces sont (554) comme les carrés des côtés homologues a b, AB ; mais a h : AB :: S a : SA ; d'où, a c : AC:: S ft'^ : SA^. Pour la même raison xy z-.XYZ::^ o^ : SX^. Mais puisque ac, xyz sont daus un même plan parallèle à celui des bases et sommets on a aussi (922) S a : SA :: S 2: : SX ; donc (75. Ax.) a c : AC ::xyz: XY^Z ou ait. ac:xyz::AC:XYZ; donc etc.

(1036) Cor. 2. Si les bases AC, XY^Z de deux pyramides de même hauteur sont équivalentes, toutes sections a c, xyz de ces pyramides faites par des plans parallèles aux bases et à des distances égales de ces dernières, seront aussi équivalentes.

(1037) Cor. 3. Deux pyramides de même hauteur et de bases équivalentes, sont équivalentes ou égales en volume ; car, en concevant les bases de ces pyramides sur un même plan et les pyramides elles-mêmes coupées par des plans parallèles aux plans des bases, les sections correspondantes «c,x?/ 2: seront égales (204) par le dernier corallaire. La même chose aura lieu pour toutes les sections correspondantes, faites par d'autres plans parallèles à celui de la base ; donc puisqu'on peut (119) concevoir les pyramides divisées dans

SOLIDES. — PROPS., ETC.

tonte leur hauteur par des plans infiniment rapprochés l'un de l'autre et en conséquence cohiposées de tranches ou sections d'une même épaisseur infiniment petite, et que ces sections sont en nombre égal, puisque les pyramides ont même hauteur, il est visible que ces pyramides sont égales.

(1038) Cor. 4. De deux pyramides AC-S, XYZ-S de hauteur égale et de bases équivalentes, les troncs compris par un même plan parallèle à celui de la base ou par des plans parallèles à ceux des bases et à des distances égales de ces dernières, sont équivalents ou égaux en volume ; car, par le dernier cor. la pyramide a e-S est équivalente à la pyramide xi/ z-S et comme les pyramides entières AC-S, XYZ-S sont aussi égales par le même cor. ; il suit que si des pyramides entières on retanche les pyramides partielles, les restes, c.-à-d. les troncs AC-6 et XZ-j/ seront équivalents.

PROP. IX. THÉGR.

(1039) La surface latérale ou convexe d'une pyramide régulière AD-S est égale au périmètre de sa base AD multiplié par sa demi-hauteur inclinée SF.

En efîet, dans la pyramide régulière le point P où la perpendiculaire SP rencontre la. base est (959) le centre du pol. rég. AD ; et (555, 2°) les rayons PA, PB, Peto. du pol. sont égaux entre eux. Dans les triangles rectangles SPA, SPB, SP etc., les côtés sont donc égaux et les hypoténuses SB, SC, S etc. en conséquence égales (311). Les triangles ASB, BSC, etc. qui composent la surface latérale de la pyramide sont donc égaux entre eux puisque leurs côtés sont égaux et leurs bases AB, BC, etc.

aussi égales. Mais la surface de l'un quelconque ASB de ces triangles est égale (344) à sa base par la demi-perpendiculaire SF qui est (960) la hauteur inclinée de la pyramide ; de là, la surface de tous les triangles composants ou la surface latérale de la pyramide est égale au périmètre de sa base par sa demi-hauteur inclinée.

(1040) Cor. 1. La surface convexe d'un tronc AD-e de pyramide régulière AD-S est égale à la demi-somme des périmètres de ses bases supéreure et inférieure a d, AD multipliée par sa hauteur inclinée /F.

Car, la section ad est semblable (1034) à la base AD et cette base étant un polygone régulier, il suit que ab=be== c d=etc. De plus, on a (912) a b, b c, etc. respectivement parallèles à AB, BC, etc. La surface latérale du tronc de cône est donc composée des trapèzes (172) égaux AB ba, BC c b etc. et la hauteur perpendiculaire /F de tous ces trapèzes est é<Tale, puisqu'elle n'est que la différence entre les hauteurs égales des triangles composants ASB, BSC, etc. et «S 6, 6 Se, etc. des pyramides régulières AD-S, adS; mais la surface d'un de ces trapèzes, comme AB ba, est (346) égale à | (AB+a &)x/F; de là, la surface de tous ces trapèzes ou la surface latérale du tronc est égale à la demisomme des périmètres des bases inférieure et supérieure multipliée par la hauteur inclinée du tronc.

(1041) Cor. 2. On a vu (961) que le cône n'est autre chose qu'une pyramide régulière ayant pour base un cercle ; donc, la surface latérale du cône' est égale au périmètre ou à la circonférence de sa base par son côté ou (962) sa hauteur inclinée.

(1042) Cor. 3. La surface latérale du tronc de cône B e est égale

SOLIDES. — PROPS., ETC. 385

au produit de son côté ou de sa hauteur inclinée A a par la demi-somme des circonférences de ses bases parallèles BE, h e ; car, le tronc de cône n'est autre chose (968 2°) qu'un tronc de pyramide régulière, et tout ce qui est vrai du tronc de pyramide, l'est également du troue de cône.

(1043) Cor. 4, Soient K, G, les points milieux des côtés Oo,J) d du trapèze générateur (966) 0 d du tronc de cône ; GK sera (325)=(QD+Q^) et puisque (557 et 559) les cir-

conférences des cercles sont entre elles comme les rayons, on a cir. GK=|(cir. OD+cir. o d) ; donc la surface convexe du tronc de cône est égale à son côté multiplié par la circonférence d'une section à distances égales de ses bases parallèles.

(1044) Sco. 1. Si une ligne De? située entièrement du même côté de la droite 0 o et dans le même plan, tourne autour de l'axe Oo, la surface décrite par J) d aura pour mesure (1043) Dc?X(cir. OD+cir. orf) ou D (/x cir. KG, les

lignes OD, od, KG étant des perpendiculaires abaissées des

extrémités et du milieu de D d sur l'axe 0 o ; car, si l'on

prolonge 0 0, DcZ jusqu'à ce qu'elles se rencontrent en S,

il est évident que la surface décrite par D d est celle d'un

tronc de cône ayant pour rayons respectifs de ses bases les

droites OD, od Qi pour sommet du cône entier le point S.

Donc, etc.

Cette mesure vaudra toujours, même quand le point o tombera en S, formant ainsi un cône complet, ou encore quand la ligne D c? sera parallèle à l'axe, formant ainsi un cylindre. Dans le premier cas od n'aurait aucune valeur et dans le second cas l'on aurait o (i=OD=KG.

(1045) Sco. 2. Soit L le côté d'un cône, E. le rayon de sa base ; la circonférence de cette base sera (671) 2;t.E., et la surface du cône sera 2;rRx|L, ou ;rRL.

PROP. X. THÉOR.

(1046) Toute pyramide triangulaire ABC-F est le tiers d'un prisme triangulaire ABC-DEF de même base et de même hauteur.

Menez le plan FAC qui enlèvera du prisme la pyramide ABC-F; il restera la pyramide quadrangulaire ACDE-F ayant F pour sommet et pour base le parallélogramme AD.

