SOLIDES. — SCOLIE GÉN

1° Soit B la base d'un prisme, H sa hauteur ; la solidité du prisme sera (1020) BxH, ou BH.

Soit encore S la section d'un prisme perpendiculaire à son côté, C le côté ou la hauteur inclinée du prisme ; la solidité sera (1025) SxC, ou SC.

2° Soit B la base d'une pyramide, H sa hauteur; la solidité de la pyramide sera (1049) Bx^ H, ou HX-^^B, ou iBH.

3° Soit H la hauteur d'un tronc de pyramide à bases parallèles A et B ; V' AB sera la moyenne proportionnelle entre ces bases, et la solidité du tronc sera (1061) J Hx (A+B+i/AB).

4° Soient B et è les bases d'un tronc quelconque de pyramide, H et h les hauteurs respectives des pyramides entière et partielle ; la solidité du tronc sera (1062, 1067) BxjH-6xi-/L

5° Soient P et j) les solidités de deux prismes ou pyramides semblables, A et a deux côtés ou arêtes homologues ; on aura (1032, 1070) P : j> :: A^ : a'^

6° Soit R le rayon de la base d'un cylindre droit, H sa hauteur; la solidité du cylindre sera (1023) ;rR""^xH, ou

Soit B la base d'un cylindre oblique, H sa hauteur ; sa solidité sera (1026) BxH ou BH.

Soit encore S la section d'un cylindre oblique perpendiculaire à sou côté, C le côté ou la hauteur inclinée du cylindre; sa solidité sera (1026) SxC ou SC.

7° Soit R le rayon de la base d'un cône droit, H sa hauteur; la solidité du cône sera (1050) ûR^^X^H, ou Jtt R^H, (1060).

Soit B la base d'un cône oblique, H sa hauteur ; sa solidité sera (1055) BxH ou BH.

8° Soient A et B les rayons des bases parallèles cVua cône tronqué, H sa hauteur ; la solidité du tronc sera (1063) J ttH (A2+B'+ AB).

9° Soient B et 6 les bases d'un tronc de cône quelconque, H et A les hauteurs des cônes entier et partiel; la solidité du tronc sera (1068) Bx J H— èxi- h.

10° Soit R le rayon d'une sphère ; sa solidité sera (1075, 1085) |;rR^ ou i - (2R)l

11° soit R le rayon d'un secteur sphérique, H la hauteur de la zone qui en constitue la base ; la solidité du secteur sera (1077) t TT R^H.

12° Soient P et Q les deux bases d'un segment sphérique, H sa hauteur; la solidité du segment sera (1088)

P+Q.XH+JTrHl

Si le segment sphérique n'a qu'une base P, l'autre étant nulle ; la solidité sera (1092) h PH+i TrH'l

13° Soient S et s les surfaces extérieure et intérieure d'une sphère creuse ou evidée, ou d'une partie de sphère creuse comprise par des plans passant par le centre, R et r les rayons extérieur et intérieur de cette sphère ou partie de sphère; les solidités respectives seront (1083) SX^JR —

14° Soient P et 2? les solidités de deux cylindres ou cônes semblables, ou celles de deux sphères, A et a deux lignes homologues quelconques de ces corps ; on aura (1032, 1070, 1084) P:^::A^:a^.

15*^ Soient P et p les solidités de deux polyèdres semblables quelconques ou de deux troncs ou parties homologues (quelconques de polyèdres semblables, ou de cylindres et cônes semiblables ou de sphères, on démontre facilement que P :p:: A"^: «"^5 A et a étant deux ligues homologues quelconques de ces corps.

16° Soit S la surface de la base d'un tronc de prisme triangulaire et A, B, C les hauteurs de ses côt^s; le vol. (1093)=IS X i ( A+B+C).

Soit encore S la surface d'une section d'un tronc de prisme triangulaire perpendiculaire à ses côtés et A, B, C ces côtés; le vol. du tronc=(1095) Sx|- (A+B+C).

17° Soient A, B, C, les côtés parallèles d'un coin, Lia largeur de sa base et H sa hauteur ; on aura (1100) pour vol. du coin i (A+B+CxLxH).