Menez la diagonale EC et le plan EFC qui partagera la pyramide quadrangulaire en deux pyramides triangulaires ACE-F, DCE-F. Ces deux dernières ont bases égales ACE, DCE dans un même plan et ont même hauteur (la perpendiculaire abaissée du sommet F sur le plan AD de la base) ; ces pyramides sont donc (1037) équivalentes. Mais les pyramides DCE-F et ABC-F ont bases égales ABC, DEF et même hauteur, savoir, la perpendiculaire menée entre les bases parallèles; de là, les deux p3n'amicles sont équivalentes. Or, on vient de voir que la pyramide DCE-F est équivalente à ACE-F; donc les trois pyramides ABC-F, ACE-F, CDE-F qui composent le prisme BED sont toutes équivalentes l'une à l'autre. Donc la pyramide est le tiers du prisme de même base et de même hauteur.

(1047) D'ailleurs, on a vu (1006) que le cube peut être décomposé en six pyramides égales entre elles et chacune par conséquent équivalente à la sixième partie du cube ou au tiers du demi-cube, c.-à-d. au tiers d'un prisme ayant pour base, la base de la pyramide ou du cube et pour hauteur la hauteur de la pyramide ou (1006) la demi-hauteur du cube. Or, (1037) les pyramides dont les hauteurs sont égales et les bases équivalentes sont elles-mêmes équiva-

SOLIDES. — PROPS., ETC. 387

lentes ; et (1028) les prismes de même hauteur sont entre eux comme leurs bases ; donc si ces bases sont équivalentes, les prismes eux-mêmes seront de volume égal ; donc, toute pyramide est le tiers d'un prisme de même hauteur et de base égale ou équivalente.

(1048) Cor. 1. Il suit du par. (1046) que la solidité d'une pyramide triangulaire est égale au tiers du produit de sa base par sa hauteur.

(1049) Ccr. 2. Il suit du par. (1047) que la solidité de toute pyramide est égale au tiers du produit de sa base par sa hauteur.

D'ailleurs, on arrive encore à cette conclusion sans l'aide du par. (1047) en supposant la pyramide dont il s'agit divisée en pyramides triangulaires ABE-S, DBE-S, etc., par des plans ESB, DSB passant (893) par ses arêtes opposées ES, BS, etc. ; cette construction donnera autautde pyramides partielles que le pol. AC contient de triangles et ayant toutes une hauteur commune SO. Mais chacune de ces pyramides composantes a pour mesure (1048) le tiers du produit de sa base par sa hauteur; de là, la somme des pyramides triangulaires ou la pyramide polygone entière AC-S aura pour mesure le tiers du produit de la somme des bases partielles par la hauteur commune; donc, etc.

(1050) Cor. 3. Le cône n'étant (961) qu'une pyramide, sa solidité? est égale au tiers du produit de sa base par sa hauteur.

(1051) Cor. 4. Toute pyramide est le tiers du prisme de même hauteur et de même base ; conclusion déjà établie au par. (1047).

(1052) Cor. 5. Tout cône est le tiers du cylindre de mêmes base et hauteur.

(1053) Cor. 6. Deux pyramides ou deux cônes de même hauteur sont entre eux comme leurs bases, et ceux de même base, comme leurs hautevirs.

(1054) Cor. 7. Les pyramides et les cônes sont entre eux comme les produits de leurs bases et hauteurs.

(1055) Seo. 1. S'il s'agissait de la solidité d'un cône oblique b e-S, c.-à-d., d'un cône BE-S dont on aurait retranché un onglet ou partie ASE-d par un plan 6 e incliné à l'axe SO du cône, il est clair que l'on obtiendrait encore cette solidité en faisant (437) le produit de sa base curviligne 6 e par sa hauteur SP, ce cône n'étant autre chose qu'une pyramide oblique.

(1056) Sco. 2. Et si la section du cône par un plan a c perpendiculaire à son axe, n'était pas un cercle ; c.-à-d., si le solide 6 e-S ne formait pas partie d'un cône régulier, mais avait au contraire pour base une figure curviligne ou mixtiligne quelconque et pour section ac une figure analogue à celle de la base, on regarderait encore ce solide comme une pyramide dont on obtienderait la solidité comme il a déjà été dit.

(1057) Sco. 3. On peut arriver à la solidité d'im corps polyèdre quelconque en divisant ce corps en pyramides par des plans menées par un même angle solide ; dans ce cas, le polyèdre sera divisé en autant de pyramides partielles que le solide a de faces, moins les faces composantes de l'angle solide dont partent les plans de section ; mais si on fait passer tous les plans par un point quelconque situé à l'intérieur du solide, il y aura alors autant de pyramides composantes que de faces composantes dans la surface entière du polyèdre, et comme la solidité de chacune de ces pyramides sera égale à la surface de sa base (face du

SOLIDES. — PROPS., ETC. 389

polyèdre) par sa hauteur (perpendiculaire menée du sommet commun de toutes les pyramides au plan de la base de chacune d'elles) il est clair qu'on arrivera à la solidité du polyèdre dont il s'agit en faisant la somme des solidités de toutes les pyramides composantes.

(1058) Seo. 4. Il est à peine nécessaire de remarquer que pour arriver à la surface latérale d'une pyramide ou d'un cône oblique, il y aura à déterminer séparément celle de toutes les faces latérales composantes du solide et à en prendre la somme, et si le solide était de la nature de celui du par. (1056) le même procédé conduirait encore infailliblement au même résultat, la surface latérale plane, courbe ou mixte du solide pouvant toujours être considérée comme composée d'un nombre plus ou moins grand de triangles aboutissant à un sommet commun et ayant pour bases les côtés plus ou moins grands du polygone ou de la iigure plane servant de base au solide, et pour côtés les arêtes ou côtés du solide.

(1059) Sco. 5. On obtiendra la surface d'un polyèdre quelconque en faisant la somme des surfaces de toutes ses faces composantes.

(1060) Sco. 6. Soit R le rayon de la base d'un cône, H sa hauteur ; la solidité du cône sera ttII^XJH ou AttR^H.

PROP. XI, THÉOR.

(1061) Le tronc de pyramide FHG-/^ h compris (956) entre deux plans parallèles, est équivalent à la somme de trois pyramides ayant pour hauteur commune la hauteur du tronc, et pour bases, la base inférieure du tronc, la base supérieure et une moyenne proportionnelle entre les

deux bases. Séparez par le plan F ^H (892) lapyramide triangulaire FGH-^/ ayant pour base la base inférieure du tronc et pour hauteur celle du tronc, le sommet g étant dans le plan de la base supérieure.

Cette pyramide enlevée, il restera la pyramide quadrangulaire FH hf-g ayant pour base le quadrilatère F h et g pour sommet. Par les points/, </, II, menez un plan qui divisera la pyramide quadrangulaire en deux pyramides triangulaires F/H-^, /hH-g. Cette dernière a pour base la base supérieure/^ A du tronc et pour hauteur la hauteur du tronc, parce qu"e son sommet H est dans la base inférieure. On connaît donc déjà deux des pyramides qui composent le tronc.

Il reste à considérer la troisième pyramide F/H-^. Ayant mené K^ parallèle à /F, concevons une nouvelle pj'ramide F/H-K ayant K pour sommet et pour base le triangle F/ H ; ces deux pyramides souf équivalentes (1037) ayant même base F/H et même hauteur, car les sommets ^, K sont situés dans une même droite gK parallèle à /F et par conséquent (887) parallèle au plan de la base et (884) à des distances perpendiculaires égales de cette base. Mais la pyramide F/H-K peut être regardée comme ayant son sommet eu/, et sa hauteur sera de cette manière égale à celle du tronc ; il reste donc à démontrer que sa base FKH est moyenne proportionnelle entre les bases FGïl,fg h; or, les triangles FHK,/^ A ont chacun un angle égal en F,/; de là (586)FHK:/^/i::FKxFH:/^X/A; mais à cause des parallèles, FK=fg, ûoi)cFRK:fgh::FB.:fh; on a aussi FHG : FHK :: FG : FK ou fg ; niais les triangles semblables FGH,/^ A donnent FG:/^::FH :/A ; d'où FGH : FHK::FHK :/^ A ; c.-à-d. que FHK est moyenne proportionnelle entre les deux bases FGH, /^A. Donc, etc.

SOLIDES. —PROPS., ETC,

On a vu (1038) que le tronc de pyramide triangulaire est équivalent an tronc de pyramide polygone de même hauteur et de base équivalente ; cette proposition dont on vient de démontrer la vérité dans le cas d'un tronc de pyramide triangnlaire est donc vraie pour un tronc de pyramide quelconque.

(1062) D'ailleurs, on peut aussi déterminer le volume d'un tronc de pyramide AC b en faisant le volume de la pyramide entière AC-S et retranchant le volume de la pyramide partielle «c-S. A cet efiet, ayant prolongé deux quelconques Aa, B6 des côtés du tronc donné jusqu'à leur rencontre en S et mené SO perpendiculaire au plan de la base ; SO sera (957) la hauteur de la pyramide entière, S o, celle de la pyramide partielle et 0 o, celle du tronc ; or on a vu (1033) que la section abc parallèle à ABC doiine AB : «6 :: SA : S a :: SO : S o et div. (96) AB— rt 6 : a 6;:S0— So : S 0, ou AB—a 6: a 6:: 0 o : S o, ce qui donnera (1049) le volume du tronc=surf. ACx^SO (ou O o+So)— surf. acX|S 0.

(1063) Cor. 1. Le tronc de cône compris entre deux plans parallèles est égal en solidité à la somme de trois cônes ayant pour hauteur commune la hauteur du tronc, et pour bases, la base inférieure du tronc, sa base supérieure et une moyenne proportionnelle entre ces deux bases; car, comme on l'a vu (968) le tronc de cône n'est autre chose qu'un tronc de pj-ramide régulière ayant pour bases parallèles des cercles. Soit OA le rayon de la base inférieure du tronc de cône, o a celui de sa base supérieure et O 0 sa hauteur ; on aura (1024) pour surface de la base inf. -OA", pour surface de la base sup. Ttoc? et pour moyenne proportionnelle entre ces bases -OAxo«; l'expression de la solidité du tronc sera donc JO o X OA^. t:-{-^ O o X oa . -+|-0 ox AOXao.;r, ou ce qui est la même chose, |-rOox(OAV oa^+OAxoa).

(1064) D'ailleurs, on aura encore le volume du tronc de cône en faisant la diftérence des volumes du cône entier et du cône partiel dont on obtiendra la hauteur en faisant AO—a o:oa::0 o:So et on aura S 0=S o+ Oo; AO,ao étant les rayons des bases parallèles.

(1065) Sco. 1. S'il s'agissait de la solidité du tronc d'un cône oblique, on ferait tout de même la difiêrence des volumes (1055) des cônes obliques entier et partiel dont on aurait encore les hauteurs respectives en|faisant AO—ao :

ao::Pp:Sp on A?—ap :ap::'P piSp et SP=S^+Pp; AO,ao ou AP, ap étant évidemment des lignes homologues formant partie des droites parallèles (912) AB, a b (prolongées s'il le faut) que déterminera dans les bases parallèles du tronc un plan SBP passant par l'axe SO du cône et par la perpendiculaire SP qui en est la hauteur.

Il est clair aussi (1062) que toutes autres lignes homologues quelconques BC, bedea deux bases parallèles donneraient BC—bc:bc::'Pp:Sp.

(1066) Sco. 2. Et si le tronc B a était celui du solide du par, (1056) ou aurait encore son volume égal à la diftérence des volumes du sol. entier et du sol. partiel, et les hauteurs de de ces solides en faisant BC— 6 c : bcii'P p :Sp, et SP=Sp+P2>; BC, 6 c étant comme auparavant deux lio-nes homologues quelconques des bases parallèles du tronc.

(1067) Sco. 3. Prob. Déterminer le volume d'un tronc de pyramide ou d'un tronc de cône AC c dont les bases AC, a c ne sont pas des plans parallèles.

SOLIDES. — PROPS., ETC.

A3'ant prolongé deux quelconques Aa, B b des côtés du tronc de pyramide jusqu'à leur rencontre en S, sommet commun des pyramides entière et partielle, on mènera dans le plan A b la droite ae parallèle à AB. On aura alors AB— a e:ae:: Aa: aS et Aa: AS ;:a 0 : SP, les droites «o, SP étant (975) toutes deux perpendiculaires au plan de la base AC et par conséquent (910) parallèles entre elles. On mènera ensuite Sp perpendiculaire au plan, prolongé s'il le faut, de la base a c et on aura le volume du tronc=surf. ACX:j SP— surf, a ex JS p. Si le point S était iuacessible, on mènerait d'un point quelconque 71 du côté «S une perpendiculaire nr au. plan de la base ac. Il est clair (910) que n r serait alors parallèle à Bp et toutes deux perpendiculaires à la commune intersection ap d'un plan S pa perpendiculaire (924) au plan a c, ce qui donnerait, dans les triangles rectangles semblables anr, a^ p, an: aS::nr :8p.

(1068) Pour ce qui est du tronc de cône, il y aurait à prendre sur le périmètre de sa base inférieure, deux points quelconques A, B, et à déterminer sur sa surface latérale, la direction de deux droites A a, B /; qui étant prolongées, se rencontreraient au sommet commun S des deux cônes. A cet effet, il suffirait d'appliquer à la surface latérale du tronc une ligne droite A a, B6 passant par le point A, B et touchant dans toute sa longueur à cette surface, comme le fait (968 2°) le côté Aa, B6 du tronc de pyramide inscrit. Ou établirait encore les ligues requises A a, B 6 en appliquant à la surface convexe du tronc eu A et B, respectivement, une surface plane, comme serait (968 2°) une des faces du tronc de pyramide circonscrit, et qui à l'endroit de son contact

avec le périmètre de la base supérieure du tronc, déterminerait un point o, h, dans la direction requise AS, BS. On a maintenant dans le triangle ASB, la base AB et les angles adjacents A, B, pour trouver AS et par suite a S= AS — A a, et les triangles rectangles semblables Ko a, APS donnent A a : oa:: AS : PS. Enfin on aura comme auparavant an:nr:'.a^'. Sp etvolumedu trouc=surf. ACxjSP— surf, a ex |^ S p.