18° Soient B et è les bases opposées d'un prismoïde, S la surface d'une section parallèle à demi-distance entre ces bases ; le vol. du prismoïde sera (1102) ^ (B-i-6+4SxH).

19° Soit S la suface de la base d'un tronc de parallépipède, de cylindre, ou de prisme ayant pour base une figure divisible par une diagonale en deux parties égales

et soient A et C les hauteurs de deux côtés ou points situés aux extrémités opposées d'un diamètre de la base (1095, 2°) ; le vol. du tronc sera (1096, 1099, 1097) Sx|(A-fC).

20° Soient ABC, ACD, ADE, etc. les bases des troncs triangulaires composants d'un tronc de prisme quelconque et A, B, C, D, etc. les hauteurs de ses côtés ; le vol. sera (16°) et (1098) ABGxi(A-[-B+C)+ACDX^(A+C+D) + ADEXi (A+D+E) + etc.

PROBLÈMES

(1104) Il suffit de ce qui à déjà été dit (pars. 42, 349, 571 LEM., 674 à 681, 684 à 689, etc.) pour indiquer de suitQ la manière de revenir du volume d'un solide quelconque à ses éléments, ou pour obtenir et comparer entre eux les volumes absolus ou relatifs des divers solides, au moyen de données autres que celles dont on a jusqu'ici traité. Soit, par exemple à :

(1105) PROB. Déterminer le diamètre d'une sphère dont on a le volume. A cet effet, il suffit de supposer (prob. analogue à 684) à la sphère donnée, un diamètre quelconque, faire le volume de la sphère supposée et poser ensuite (1084) : le volume de le sphère supposée (:) est au cube de soji diamètre comme (::) le volume de la sphère donnée (:) est au cube de son diamètre; extraj-ant la racine cubique du quotient, on obtient le diamètre voulu.

(1106) On aura la hauteur d'un prisme en divisant son volume par la surface de sa base, et celle d'une pyramide ou d'un cône en divisant son volume par le tiers de sa base ; de même, le quotient du volume du prisme par sa hauteur donnera sa base, et celui du volume d'une pyramide ou d'un cône par sa hauteur, le tiers de sa base.

(1107) PROB. Connaissant le nombre d'unités de volume dans un prisme donné ; déterminer les dimensions linéaires du solide, en termes de ce volume. (prob. analogue à 676). A cette fin, on établira d'abord (page 180) la surface de sa base, en mesurant, au moyen d'une même unité linéaire quelconque, les éléments de ses surfaces composantes (352) ; on fera ensuite le produit de cette base par la hauteur du solide exprimée en unités égales à celles des côtés de la base ; puis on établira la proportion : le volume supposé (ou calculé) du prisme (:) est au volume donné (:) comme le cube d'un de ses côtés en unités de l'échelle qui a servi à le mesurer (:) est au cube du nombre d'unités linéaires de l'espèce de celles du volume donné. La racine cubique du résultat sera le nombre d'unités linéaires dans le côté choisi, et le nombre de mètres, pieds, pouces, lignes etc., dans ce même côté, divisé par celui de ces unités, établira l'espèce c.-à-d. la grandeur d'une de ces unités, et au moyen d'une échelle de ces unités on déterminera enfin les dimensions des autres côtés du solide donné en termes du volume.

1108) Sco. Inutile d'observer que cette règle est applicable à tout autre polyèdre ou corps quelconque dont on aurait la solidité, faisant attention seulement à la manière d'établir son volume auxiliaire, suivant que le solide serait une pyramide ou un cône, une sphère, un prismoïde, un tronc de prisme, de pyramide ou de cône, etc., etc.

(1109) PROB. Etant donnés le volume V d'un parallépipède et le rapport rn à n à h entre ses longueur, largeur et hauteur ; trouver ces trois dimensions, (prob. analogue

On fera le produit continu des termes m, n, h du rapport, pour obtenir (1030, 1032) un volume auxiliaire v, et désignant par M, N", H les côtés ou dimensions cherchés, on fera v : Y ::m : M :: n : N :: A : H , ou après avoir trouvé M=if M3 ou fera wi : M :: w : N :: A : H.