PROP. XII. THÉOR.

(1069) Les pyramides semblables AC-S, a c-S ont l'ime à l'autre le rapport composé des rapports AB :a b, BG : b c, BS : b S, etc. de leurs côtés, hauteurs, ou autres lignes homologues, c'est-à-dire sont entre elles comme les produits continus BA x BC XBS, baxbcxbS àe ces côtés, etc.

En effet, puisque les pyramides sont semblables, les angles solides au sommet sont contenus par un même nombre de plans semblables, disposés de la même manière et par conséquent (972) également inclinés entre eux ; on pourra donc faire coïncider ces angles solides et les deux pyramides seront alors disposées, comme dans la fig., de manière à avoir l'angle solide au sommet S commun.

Dans cette position, les bases AC, ac seront parallèles, à cause des faces semblables ABS, a 6 S, BCS, 6cS, qui donnent : angle S a i=SAB et S6c=SBC; de là le plan a c est (919) parallèle au plan AC. Cela posé, SP étant la hauteur de la pyramide AC-S et S p celle de la pyramide a c-S, on aura (1033) SP : S p :: SB : S 6 :: AB : a 6 :: BC : 6 c ; or les bases équiangles AC, ac sont entre eux (586) comme BAxBC:èaX6c, car les triangles équiangles ABC, a 6 c, ont entre eux (586) ce rapport et ces triangles sont (207) des

SOLIDES. — PROPS., ETC

parties correspondautes ou des sous-multiples égaux des bases AC, ac; et les pyramides AC-S, a c-S sont* entre elles (1054) comme les bases multipliées par les hauteurs ; doue ces pyramides sout aussi entre elles comme SBxABxBC: ^bXabxbc.

(1070) Cor. Les pyramides et les cônes (qui ne sont autre chose que des pyramides) semblables, sont entre eux comme les cubes de leurs hauteurs, côtés, rayons ou autres lignes homologues ; car, les bases semblables AC, ac sout entre elles comme les carrés AB , a b des cotes homologues :: SB' : S 6'^ :: SP' : S/ ::*AP"^: a/ et multipliant les antécédents et conséquents par SP, Sp, on a base ACxSP:base a cxS;j :: SP'^ : S/?^:: SB^: S 6^: AB^ a^^:: AP3 '.ap^ :: etc. ou (73 Ax.) pyr. AC-S : pyr. a c-S :: SB3 : SP::etc.

PROP. XIII. THÉOR.

(1071) La surface d'une sphère est égale au produit de son diamètre par un de ses grands cercles.

Car, le demi-cercle ACF qui en tournant autour de son axe AF engendre (974) la sphère BG, peut être regardé comme un demi-polygone régulier d'un nombre indéfini de côtés AB, BC, etc. et chacun de ces côtés en conséquence (665) indéfiniment petit. La droite DE peut dans ce cas être regardée (430) comme partie de l'arc générateur et (667) le rayon ON comme rayon du cercle. Cela posé, on a vu (1044) que la surf. DG décrite par la partie DE du périmètre générateur et qui est celle d'un cône tronqué DG,

d'un cône EFG, ou d'un cylindre CR, est dans chaque cas égale au produifdu côté DE par la circonférence d'une section NV à distances égales des bases parallèles EG, DR; mais à cause des triangles semblables (323) DKE, NAIO, on a DE : EK ou HI::ON:NM (iNV) ; d'où, HIxON'=DExNM. Le même raisonnement donnera pour surface latérale du cône EG-F le produit FHxcirc. OL ou dST et pour surfoce latérale du cylindre CR on aura IPXcirc.OU ou ON; la surface latérale d'une zone (975) quelconque CG est donc égale à (HI + IP)Xcirc. OX, celle d'une zone quelconque DFR n'ayant (979) qu'une base DR, égaleà(FB[+HI)Xcirc. ON, et celle de la sphère entière égale à (FH+HI+IP-f PA) Xcirc. ON; c.-à-d. à FAXcirc. ON".

(1072) Cor. Puisque la surface d'un grand cercle est égale (431) au produit de sa circonférence par le demi-rayon ou par le quart du diamètre, il suit que la surface d'une sphère est égale à quatre de ses grands cercles ; on à 4-.0X^ ou 4;r.0A".

(1073) Sco.l. La surface d'une zone est égale à sa hauteur multipliée par la circonférence d'un grand cercle de la sphère.

(1074) Sec. 2. Deux zones prises dans la même sphère ou dans des sphères égales, sont entre elles comme leurs hauteurs, et toute zone est à la surface de la sphère comme la hauteur de la zone est au diamètre de la sphère.

2° Il est clair aussi, d'après ce qui a déjà été dit que les surfaces de deux sphères sont entre elles comme les carrés des rayons ou autres lignes homologues de ces sphères, et que les surfaces de deux zones semblables sont entre elles comme les carrés des rayons ou lignes homologues de ces zones ou des sphères dont ces zones font partie.

SOLIDES. — PROPS., ETC.

PEOP. XIV. THÉOR.

Kh

(1075) La solidité d'une sphère est égale à sa surface multipliée par le tiers de son rayon.

Ea effet, regardant eucore comme ligue droite la partie indéfiniment petite AB de l'arc générateur de la sphère et 01 en conséquence (667) comme rayon de la sphère, si l'on prolonge AB jusqu'à ce qu'elle

rencontre en H l'axe pro- ^^K^"^'^ ^^^^>^ iS

longé Gïl de la sphère, le triangle OBII composé des triangles rectangles ONB, HN"B, dé- (T 0 N KME h crira (963) pendant la

révolution du périmètre générateur, des cônes qui seront (1052) les tiers des cylindres correspondants décrits par les rectangles RN, 81!:^, et le triangle OAH composé des triangles OMA, HMA décrira des cônes qui seront les tiers des cylindres correspondants décrits par les rectangles PM, LM. Le solide décrit par le triangle AOB sera donc égal à la différence des solides ou double-cônes décrits par les triangles OBII, OAH, et ces double-cônes sont entre eux (1053) comme BN" à AM'^, c.-à-d. (557) comme les surfaces des cercles décrits par les rayons BN, AM autour de l'axe commun OH; or, ces solides out respectivement pour mesure (1050) surf. BNxjOH (ou lON+^NH) et surf. AMxiOH (ou JOM+MH) ou (1024) ;rBN^xjOH et ;rAM X^OH ; donc, le solide aura pour mesure tz (BN^— AM2)X JOH. Mais (370) BN^-AM^=(BN+AM) x (m- AM)=(347) 21KXBQ; donc la mesure du solide dont il s'agit est 7:X2IKxBQxiOH, ou ce qui est la même chose, f;rXlKxBQxOH (2Xi étant=f) ; or, le triangle AOB étant isocèle et 01 par conséquent (236) perpendiculaire

à AB, les triangles semblables OUI, AQB douDent BQ: OI::AB:OH; d'où, ABxOI=BQxOH, mais ABxOI=2 surf. AOB; de là, on a BQxOB[=2surf. AOB ; donc le solide décrit par AOB est encore=f7rXlKx2AOB, ou |;rX AOBxIK, ou ce qui est la même chose AOBxfcirc. IK, ^TzïK étaut=| cire. IK. Donc le solide décrit par le triangle AOB a pour mesure la surface de ce triangle multipliée par les f de la circonférence décrite par le point milieu I de sa base.

Maintenant, les triangles AQB, OKI sont (323) semblables et donnent la proportion AB :

AQ ou MN::OI:IK; d'où, ABxIK=MNxOI et le volume du solide est encore égal (*) à ^ttXOI^ MN, c.-à-d. aux f du produit continu de tz par le carré de la perpendiculaire 01 menée du centre à la base AB, par la distance MN entre les deux perpendiculaires tombant sur l'axe.

Mais, par hyp. AB est partie de la demi-circonférence génératrice de la surface de la sphère et 01 est le rayon de la sphère ; le solide décrit par le triangle AOB est donc le secteur sphérique (975) décrit par le secteur AOB du demicercle générateur de la sphère solide ; or, on prouverait tout de même que le volume du secteur sphérique décrit par BOC oupar AOF=t-xOI^xON ou fTTXOr^^XMF, et la somme des secteurs sphériques composants est égale à la sphère; donc le volume de la sphère=§-Or^X(FM+MN+NO+OG) ou |;rOI^XFG qui est encore égal à j7:Or'^X2FG ; mais -OI'' est

(*) L'étudiant verra que | ;r x 01^ x MN = AOB x % cire. IK, car AOB = ^ AB X 01; d'où il suit que AOB x | cire. IK= ^AB x 01 x '| cire. IK = par transp. 5AB x IK x | cire. 01, et puisque AB x IK — MN x Ol, on a ^ AB x IK X I cire. 01 = è MN X 01 X I cire. 01 = ^ MN x | cire. Ol*^ = ^N x ^tt Ol2=MNxi7r. O =1/T.0I -MN.

SOLIDES. — PROPS., ETC. 399

la surface d'un graud cercle ; donc la solidité de la sphère est égale à celle d'une cône ayant pour base un grand cercle et pour hauteur le double diamètre de la sphère.

Substituant à FG son égal 20F, on a pour la solidité de la sphère irOF'-^xOI ou (à cause de OI=OF) IrOF^xOF qui est égal à 4rOF~XjOF. Mais 4;rOF'^ est égal (1072) à la surface de la sphère ; de là, la solidité de la sphère est égale à sa surface multipliée par le tiers de sou rayon.

(1076) Autrement. On peut encore concevoir la sphère composée d'un nombre indéfini de pyramides ayant chacune pour base un6 partie assez petite de la surface de la sphère pour qu'on puisse la considérer comme étant sensiblement une surface p>laue ; le sommet commun de toutes ces pyramides étant au centre de la sphère et l'ensemble ou la somme de leurs bases égale à la surface de la sphère. Or, chacune de ces pyramides est égale (1049) au produit de sa base par le tiers de sa hauteur, c.-à-d. par le tiers du rayon de la sphère ; donc la somme de toutes ces pyramides est égale au produit de la surface entière de la sphère nar le tiers de son rayon ; mais la surface de la sphère est égale

(1072) à quatre de ses grands cercles ; donc la solidité de la sphère est égale au produit de quatre de ses grands cercles par le tiers du rayon, ou au quadruple du produit d'un de ses grands cercles par le tiers du rayon, ou au produit des ^ du rayon par un grand cercle.

(1077) Sc0. 1. La solidité de tout secteur sphérique est égale au produit de la zone qui en constitue la base, par le tiers du rayon ; car la mesure du secteur est, par laprop. =1 ;r OF^XMN qui est égale à 2;r OFxMNxj OF. Mais, 2- OF est (1024) la circonférence d'un grand cercle de la sphère et cette circonférence multipliée par MN donne

(1073) la surface de la zone qui forme la base du secteur ; et la preuve s'applique également au secteur sphérique décrit par le secteur circulaire AOF ou par BOC, DOA, DOF, etc. ; donc, etc.

(1078) D'ailleurs ; cette conclusion dérive aussi immédiatement du par. (1076) ; car le secteur, comme la sphère peut se décomposer en pyramides ayant leurs sommets au centre de la sphère et la solidité du secteur est égale à la somme de ces pyramides, c.-à-d., à la somme de leurs bases (zone de la sphère) multipliée par le tiers du rayon.

(1079) Seo. 2. PROB. Déterminer le volume d'un onglet sphérique ADBFA et la surface de la lime qui lui sert de base.

Il est clair que ce volume et cette surface sont tous deux en raison directe de la valeur ou grandeur de l'angle DGF qui mesure (878) l'inclinaison mutuelle des deux plans ADB, AFB qui contiennent l'onglet. En effet, si l'on suppose que l'onglet et la " ^

sphère entière soient divisés par un nombre indéfini de plans ayant pour intersection commune le diamètre AB et que tous les angles d'inclinaison ECF, FCG, etc., de ces plans soient égaux (50 et 51) entre eux, l'onglet et la sphère solide seront de cette manière divisés tous deux en unités égales de volume et de surface, c-.à-d. en un nombre d'onglets partiels AEBFA, AFB(ïA égaux, et leurs surfaces respectives en un nombre correspondant de lunes égales ; car, par superposition, du demi-grand cercle (983) AGB d'un de ces onglets au demi-grand cercle égal AEB d'un des autres, l'autre plan AFB du premier tombera sur le plan correspondant ADB du second, à cause des inclinaisons égales DCE, FCG de ces plans, et comme (974) nul point de la lune ou base du premier n'est plus ou moins éloigné du centre C de la sphère qu'un point quelconque du second, les deux surfaces tomberont entièrement l'une sur l'autre et les onglets coïncideront dans toutes leurs parties et seront

SOLIDES. — PROPS., ETC. 401

en conséquence égaux. Or, la section DIIG des droites DC, EO, FC, etc., est (900) un plan, à cause de AB perpendiculaire (878) à chacune d'elles ; de plus, ce plan est (981) un cercle et (423) les angles au centre sont proportionnels aux arcs qui les sous-tendent et aux nombres respectifs d'unités de mesure qu'ils contiennent, et chacune de ces unités correspond, comme on vient de le voir, à une unité de volume et de surface ; donc l'onglet est à la sphère entière comme l'angle qui le contient est à 4 angles droits ou (427) comme l'arc qui mesure cet angle est à la circonférence entière, et la surface de la lune qui en est la base est aussi à celle de la sphère dans le même rapport.

Pour résoudre le prob., il suffira donc d'établir (Dém. de 720) le rapport de l'angle d'une lune ou d'un onglet donné à 4 angles droits. On fera ensuite les surface et volume de la sphère entière qu'on divisera dans le rapport ainsi trouvé, pour avoir la surface de la lune donnée et la solidité de l'onglet.

(1080) Cor. 1. Deux lunes ou deux onglets sphériques sont l'un à l'autre comme leurs angles respectifs.

(1081) Cor. 2. Le volume d'un onglet sphérique est égal au produit de la surface de la lune qui en est la base, par le tiers du rayon.

D'ailleurs, il est clair que l'onglet, comme la sphère, peut se décomposer en pjn-amides ayant pour sommet commun le centre de la sphère et dont la somme des volumes est égale à la somme des surfaces de leurs bases, si petites qu'elles soient, multipliée par le tiers de la hauteur de ces pyramides, c.-à-d. par le tiers du rayon.