(1110) PROB. Diviser un cône ou une pyramide en deux parties de même volume par un plan parallèle à celui de la base (prob. analogue à 569). Soit V le volume du solide donné, S son sommet, SA son côté ; soit aussi v le vol. du solide partiel=| V, S a son côté ; on fera (1070) Y :v:: SA : S a et on aura Sa=^Sa^ ; menant alors par le point a, un plan parallèle à la base, le problème sera résolu.

(1111) PROB. Si l'on avait à diviser le cône ou la pyramide en plusieurs parties ayant entre elles des rapports donnés, par des plans parallèles à la base ; (prob. analogue à 569, 2°). Appelant encore SA le côté du solide donné ; «, 6, c, d, etc. les points de trajet des plans parallèles, et m, n, r, etc. les termes du rapport; on diviserait d'abord le nombre d'unités de volume V en parties M, N, R, etc. ayant entre elles le rapport voulu et on ferait V : SA^ :: M : S a^::M+]Sr : S b^ :: M+N+R : S / :: M+N+K+etc. : S / et ainsi de suite, ou encore V : S A^:: V — M : S a^:: V— M+K : S è3:: V— M+îsr+R:Sc ::etc. suivant la disposition à observer dans l'ordre relatif des parties, et aussi suivant que l'on

poursuivrait l'opération de la base au sommet ou du sommet à la base.

(1112) PROB. Eût on un tronc de cône ou de pyramide à bases parallèles, à diviser en parties proportionnelles, par des plans parallèles aux bases ; (prob. analogue à 754) on compléterait le solide pour faire entrer en compte son volume additionnel ou auxiliaire, et on procéderait ensuite comme au dernier par.

(1113) Rem. On ne peut (1019) trouver, par construction

géométrique, la racine cubique (40) d'un volume ou le côté d'un cube équivalent en volume à un corps donné, tout aisé qu'il soit (Prop. XI, LIV. 1 et par. 376) d'arriver à la racine carrée (40) d'une surface, et on ne peut en conséquence résoudre d'une manière purement géométrique les problèmes à la solution desquels la racine cubique est un élément essentiel. Néanmoins quand il s'agit de prismes, de cylindres, de pyramides ou de cônes à hauteurs égales ou à bases égales, ou ayant entre elles des rapports donnés ; tous ces corps étant entre eux comme leurs bases quand leurs hauteurs restent constantes, ou comme leurs hauteurs quand leurs bases ne varient point ; on pourra résoudre par construction géométrique les problèmes ayant trait â ces solides ; en effet.

(1114) PROB. Soit à construire un prisme ayant pour base un octogone régulier et équivalent en volume à la somme de deux ou plusieurs prismes donnés quelconques de même hauteur que le prisme voulu.

Le polygone régulier qui doit servir de base au prisme demandé est composé (622) de 8 triangles isocèles égaux, ayant pour bases les côtés, et pour côtés, les rayons obliques du polygone. Un de ces triangles composants aura pour surface la huitième partie de la surface combinée des bases de tous les prismes donnés, et (620) pour angle vertical, un huitième de quatre angles droits. Le problème se réduit donc à décrire un triangle qui remplira ces conditions, ou à trouver

le côté du triangle, avec ce côté décrire un cercle dont on divisera (633 et 651) la circonférence en 8 parties égales, pour relier ensuite par des droites les points de division et compléter ainsi la base vonlue du prisme requis. Pour cela, on réduira (302) en un rectangle équivalent l'ensemble des bases des prismes donnés, on divisera ensuite (330) ce rectangle en huit parties égales et on fera (674) un triangle isocèle équivalent en surface à l'une de ces parties et dont l'angle au sommet soit=(4 angles droits). Ayant ensuite

mené, à une distance de la base égale à la hauteur des prismes donnés, un plan parallèle à cette base, et relié les plans opposés par des droites parallèles partant de chacun des points angulaires de l'octogone et faisant avec la base un angle quelconque, le problème sera résolu.