(1082) Sco. 1. Le volume d'une partie quelconque de la sphère solide contenue par un nombre indéfini de plans passant par le centre de la sphère, est égal (1076) à la surface sphérique de cette partie multipliée par le tiers du rayon ; car, quelle que soit la forme de la surface sphérique, elle pourra se subdiviser en triangles ou poly-

gones assez petits pour qu'on puisse les regarder sensiblement comme surfaces planes et en obtenir en conséquence les surperficies par les règles (437) applicables à ces surfaces ; or ces faces seront les bases d'autant de pyramides ayant pour sommet commun le centre de la sphère et pour hauteur commune le tiers du rayon ; donc, etc.

(1083) Sco. 2. Si du secteur et de l'onglet spbériques, ou même de la sphère entière, ou d'une partie quelconque (1082) de la sphère comprise par des plans passant par le centre, on enlevait une partie par une section parallèle à la surface sphérique de ces solides, il est clair d'après ce qui a déjà été dit au sujet des troncs de pyrarnides, qu'on obtiendrait les volumes de ces solides ou troncs de solides (*) en faisant la diiférence des volumes des solides entiers et partiels ; or les surfaces de deux sphères sont (1074 2°) comme les carrés de leurs rayons respectifs, et les surfaces sphériques des solides dont il s'agit sont évidemment des parties correspondantes ou homologues des surfaces des sphères dont ils font partie, et par suite, proportionnelles elles-mêmes aux surfaces de ces sphères ou aux carrés de leurs rayons ; on aura donc pour expression du solide dont il s'agit AX^^—aX^r, A et a étant les surfaces sphériques respectives des bases inférieure et supérieure du solide et R, r les rayons respectifs des sphères entière et partielle dont le solide entier et le solide partiel font partie. Ou aurait aussi surf, a : surf. A :; r : R" et a=Axr .

(1084) Sco. 3. Puisque les surfaces des sphères sont (1074) entre elles comme les carrés de leurs rayons, diamètres, ou autres lignes homologues, et que leurs solidités sont (1075) par la prop., comme leurs surfaces multipliées par leurs rayons ; il suit que les solidités des sphères sont entre elles comme les cubes de leurs rayons, diamètres ou autres

(*) Un obus ou une partie quelconque d'un obus comprise par des plans passant par le centre de la sphère dont l'obus fait partie, fournit l'idée des solides dont il s'agit dans ce paragraphe.

SOLIDES. —PROPS., ETC

lignes homologues, et il est de plus évident que les solidités de toutes parties homologues ou semblables des sphères sont entre elles comme les cubes des rayons, diamètres, ou autres lignes homologues de ces sphères.

(1085) Sco. 4. Soit rt le rayon d'une sphère; sa surface sera (1072) 4 - R'^ et sa solidité 4 " R'-^x ^R ou * - R^ Soit D le diamètre, on auraR=|D et R'^==^D^ ; d'où, la solidité de la sphère peut encore s'exprimer j-X^D^=^-D^.

(1086) Sco. 5. On a vu (1072) que la surface d'une sphère MNPQ est égale à quatre de ses grands cercles, et la surface latérale du cylindre circonscrit AC est égale (993) à la circonférence de sa base AB par sa hauteur AD ; or cette base est évidemment égale à un grand cercle de la sphère et cette hauteur au diamètre de la sphère ; donc la surface latérale ou convexe du cylindre est égale à quatre grands cercles ou sa surface entière à six grands cercles ; là surface de la sphère est donc à celle du cylindre circonscrit comme 2 est à 3.

2° De plus, la solidité de la sphère étant égale à sa surface par le tiers du rayon, et cette surface elle-même égale à quatre grands cercles, il suit que la solidité de la sphère est égale à quatre cônes ayant chacun pour base un grand cercle et pour hauteur le rayon de la sphère ou ce qui est la même chose à deux cônes ayant pour base un grand cercle et pour hauteur le diamètre de la sphère ou la hauteur du cylindre circonscrit ; or le cône est (1052) le tiers du cylindre circonscrit et la sphère par conséquent vaut les f du cylindre circonscrit. Les solidités du cône, de la sphère et du cylindre sont donc entre eux comme 1:2:3.

3° Les solidités de la sphère et du cylindre circonscrit étant entre elles comme 2 : 3 et les surfaces de ces corps

aussi comme 2:3; il suit que les solidités de ces corps sont entre elles comme leurs surfaces.

(1087) Sco. 4. Concevez un polyèdre dont toutes les faces soient tangentes à la sphère ; ce polyèdre peut être regardé comme composé de pyramides ayant toutes leur sommet au centre de la sphère et pour bases les faces du polyèdre ; or il est évident que toutes ces pyramides ont pour hauteur commune le rayon de la sphère ; de là, chaque pyramide sera égale en solidité à une face du polyèdre multipliée par le tiers du rayon, et le polyèdre entier sera égal en solidité au produit de sa surface par le tiers du rayon de la sphère inscrite. Il est donc évident que les solidités des polyèdres circonscrits à la sphère sont entre elles comme les surfaces de ces polyèdres. Ainsi, la propriété dont on a démontré la vérité dans le cas du cylindre circonscrit s'entent également d'une infinité d'autres corps.

2° On aurait pu aussi tirer directement du par. (663) que les surfaces des polygones circonscrits au cercle sont entre eux comme les périmètres de ces polygones.

PROP. XV. THÉOR.

(1088) Tout segment (975) d'une sphère a pour mesure la demi-somme de ses bases parallèles multipliée par sa hauteur EF, plus la solidité d'une sphère ayant pour diamètre cette hauteur.

Il est clair que le segment sphérique est composé du cône tronqué engendré par la révolution du trapèze BEFD et du solide engendré par la révolution du segment de cercle BMD. Menez au centre C de la sphère les rayons BC, DC et aux lignes DF, BD, les perpendiculaires BO, CI.

SOLIDES. — mOPS., ETC. 405

En premier lieu, la solidité du cône tronqué décrit par DE est (1063; égale à ^ -.EF (BE"^+DFVBE.DF).

(1089) En second lieu, le volume du solide décrit par le segment BMD est égal à la difterence entre le secteur sphérique décrit par le secteur BCD et le solide décrit par le triangle isocèle BCD; or (1077) le secteur vaut f-CB'lEF et le sol. décrit par le triangle a pour mesure f -CP.EF ; de là, le solide décrit par le segment=|7:CB''^.EF— f-CI'^.EF ou f - (CB-— CI'^) EF. Maintenant le triangle rectangle CIB donne CB'^— Cl'^=Br^=iBD- ; de là, le sol. décrit par le segment BMD a pour mesure |;r. iBD'^EF ou ^-BD^'^EF, c.-à-d. le produit continu de ^r: par le carré de la corde BD par la distance EF entre les perpendiculaires BE, DF abaissées des extrémités de la corde sur l'axe.

(1090) Seo. Le solide décrit par le segment BMD est à la sphère qui a BD pour diamètre comme ^-.BD^.EF : ^ -BD"^ ou comme EF à BD ; car BD^.EF :BD^ (ouBD'IbD) :: EF:BD.

(1091) En troisième lieu, le segment dont il s'ao-it, et qui, comme on vient de le voir, est équivalent à la somme' du cône tronqué et du sol. décrit par le segment BMD a pour mesure i-.BD^.EF+i-.EF(BE-+DF^+BE.DF) ou i - EF. (2BE2-f 2DF"^+2BE.DF-LBD'') car il est clair que 1 (BE"^+DF'^+BE.DF)=i (2BE'V2DF'+2BE.DF). Maintenant, menant BO parallèle à EF, on aura DO=DF— BE • d'où, DO'^=DF^— 2DF.BE+BE'^ (365) ; et en conséquence,' BD"^=B0"^+D0^=EF2+DF"^-2DF.BE+BE^ Mettant cette valeur de BD"^ à la place de BD^ dans l'expression ^-.EF. (2BE'^+2DF^+2BE.DF+BD^) de la solidité du segment, ' supprimant les quantités +2BE.DF, — 2BE.DF qui se détruisent, ou aura pour solidité du segment ^-EF. (oBE^ + SDE""^ +EF'), expression que l'on peut décomposer en deux parties ; l'une, i-.EF. (3BE"^+3DF"^) ou EF. (-.BE^+-.DF^), c.-à-d.

GÉOMÊTEIE

la demi-somme des bases multipliée par la hauteur : l'autre, iTrEF.EF^ou i;rEF^ la sphère dont EF est (1085) le diamètre ; donc, etc. (57).

(1092) Cor. Si l'une ou l'autre des deux bases est nulle, le segment dont il s'agit devient une calotte (975) sphérique, ou un segment sphérique n'ayant qu'une seule base ; de là, tout segment sphérique à une seule base est équivalent à la moitié du cylindre de même base et hauteur que le segment, plus la sphère ayant pour diamètre cette hauteur.

PROP. XVI. THÉOR.

(1093) Le volume d'tin tronc ABC-DGF ou ABC-DGH de prisme triangulaire ABC-DEF, c.-à-d., d'un prisme triangulaire dont on a enlevé une partie DEFG ou DEFHG, par un plan DGF ou DGH non parallèle à la base ABC du prisme, est égal au prodiiit de sa base par le tiers de la somme des hauteurs de ses oôtés ou arêtes, ou des perpendiculaires DP, GP, FP ou DP, GP, HP abaissées des sommets D, G, F, ou D, G, H, du tronc sur le plan de la base.

En premier lieu, pour ce qui est du tronc ABC-DGF qui a deux AD, CF, de ses côtés égaux et le troisième côté BG moindre que chacun des deux autres, la différence DEFG entre le tronc et le prisme entier, jj PP

n'est autre chose qu'une pyramide triangulaire ayant pour base la base DEF du prisme et pour sommet le point G ; or le volume du prisme = (1020) surf. ABC X DP (ou EP ou FP)=ABCxJ(DP+EP+FP) et le volume de la

SOLIDES. — PROPS., ETC. 407

pyramide = (1049) DEF (on ABC)Xi- (EP-GP) ou E*/; d'où il suit que le vol. du tronc =ABCxKDP+EP+PP — E/7) ou, ce qui est la même chose : vol. ABC-DGF=ABC Xi(DP+GP+FP).

(1094) En second lieu, la diftérénce entre le prisme entier et le tronc ABC-DGH dont deux BG, CH, des côtés sont égaux ou inégaux entre eux, mais chacun d'eux moindre que le troisième côté AD, est la pyramide^ quadrangulaire EFHG-D qu'on réduira (1037) en une pyramide triangulaire équivalente EFK-D, eu remplaçant (292) par un triangle équivalent EFK, le quadrilatère EFHG qui lui sert de base. Mais la pyramide EFK-D peut être considérée comme ayant pour base la base DEF du prisme et pour sommet le point K.

Soit g k=G k, FP— HP=F /i=GK, à cause de GK=FH par construction (292); on aura E^+F /i= Ef/H-f/ A— E A— hauteur de la pyramide DEF-K ; or vol. DEF-K=DEF (ou ABC)XiEA=DEFxHE^+F/0 et le volume du prisme entier étant ABCx^ (BP+EP+FP), il restera, comme auparavant, pour vol. du tronc, ABOx^ (DP+GP+HP).

(1095) Sco. 1. Il est clair, d'après ce qui a été dit au par. (1025) que le volume du tronc de prisme est encore égal au tiers du produit de la somme de ses trois côtés AD, BG, FC, ou AD, BG, CH par la surface d'une section perpendiculaire à ces côtés.

2° Il est de même évident que l'on prendrait indifféremment ponr base du tronc, le plan DGF ou DGH et pour hauteurs, les perpendiculaires abaissées des sommets A, B, C, sur ce plan.

(1096) Sco. 2. Le volume d'un parallépipède tronqué AG est égal au produit de sa base ABCD par la demisomme des hauteurs EP, GP ou FP, HP de deux de ses côtés non adjacents AE, CG ou BF, DH. (*)

(*) Dans la pratique, les surfaces EFGH étant rarement des plans parfaits, il vaut mieux prendre la moyenne des quatre hauteurs que la demi-somme de deux seulement de ces hauteurs.

En effet, la section, par le H

plan EFGH, du parallépipècle i? .x^^NT"^"-—--^ Gr

dont le tronc fait partie, est / /T^-^TfCx, ^z I;

/ / ; \TS /' (912) un paralléloo-rarame dont / ! > \ \ /'

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les diaofoualesEG, ÏÏF se bissec- / i DLi^JJ — nz^ L

tent mutuellement (283) en 0 ; / ]/ p^jM^/./ '/

et parce que les droites EP, GP j/^"'/ .'■'^<i/''/

'et FP, HP sont perpendiculaires A. ;/>;.''- '^' V

(945) à un même plan ABCD, î

et par conséquent (910) parallèles entre elles, les figures

EPPG, FPPH sont (894) des figures planes, et ces figures

sont (172) des trapèzes.

Menant OP perpendiculaire au plan de la base et par conséquent parallèle à EP, FP, etc., OP sera (325) la moyenne ou demi-somme des hauteurs EP, GP, ainsi que de celles FP, HP, des côtés correspondants du tronc ; or, le vol. du prisme tronqué ABD-EFH=(par la prop.) ABDx J (EP+FP+HP), le vol. du tronc BCD-FGH=BCDxi (FP +GPH-HP) et parce que (FP+HP)=(EPH-GP) à cause de OP commune aux deux trapèzes FPPH, EPPG, il est clair que la somme des volumes des deux troncs composants =(ABD+BCD)xMEP+GP;=ABCDXj(EP+GP)=ABCD Xi (FP+HP)=AG.

Il est a peine nécessaire de remarquer que toute autre position du plan de section EFGH autour du point 0 (OP demeurant constant) donnerait le même volume.

(1097) Seo. 3. Il suit assez directement du dernier par. que le volume d'un tronc de prisme ayant pour base un polygone régulier quelconque ou toute autre figure ACE capable d'être divisée par une diagonale ou un diamètre AD, BE, etc.

en deux figures égales (203 DÉ!F.) ABCF, DEFC est égal à sa base multipliée par la demi-somme des hauteurs de deux quelconques F, G ou

SOLIDES. — PROPS., ETC.