(1115) PROB. Etant donnés un prisme et une pyramide de même hauteur ; construire un cylindre qui soit équivalent en volume à la somme de ces solides et dont la hauteur soit moitié de celle du prisme.

On fera à cet effet un cercle dont la surface soit double de la somme des surfaces de la base du prisme et du tiers de la base de la pyramide. On a vu (431) que le cercle est équivalent à un rectangle ayant pour hauteur le rayon et pour base une ligne égale en longueur à la demi-circonférence, et ou sait que le rapport entre le rayon et la demi-circonférence est (686) de 7 : 22 ou 113 : 355 ou 1 : 3. 14159 etc. On a donc à faire (302) un rectangle quelconque de surface égale à celle de la base du cylindre voulu, diviser (694, 330) cette surface en 7x22 pa^rties, réduire (376) une de ces parties en un quarré équivalent et prendre le rayon égal à 7 fois le côté de ce carré.

On obtiendrait arithmétiquement (684) le rayon voulu, en divisant le nombre d'unités dans la surface par .7854, extrayant la racine carrée du quotient et prenant la moitié de la racine.

(1116) PROB. Etant donnés un prisme, une pyramide de hauteur double et de base égale et un eyUndre de hauteur moitié et de base triple de celle du prisme ; réduire le tout à un cône évidé dont la hauteur soit à celle du prisme comme 5 est à 3 et dont le diamètre égale la hauteur.

On aura d'abord pour base d'un cylindre équivalent à la somme des solides donnés et de hauteur égale à celle du prisme, un cercle de surface égale à la somme de la base du prisme, les | de la base de la pyramide et les I de la base du cylindre. Maintenant, si la hauteur du cône devait être égale à celle du cylindre, sa base serait nécessairement triple de celle du cylindre pour donner même volume, mais comme la hauteur du cône doit être f de celle du cylindre, il est clair que la base du cône voulu devra être les f de celle du cylindre, puisque Ixl— 3. Il reste à faire la surface «

d'un cercle du diamètre donné, de laquelle on déduira celle 1

de la base annulaire du cône voulu pour avoir celle du |

cercle a b dont on aura le rayon par la méthode du par. (684) ou par constr. comme au par. (1115).

(1117) Rem. Ces quelques problèmes sur les solides suffiront pour donner une idée de la manière de résoudre presque tous ceux qui pourraient se présenter, soit en mettant à profit les connaissances déjà acquises, ou en faisant une combinaison ou modification convenable des méthodes enseignées.

Observons aussi comme on l'a fait (page 180) au sujet des lignes et surfaces, que la solution numérique de tout problème ayant trait aux solides, ofirira toujours l'avantage d'être de beaucoup plus concise et facile que la solution obtenue par construction géométrique, et les éléments numériques nécessaires pourront toujours s'obtenir à tel

degré d'exactitude que l'on voudra, au moyen d'une échelle divisée et subdivisée en parties égales assez petites pour éviter toute erreur sensible dans la comparaison des volumes de solides dont les cotés ou autres lignes homologues seraient plus ou moins incommensurables.

DES POLYEDRES REGULIERS.

(1118) Un polyèdre régulier est un solide dont toutes les faces sont des polygones réguliers et égaux, et dont les angles solides sont en conséquence (935, 938 Cor.) tous égaux entre eux. Il y a cinq polyèdres de cette espèce.

(1119) En premier lieu. Si les faces composantes du solide sont des triangles équilatéraux, on pourra en former des polyèdres dont les angles solides seront contenus par trois de ces triangles, par quatre, ou par cinq : de là, il résulte trois corps réguliers, le trièdre, l'octaèdre et l'icosaèdre. L'on ne peut en former aucun autre avec des triangles équilatéraux ; car six angles d'un triangle équilatéral valent quatre angles droits et ne peuvent (931) former un angle solide.

(1120) En second lieu. Si les faces sont des carrés, leurs angles pourront se disposer trois à trois ; d'où il résulte l'hexaèdre ou cube (949). Quatre angles d'un carré font quatre angles droits et ne peuvent former un angle solide.