A, D etc. de ses côtés opposés, ou de deux antres points opposés quelconques G, II, à canse de h (A+D)=0=i (B+E)

=J (G +11)^1 etc.

On peut aussi dire de tout tronc de prisme de cette espèce, que son volume est égal à la surface de sa base (supérieure ou inférieure) par la perpendiculaire abaissée du point milieu O de sa base opposée sur le plan de la première ; énoncé, qui s'applique également a tout tronc de parallépipède.

(1098) Sco. 4. En général, on fera le volume d'un tronc de prisme quelconque, en calculant séparément (1093j celui de tous les troncs de prismes triangulaires composants, pour prendre ensuite la somme de ces volumes. (*)

(1099) Sco. 5. Le cylindre droit ou oblique n'étant autre chose qu'un prisme ayant pour section AB uu cercle ou polygone infinitaire, et pouvant se diviser par uu plan CDXR, GHKL, etc., en deux demi-cylindres ou demi-prismes égaux, et ses bases, en figures

(*) Rem. Si rétudiant était d'abord tenté de croire que l'on dût arriver au volume d'un prisme quelconque, comme on le fait pour un tronc de parallépipéde ou de tout autre prisme ayant pour bases des figures divisibles par un diamètre en parties égales, c.-à-d., en prenant pour hauteur moyenne la demi-somme des hauteurs de deux de ses côtés opposés ou, ce qui est la même chose, le quotient de la somme des hauteurs de tous ses côtés par le nombre de ces côtés ; il lui suffira de considérer le cas d'un tronc de prisme ayant pour base un quadrilatère irrégulier ABCD, pour s'apercevoir que la règle applicable au tronc de parallépipède ne peut donner qu'un résultat plus ou moins approximatif.

En effet, il est clair que si, pendant que la surface ADC, par exemple, excède ABC, on a en même temps la hauteur D>B, cette plus ^rande surface affectée de la plus grande hauteur, donnera au tronc composant ADC un volume plus ^rand

Id

égales RKN", RLN ou LKN, LKR, etc.;. il suit que l'on obtiendra le volume d'un tronc CE de cylindre droit ou oblique, en multipliant la surface de sa base par la demisomme OP de sa moindre et de sa plus grande hauteur FP, EP ou des hauteurs de deux points L, K situés aux extrémités d'un même diamètre quelconque LK ; ou ce qui est (1026) la même chose, en faisant le produit d'une section AB perpendiculaire à sou axe par la demi-somme 00 de ses côtés CF, DE ou HK, GL, etc., l'onglet LKNE qu'on enlève du tronc, d'une part, étant évidemment égal en tout à celui LKRF qu'on lui ajoute d'autre part.

(1100) Sco. 6. « « / Le coin A, B,

C, est ua solide ayant pour base a b c d un

rectangle et dont h m c b

l'arête ef (parallèle à ad et à bc) est plus grande que ad (fig. A), plus petite que ad (fig. B), ou égale à ad (fig. C). Les solides A, B ne sont donc autre chose que des prismes triangulaires tronquée, et le sol. C, un prisme triangulaire entier (ou un demi-parallépipède) dont les volumes sont respectivement égaux (1095) à la surf, d'une section o m n, perpendiculaire aux côtés parallèles du solide, Xi {a d+b c-\-e.f).

que celui qu'on obtiendrait en faisant entrer en compte la moindre hauteur B, c.-à-d. en multipliant la base ADC par le quart de la somme des quatre hauteurs A, B, C, D ; et de même, si pendant que la base ADC excède ABC, on a D<B, il est non moins évident que le vol. du tronc comiwsant ADC affecté de la moindre hauteur du point D, sera plus petit que celui que donnerait le produit de la base ADC par une moyenne à la quelle la plus grande hauteur B aurait servi d'élément.

De plus, la somme des volumes des troncs composants ADC, ABC ou DCB, DAB, étant tantôt plus grande et tantôt moindre que le volume que l'on obtiendrait en faisant le produit de la base ABCD par le quart de la somme des hauteurs des quatre côtés A, B, C, D ; il arrivera quelquefois que la plus grande base affectée d'une moindre hauteur donnera un résultat exact.

SOLIDES. — PROPS., ETC.

Or, snrf. 0 m n=mn ou. a b, largeur de la base, par |o jh perpendiculairfî menée d'un point quelconque o de l'arête ef au plan ac de la base. L'expression, surf, omjix^ (ad-\-bc-\e/) peut donc se tradmre : Kad+bc + ef)xabxop, ou (à cause dead^bc) l (2ad-j-efXabxop).

(1101) Sco. 7. Le prismoïde rectangulaire B fZ est un solide dont les bases opposées AC, a c sont des plans parallèles et des rectangles à côtés parallèles. Le prismoïde se décompose en deux coins ou troncs de prisme triangulaire ABCD-è c et abc d-AD.

Soient M et iT, m et n, S et s les longueurs et largeurs respectives de la base inférieure AC, de la base sup. a c et d'une section EG à distances égales des bases parallèles et elle même parallèle à ces bases et soit h la bauteur du solide ; on aura par le^ dernier par. : vol. B d=^ (2M~+wX 'NXh) + l(2m-\-MxnXh) ou, ce qui est la même cbose, l h (2 M X N+mx N4-2 mXn+M x n) ; mais (325) S=i M+m ets=|N+?i, ce qui réduit l'expression pour le volume du prismoïde à (AixJ^^^-mxw+4iSxs)Xi^ ; car, après avoir retranché MxI^^+wXn, il reste M X N+mXJST+m x 7i+Mx n, ou 'M-\-mX'N et. M+77iXn, ou M-f-mXN+w, c.-à-d. 2Sx2s ou 4SXs. Pour obtenir le volume du prismoïde rectangulaire, il faut donc à la somme des surfaces de ses bases parallèles, ajouter 4 fois la surface d'une section parallèle à demi-distances entre ces bases, multiplier le tout par la haiiteur du solide et prendre la 6ième partie du résultat.

(1102) Sco. 8. Le volume d'un prismoïde quelconque (*) ABC DE -a b cd e,c.-èi-d. d'un solide ayant pour bases parallèles, des figures planes quelconques AD, ad, h. côtés parallèles AE, a e DE, d e AB, a b etc., est égal au eième du produit de sa hauteur ou de la distance perpendiculaire qui sépare ses bases parallèles par la somme des surfaces de ses bases plus quatre fois la surface d'une section parallèle à demi-distance entre elles.

Car les deux bases peuvent se réduire en triangles correspondants BCD, èc^ BDE, 6^6 ABE, «ôe et chacun de ces triangles en deux ou plusieurs triangles rectangles ABH, abh EBH, e b h GDE, qde etc. Maintenant, il est clair que chacun des solides composants ABH-« b A, EBH-e b A, etc. peut être regardé comme un demi-prismoïde rectangulaire, et puisque (73. Ax.) les moitiés sont comme les touts et que ce qui est vrai de chaque prismoïde triangulaire composant, l'est également de la somme de ces solides, il suit que la règle pour obtenir le vol. du prismoïde rectangulaire s'applique indiueremment à tout autre prismoïde quelconque. ♦