(1121) En troisième lieu. Si les faces sont des pentagones réguliers, leurs angles pourront s'adapter trois à trois, et il en résultera le dodécaèdre régulier.

422 GÉOMÉTHII.

On ne saurait aller an-delà, trois angles d'nn hexagone régulier étant éganx à qnatre angles droits et les trois d'an heptagone, pins grand.

(119.?.) Donc, il ne peut y avoir que cinq polyèdres réguliers, trois formés par des triangles équilatéraux, un par des carrés et un avec des pentagones.

ON DE.^ifOiTEE fAriLEIEM L£n PEOPiJSITlONS SUIVAMES.

1123 Tont polyèdre régulier peut se diviser en autant de pyramides régulières (959) que le polyèdre a de faces. Le sommet commun de ces pyramides est le centre du polyèdre et en même temps (1087) celui des sphères inscrite et circonscrite.

1124 La solidité d'un polyèdre régulier est égale (lOSl à sa surface multipliée par le tiers du rayon de la sphère inscrite.

(1125 Deax polyèdres réguliers de même nom sont (972) deux solides semblables et leurs dimensions homologues sont proportionnelles : de là, les rayons des sphères inscrites ou circonscrites sont entre eux comme les côtés des polyèdres.

1126y Si l'on inscrit dans une sphère, un polyèdre rég., les plans menés par le centre et les côtés ou arêtes du polyèdre, diviseront la surface de la sphère en autant de parties ou de figures (triangles (1148) ou polygones 1150 sphèriques) semblables et égales, que le polyèdre a de faces; car, les côtés égaux des faces composantes sont en même temps les cordes des arcs de grands cercles |983; qui mesurent les ant^les plans contenants de chaque pyramide composante du polyèdre, et ces arcs sont égaux puisque les côtés ou cordes qui les sous-tendent sont égaux et les rayons égaux; ce qui permet de comparer par superposition et de prouver l'égalité des surfaces sphèriques dont il s'agit.

DU TETRAEDRE.

(1127) Pour construire le tétraèdre, on élèvera au point milieu P du triangle équilatéral ABC qui doit lui servir de face, une perpendiculaire indéfinie PS et du point A, avec un rayon AB, on intersectera la perpendiculaire en S, d'où l'on mènera SB, SC et la pyramide ABC-S sera le tétraèdre voulu ; car, puisque PA=PB= PC, on a (901) SA=SB=SC et comme AS=AB=BC=AC, les quatre faces du solide seront des triangles égaux à ABC et tous les angles solides A, B, C, S seront aussi égaux, (935) étant formés chacun de trois angles plans égaux l'un à l'autre.

(1128) Trouver le centre commun (1123) 0 des sphères inscrite et circonscrite. A cet effet, dans le triangle APS, rectangle eu P, on a l'hypotétiuse AS, côté ou arête du tétraèdre et l'on obtient facilement AP=BP=CP, pour trouver la perpendiculaire SP et l'angle ASP ; or, le triangle AOS est isocèle, à cause de OA=OS ; d'où, l'angle SAO= ASO pour trouver OS, rayon de la sphère circonscrite, et par suite OP=SP— OS=rayon de la sphère inscrite.

(1129) Soit s la surface développée du tétraèdre ; cette surface est égale à 4 ABC, et le volume du solide est égal à sa surface s multiplié par le tiers du rayon de la sphère inscrite=5X|0P.

L'HEXAÈDRE.

(1130) N'étant autre chose que le cube (949) et le cube un prisme droit, sa construction est facile (941) et ses faces composantes étant toutes des carrés égaux, ses angles solides sont égaux, étant formés chacun de trois angles droits.

Il est clair (1006) que le rayon OA de la sphère circonscrite à l'hexaèdre rég. vaut la demi-diagonale AG du solide et qu'on peut trouver facilement le rayon OP de la sphère inscrite.

Comme on l'a déjà dit (992. REM.) on aura la surface 5 de rhexaèdre=6 AC et son volunie=sX J OP=ACx AE== ABl